【人教A版】高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式章末知識(shí)總結(jié) 新人教A版必修5

《【人教A版】高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式章末知識(shí)總結(jié) 新人教A版必修5》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《【人教A版】高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式章末知識(shí)總結(jié) 新人教A版必修5（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料 高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式章末知識(shí)總結(jié) 新人教 A 版必修 5 一、本章概述 不等關(guān)系是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本、最廣泛、最普遍的關(guān)系 不等關(guān)系起源于實(shí)數(shù)的性質(zhì),產(chǎn)生了實(shí)數(shù)的大小關(guān)系、 簡(jiǎn)單不等式、 不等式的基本性質(zhì),如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關(guān)系,又產(chǎn)生了重要不等式、基本不等式等 不等式是永恒的嗎？顯然不是,由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個(gè)極為重要的問(wèn)題解不等式即尋求不等式成立時(shí)變量應(yīng)滿足的范圍或條件,不同類型的不等式又有不同的解法不等式證明則是推理性問(wèn)題或探索性問(wèn)題推理性即在特定條件下,闡述論證過(guò)程,揭示內(nèi)在規(guī)律,基本方法有比較法、綜合法、分析法；探索

2、性問(wèn)題大多是與自然數(shù)n有關(guān)的證明問(wèn)題,常采用觀察歸納猜想證明的思路,以數(shù)學(xué)歸納法完成證明另外,不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構(gòu)造法等不等式中常見(jiàn)的基本思想方法有等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程 不等式的知識(shí)滲透在數(shù)學(xué)中的各個(gè)分支,相互之間有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,因此不等式又可作為一個(gè)工具來(lái)解決數(shù)學(xué)中的其他問(wèn)題,諸如集合問(wèn)題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調(diào)性的研究,函數(shù)定義域的確定,以及三角、 數(shù)列、 立體幾何、 解析幾何中的最大值、 最小值問(wèn)題,這些問(wèn)題無(wú)一不與不等式有著密切的聯(lián)系 不等式還可以解決現(xiàn)實(shí)世界中反映出來(lái)的數(shù)學(xué)問(wèn)題,許多問(wèn)題最終歸結(jié)為不等式的求解或證明 解決這類綜

3、合問(wèn)題的一般思維方法是：引參,建立不等關(guān)系,解某一主元的不等式(實(shí)為分離變?cè)?,適時(shí)活用基本不等式其中建立不等關(guān)系的常用途徑是：根據(jù)題設(shè)條件；判別式法；基本不等式法；依據(jù)某些變量(如 sin x,cos x)的有界性等 二、主干知識(shí) 1不等式與不等關(guān)系 不等式的性質(zhì)刻畫了在一定條件下兩個(gè)量的不等關(guān)系 不等式的性質(zhì)包括“單向性”和“雙向性”單向性主要用于證明不等式,雙向性是解不等式的基礎(chǔ)因?yàn)榻獠坏仁揭蟮氖峭庾冃我_理解不等式的性質(zhì),必須先弄清每一性質(zhì)的條件和結(jié)論、注意條件和結(jié)論的放寬和加強(qiáng),以及條件與結(jié)論之間的相互聯(lián)系 雙向性主要有： (1)不等式的基本性質(zhì)：ab ab0，ab ab0，a

4、b ab0，這是比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小的依據(jù)； (2)ab bb acbc. 單向性主要有： (1)ab,bcac； (2)ab,cdacbd； (3)ab,c0(cbc(acb0,cd0acbd； (5)ab0,0cb0,mN*ambm； (7)ab0,nN*,n1nanb. 特別提醒：(1)同向不等式可以相加,異向不等式可以相減即： 若ab,cd,則acbd； 若ab,cd,則acbd. 但異向不等式不可以相加,同向不等式不可以相減 (2)左右同正不等式,同向的不等式可以相乘,但不能相除； 異向不等式可以相除,但不能相乘即： 若ab0,cd0,則acbd； 若ab0,0cd,則acbd. (3

5、)左右同正不等式,兩邊可以同時(shí)乘方或開(kāi)方即： 若ab0,nN*,n1,則anbn或nanb. (4)若ab0,ab,則1a1b；若ab0,ab,則1a1b. 如果對(duì)不等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)代數(shù)式,要注意它的正負(fù)號(hào),如果正負(fù)號(hào)未定,要注意分類討論 2一元二次不等式及其解法 解一元二次不等式常用數(shù)形結(jié)合法,基本步驟如下：將一元二次不等式化成ax2bxc0 的形式；計(jì)算判別式并求出相應(yīng)的一元二次方程的實(shí)數(shù)解；畫出相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象和不等式的方向?qū)懗鲆辉尾坏仁降慕饧?設(shè)相應(yīng)二次函數(shù)的圖象開(kāi)口向上,并與x軸相交,則有口訣：大于取兩邊,小于取中間 解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域?yàn)榍疤?函數(shù)

6、增減性為基礎(chǔ),分類討論是關(guān)鍵” 要注意對(duì)字母參數(shù)的討論,如果遇到下述情況則一般需要討論： (1)在解含有字母的一元二次不等式時(shí),需要考慮相應(yīng)的二次函數(shù)的開(kāi)口方向,對(duì)應(yīng)的一元二次方程根的狀況(有時(shí)要分析),比較兩個(gè)根的大小,設(shè)根為x1,x2,要分x1x2、x1x2、x1x2討論 (2)不等式兩端乘或除一個(gè)含參數(shù)的式子時(shí),則需討論這個(gè)式子的正負(fù) (3)求解過(guò)程中,需用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),則需對(duì)它們的底數(shù)進(jìn)行討論 注意解完之后要寫上： “綜上,原不等式的解集是” 若按參數(shù)討論,最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；若按未知數(shù)討論,最后應(yīng)求并集 一元二次不等式ax2bxc0 或ax2bxc0(a0

7、)的解集：設(shè)相應(yīng)的一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩根為x1、x2且x1x2,b24ac,則不等式的解的各種情況如下表所示： 特別提醒：(1)解題中要充分利用一元二次不等式的解集是實(shí)數(shù)集 R 和空集的幾何意義,準(zhǔn)確把握一元二次不等式的解集與相應(yīng)一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系 (2)解不等式的關(guān)鍵在于保證變形轉(zhuǎn)化的等價(jià)性簡(jiǎn)單分式不等式可化為整式不等式求解：先通過(guò)移項(xiàng)、通分等變形手段將原不等式化為右邊為 0 的形式,然后通過(guò)符號(hào)法則轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 轉(zhuǎn)化為求不等式組的解時(shí),應(yīng)注意區(qū)別“且”、 “或”,涉及最后幾個(gè)不等式的解集是“交”,還是“并”注意：不等式解集的端點(diǎn)值往往是不

8、等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值 (3)在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),先要從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)模型,并尋找出該數(shù)學(xué)模型中已知量與未知量,再建立數(shù)學(xué)關(guān)系式,然后用適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q問(wèn)題 (4)解含參數(shù)的不等式是高中數(shù)學(xué)中的一類較為重要的題型,解決這類問(wèn)題的難點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)分類分類相當(dāng)于增加了題設(shè)條件,便于將問(wèn)題分而治之在解題過(guò)程中,經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)分類難以入手或者分類不完全的現(xiàn)象強(qiáng)化分類意識(shí),選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}切入點(diǎn),掌握一些基本的分類方法,善于借助直觀圖形找出分類的界值是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵 3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題 (1)確定二元一次不等式表示的區(qū)域的步驟： 在平面直角坐標(biāo)系中作出直

9、線AxByC0. 在直線的一側(cè)任取一點(diǎn)P(x0,y0),當(dāng)C0 時(shí),常把原點(diǎn)作為特殊點(diǎn) 將P(x0,y0)代入AxByC求值,若Ax0By0C0,則包含點(diǎn)P的半平面為不等式AxByC0 所表示的平面區(qū)域,不包含點(diǎn)P的半平面為不等式AxByC0 所表示的平面區(qū)域也可把二元一次不等式改寫成ykxb或ykxb的形式,前者表示直線的上方區(qū)域,后者表示直線的下方區(qū)域 (2)線性規(guī)劃的有關(guān)概念： 滿足關(guān)于x,y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件； 關(guān)于變量x,y的解析式叫目標(biāo)函數(shù),關(guān)于變量x,y一次式的目標(biāo)函數(shù)叫線性目標(biāo)函數(shù)； 求目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問(wèn)題,稱為線性規(guī)劃問(wèn)題；

10、滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域； 使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解 特別提醒：(1)畫不等式AxByC0 所表示的平面區(qū)域時(shí),區(qū)域包括邊界線,因此,將邊界直線畫成實(shí)線；無(wú)等號(hào)時(shí)區(qū)域不包括邊界線,用虛線表示不包含直線l. (2)AxByC0 表示在直線AxByC0(B0)的上方,AxByC0 表示在直線AxByC0(B0)的下方 (3)設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l：AxByC0,若Ax1By1C與Ax2By2C同號(hào),則P,Q在直線l的同側(cè),異號(hào)則在直線l的異側(cè) (4)在求解線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)要注意：將目標(biāo)函數(shù)改成斜截式方程；尋

11、找最優(yōu)解時(shí)注意作圖規(guī)范 4基本不等式abab2. (1)基本不等式： 設(shè)a,b是任意兩個(gè)正數(shù),那么abab2.當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立 基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 如果把a(bǔ)b2看做是正數(shù)a,b的等差中項(xiàng),ab看做是正數(shù)a,b的等比中項(xiàng),那么基本不等式也可以敘述為：兩個(gè)正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng) 基本不等式abab2幾何意義是“半徑不小于半弦” (2)對(duì)基本不等式的理解： 基本不等式的左式為和結(jié)構(gòu),右式為積的形式,該不等式表明兩正數(shù)a,b的和與兩正數(shù)a,b的積之間的大小關(guān)系,運(yùn)用該不等式可作和與積之間的不等變換 “當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí),等號(hào)成立”的含義： a

12、當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立的含意是：abab2ab； b僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立的含意是：ab2abab； 綜合起來(lái),其含意是：ab2abab. (3)設(shè)a,bR,不等式a2b22ababa2b22abab22. (4)基本不等式的幾種變式：設(shè)a0,b0,則a1a2,baab2,a2b2ab. (5)常用的幾個(gè)不等式： a2b22ab2ab21a1b(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)； 設(shè)a,b,cR,則a2b2c2abbcca(當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí),取等號(hào))； 真分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：若ab0,m0,則babmam(糖水的濃度問(wèn)題) 特別提醒：(1)用基本不等式求函數(shù)的最值時(shí),要特別注意“一正、二定、三相等,和定積最大

13、,積定和最小”這 17 字方針常用的方法為：拆、湊、平方 (2)用基本不等式證明不等式時(shí),應(yīng)重視對(duì)所證不等式的分析和化歸,應(yīng)觀察不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu),注意識(shí)別輪換對(duì)稱式,此時(shí)可先證一部分,其他同理可證,然后再累加或累乘 題型 1 恒成立問(wèn)題 (1)若不等式 f(x)A 在區(qū)間 D 上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間 D 上 f(x)minA； (2)若不等式 f(x)B 在區(qū)間 D 上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間 D 上 f(x)maxB. 例1 設(shè) 函 數(shù)f(x) x ,g(x) x a(a0), 若x1,4 時(shí) 不 等 式f（x）ag（x）f（x）1 恒成立,求 a 的取值范圍 解析：由f（x）ag（x）

14、f（x）11f（x）ag（x）f（x）1,得 0ag（x）f（x）2, 即axa2x2 在 x1,4上恒成立,也就是 axa22 x在 x1,4上恒成立 令t x,則t0,且xt2,由此可得 at22ta20在t1,2上恒成立,設(shè)g(t) at22ta2,則只需g（1）0，g（2）0a2a20，4a4a20，解得 0a2 22,即滿足題意的 a 的取值范圍是(0,2 22 題型 2 能成立問(wèn)題 (1)若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)A成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的f(x)maxA； (2)若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)B成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的f(x)minB. 例 2 若存在 x

15、R,使不等式|x4|x3|a成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍 解析：設(shè)f(x)|x4|x3|,依題意f(x)的最小值小于a.又f(x)|x4|x3|(x4)(x3)|1(等號(hào)成立的條件是 3x4)故f(x)的最小值為 1,a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,) 題型 3 恰成立問(wèn)題 (1)若不等式 f(x)A 在區(qū)間 D 上恰成立,則等價(jià)于不等式 f(x)A 的解集為 D； (2)若不等式 f(x)B 在區(qū)間 D 上恰成立,則等價(jià)于不等式 f(x)B 的解集為 D. 例 4 已知函數(shù) y2x2ax10 x24x6的最小值為 1,求實(shí)數(shù) a 的取值集合 解析：由 y1 即2x2ax10 x24x61x2(a

16、4)x40 恒成立,(a4)2160,解得8a0(必要條件)再由 y1 有解,即2x2ax10 x24x61 有解,即 x2(a4)x40有解,(a4)2160,解得 a8 或 a0. 綜上即知 a8 或 a0 時(shí),ymin1,故所求實(shí)數(shù) a 的取值集合是8,0 題型 4 利用基本不等式求最值 基本不等式通常用來(lái)求最值問(wèn)題：一般用 ab2 ab(a0,b0)解“定積求和,和最小”問(wèn)題,用abab22求“定和求積,積最大”問(wèn)題,一定要注意適用的范圍和條件： “一正、二定、三相等”,特別是利用拆項(xiàng)、添項(xiàng)、配湊、分離變量、減少變?cè)确椒?構(gòu)造定值條件的方法,和對(duì)等號(hào)能否成立的驗(yàn)證 若等號(hào)不能取到,則

17、應(yīng)用函數(shù)單調(diào)性來(lái)求最值,還要注意運(yùn)用基本不等式解決實(shí)際問(wèn)題 例 5 已知 0 x2,求函數(shù) yx(83x)的最大值 解析：0 x2,03x6,83x0, yx(83x)133x(83x) 133x83x22163, 當(dāng)且僅當(dāng) 3x83x,即 x43時(shí),取等號(hào), 當(dāng) x43時(shí),yx(83x)有最大值為163. 設(shè)函數(shù) f(x)x2x1,x0,) 求函數(shù) f(x)的最小值 解析：f(x)x2x1(x1)2x11, x0,),x10,2x10, x12x12 2.當(dāng)且僅當(dāng) x12x1, 即 x 21 時(shí),f(x)取最小值 此時(shí) f(x)min2 21. 題型 5 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題 求目標(biāo)函數(shù)在約束條

18、件下的最優(yōu)解,一般步驟為： 一是尋求約束條件和目標(biāo)函數(shù),二是作出可行域,三是在可行域內(nèi)求目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解,特別注意目標(biāo)函數(shù)zaxbyc在直線axby0 平移過(guò)程中變化的規(guī)律和圖中直線斜率關(guān)系 簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃應(yīng)用題在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用也是高考的熱點(diǎn) 例 6 若不等式組x0，x3y4，3xy4所表示的平面區(qū)域被直線 ykx43分為面積相等的兩部分,則 k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示： 由于直線ykx43過(guò)定點(diǎn)0，43,因此只有直線過(guò)AB中點(diǎn)時(shí),直線ykx43能平分平面區(qū)域,因?yàn)?A(1,1),B(0,4),所以 AB 中點(diǎn) M12，

19、52.當(dāng) ykx43過(guò)點(diǎn)12，52時(shí),52k243,所以 k73. 答案：A 題型 6 三個(gè)二次(二次函數(shù)、二次不等式、二次方程)問(wèn)題 一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)三者之間形成一個(gè)關(guān)系密切、互為關(guān)聯(lián)、互為利用的知識(shí)體系 將二次函數(shù)看作主體,一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零(零點(diǎn))和不為零的兩種情況,一般討論二次函數(shù)主要是將其通過(guò)一元二次方程和一元二次不等式來(lái)討論,而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應(yīng)的二次函數(shù)相聯(lián)系,通過(guò)二次函數(shù)的圖象揭示解(集)的幾何特征 例 7 當(dāng) m 為何值時(shí),方程 2x24mx3m10 有兩個(gè)負(fù)根？ 解析：方程 2x24mx3

20、m10 有兩個(gè)負(fù)根,則有 （4m）242（3m1）0，ba4m22m0，ca3m120，即m12或m1，m0，m13. 當(dāng) mm|13m12或m1 時(shí),原方程有兩個(gè)負(fù)根 題型 7 不等式與函數(shù)的綜合問(wèn)題 例 8 定義在(1,1)上的奇函數(shù) f(x)在整個(gè)定義域上是減函數(shù),且 f(1a)f(1a2)0,求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 解析：f(x)的定義域?yàn)?1,1), 11a1，11a21， 0a2， 2a 2且a0， 0a 2, 原不等式變形為 f(1a)f(1a2) 由于 f(x)為奇函數(shù),有f(1a2)f(a21), f(1a)f(a21) 又 f(x)在(1,1)上是減函數(shù), 1aa21,解得

21、2a1. 由可得 0a1, a 的取值范圍是(0,1) 題型 8 求分式函數(shù)的最值 例 9 求函數(shù) yx43x23x21的最小值 解析：y（x42x21）（x21）1x21(x21)1x2112（x21）1x2113,當(dāng)且僅當(dāng) x211x21,即 x211,即 x0 時(shí)等號(hào)成立 題型 9 數(shù)軸標(biāo)根法 (1)將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式：一端為 0,另一端為一次因式(因式中 x 的系數(shù)為正)或二次不可約因式的乘積 (2)求出各因式為 0 的實(shí)數(shù)根,并在數(shù)軸上標(biāo)出 (3)自最右端上方起,用曲線自右至左,依次由各根穿過(guò)數(shù)軸,遇奇次重根一次穿過(guò),遇偶次重根穿而不過(guò)(奇過(guò)偶不過(guò)) (4)記數(shù)軸上方為正,下方為負(fù)

22、,根據(jù)不等式的符號(hào)寫出解集 例 10 解不等式(x2)(x1)(x1)(x2)0. 分析： 本題考查高次不等式的解法,應(yīng)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法顯得較繁瑣,可利用數(shù)軸標(biāo)根法來(lái)解 解析：設(shè) y(x2)(x1)(x1)(x2),則 y0 的根分別是2,1,1,2,將其分別標(biāo)在數(shù)軸上,并畫出示意圖如下： 不等式的解集是x|2x1 或 1x2 點(diǎn)評(píng)：利用數(shù)軸標(biāo)根法解不等式,需注意： (1)要注意所標(biāo)出的區(qū)間是否是方程根的取值范圍,可取特殊值檢驗(yàn),以防不慎造成失誤 (2)有些點(diǎn)是否要舍掉,要仔細(xì)檢驗(yàn) 題型 10 變換主元法 例 11 設(shè) f(x)mx2mx6m. (1)若對(duì)于 m2,2,f(x)0 恒成立,求實(shí)

23、數(shù) x 的取值范圍； (2)若對(duì)于 x1,3,f(x)0 恒成立,求實(shí)數(shù) m 的取值范圍； 分析：根據(jù)題意,f(x)可看作是 m 的一次函數(shù),也可以看作是 x 的二次函數(shù)來(lái)解 解析： (1)依題意,設(shè) g(m)(x2x1)m6,則 g(m)是關(guān)于 m 的一次函數(shù)且一次項(xiàng)系數(shù)x2x1x122340,g(m)在2,2上遞增 欲使 f(x)0 恒成立 需 g(m)maxg(2)2(x2x1)60, 解得1x2. 實(shí)數(shù) x 取值范圍是(1,2) (2)方法一 f(x)mx12234m60, 在 x1,3上恒成立 m0，f（x）maxf（3）7m60或m0，f（x）60或 m0，f（x）maxf（1）m60. 解得 m67. 方法二 要使f(x)m(x2x1)60在1,3上恒成立,則有m6x2x1在x1,3上恒成立 而當(dāng) x1,3時(shí), 6x2x16x12234693167. 6x2x1的最小值為67. m67. 點(diǎn)評(píng)：若給出 m 的取值范圍,則看作是 m 的一次函數(shù),若給出 x 的取值范圍,則看作是 x的二次函數(shù)