【人教A版】高中數(shù)學 第三章 不等式章末知識總結(jié) 新人教A版必修5

人教版高中數(shù)學必修精品教學資料 高中數(shù)學 第三章 不等式章末知識總結(jié) 新人教 A 版必修 5 一、本章概述 不等關(guān)系是中學數(shù)學中最基本、最廣泛、最普遍的關(guān)系 不等關(guān)系起源于實數(shù)的性質(zhì),產(chǎn)生了實數(shù)的大小關(guān)系、 簡單不等式、 不等式的基本性質(zhì),如果賦予不等式中變量以特定的值、特定的關(guān)系,又產(chǎn)生了重要不等式、基本不等式等 不等式是永恒的嗎？顯然不是,由此又產(chǎn)生了解不等式與證明不等式兩個極為重要的問題解不等式即尋求不等式成立時變量應滿足的范圍或條件,不同類型的不等式又有不同的解法不等式證明則是推理性問題或探索性問題推理性即在特定條件下,闡述論證過程,揭示內(nèi)在規(guī)律,基本方法有比較法、綜合法、分析法；探索性問題大多是與自然數(shù)n有關(guān)的證明問題,常采用觀察歸納猜想證明的思路,以數(shù)學歸納法完成證明另外,不等式的證明方法還有換元法、放縮法、反證法、構(gòu)造法等不等式中常見的基本思想方法有等價轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程 不等式的知識滲透在數(shù)學中的各個分支,相互之間有著千絲萬縷的聯(lián)系,因此不等式又可作為一個工具來解決數(shù)學中的其他問題,諸如集合問題,方程(組)的解的討論,函數(shù)單調(diào)性的研究,函數(shù)定義域的確定,以及三角、 數(shù)列、 立體幾何、 解析幾何中的最大值、 最小值問題,這些問題無一不與不等式有著密切的聯(lián)系 不等式還可以解決現(xiàn)實世界中反映出來的數(shù)學問題,許多問題最終歸結(jié)為不等式的求解或證明 解決這類綜合問題的一般思維方法是：引參,建立不等關(guān)系,解某一主元的不等式(實為分離變元),適時活用基本不等式其中建立不等關(guān)系的常用途徑是：根據(jù)題設條件；判別式法；基本不等式法；依據(jù)某些變量(如 sin x,cos x)的有界性等 二、主干知識 1不等式與不等關(guān)系 不等式的性質(zhì)刻畫了在一定條件下兩個量的不等關(guān)系 不等式的性質(zhì)包括“單向性”和“雙向性”單向性主要用于證明不等式,雙向性是解不等式的基礎(chǔ)因為解不等式要求的是同解變形要正確理解不等式的性質(zhì),必須先弄清每一性質(zhì)的條件和結(jié)論、注意條件和結(jié)論的放寬和加強,以及條件與結(jié)論之間的相互聯(lián)系 雙向性主要有： (1)不等式的基本性質(zhì)：ab ab0，ab ab0，ab ab0，這是比較兩個實數(shù)的大小的依據(jù)； (2)ab bb acbc. 單向性主要有： (1)ab,bcac； (2)ab,cdacbd； (3)ab,c0(cbc(acb0,cd0acbd； (5)ab0,0cb0,mN*ambm； (7)ab0,nN*,n1nanb. 特別提醒：(1)同向不等式可以相加,異向不等式可以相減即： 若ab,cd,則acbd； 若ab,cd,則acbd. 但異向不等式不可以相加,同向不等式不可以相減 (2)左右同正不等式,同向的不等式可以相乘,但不能相除； 異向不等式可以相除,但不能相乘即： 若ab0,cd0,則acbd； 若ab0,0cd,則acbd. (3)左右同正不等式,兩邊可以同時乘方或開方即： 若ab0,nN*,n1,則anbn或nanb. (4)若ab0,ab,則1a1b；若ab0,ab,則1a1b. 如果對不等式兩邊同時乘以一個代數(shù)式,要注意它的正負號,如果正負號未定,要注意分類討論 2一元二次不等式及其解法 解一元二次不等式常用數(shù)形結(jié)合法,基本步驟如下：將一元二次不等式化成ax2bxc0 的形式；計算判別式并求出相應的一元二次方程的實數(shù)解；畫出相應的二次函數(shù)的圖象；根據(jù)圖象和不等式的方向?qū)懗鲆辉尾坏仁降慕饧?設相應二次函數(shù)的圖象開口向上,并與x軸相交,則有口訣：大于取兩邊,小于取中間 解含參數(shù)的不等式的通法是“定義域為前提,函數(shù)增減性為基礎(chǔ),分類討論是關(guān)鍵” 要注意對字母參數(shù)的討論,如果遇到下述情況則一般需要討論： (1)在解含有字母的一元二次不等式時,需要考慮相應的二次函數(shù)的開口方向,對應的一元二次方程根的狀況(有時要分析),比較兩個根的大小,設根為x1,x2,要分x1x2、x1x2、x1x2討論 (2)不等式兩端乘或除一個含參數(shù)的式子時,則需討論這個式子的正負 (3)求解過程中,需用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時,則需對它們的底數(shù)進行討論 注意解完之后要寫上： “綜上,原不等式的解集是” 若按參數(shù)討論,最后應按參數(shù)取值分別說明其解集；若按未知數(shù)討論,最后應求并集 一元二次不等式ax2bxc0 或ax2bxc0(a0)的解集：設相應的一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩根為x1、x2且x1x2,b24ac,則不等式的解的各種情況如下表所示： 特別提醒：(1)解題中要充分利用一元二次不等式的解集是實數(shù)集 R 和空集的幾何意義,準確把握一元二次不等式的解集與相應一元二次方程的根及二次函數(shù)圖象之間的內(nèi)在聯(lián)系 (2)解不等式的關(guān)鍵在于保證變形轉(zhuǎn)化的等價性簡單分式不等式可化為整式不等式求解：先通過移項、通分等變形手段將原不等式化為右邊為 0 的形式,然后通過符號法則轉(zhuǎn)化為整式不等式求解 轉(zhuǎn)化為求不等式組的解時,應注意區(qū)別“且”、 “或”,涉及最后幾個不等式的解集是“交”,還是“并”注意：不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值 (3)在解決實際問題時,先要從實際問題中抽象出數(shù)學模型,并尋找出該數(shù)學模型中已知量與未知量,再建立數(shù)學關(guān)系式,然后用適當?shù)姆椒ń鉀Q問題 (4)解含參數(shù)的不等式是高中數(shù)學中的一類較為重要的題型,解決這類問題的難點在于對參數(shù)進行恰當分類分類相當于增加了題設條件,便于將問題分而治之在解題過程中,經(jīng)常會出現(xiàn)分類難以入手或者分類不完全的現(xiàn)象強化分類意識,選擇恰當?shù)慕忸}切入點,掌握一些基本的分類方法,善于借助直觀圖形找出分類的界值是解決此類問題的關(guān)鍵 3二元一次不等式(組)與簡單的線性規(guī)劃問題 (1)確定二元一次不等式表示的區(qū)域的步驟： 在平面直角坐標系中作出直線AxByC0. 在直線的一側(cè)任取一點P(x0,y0),當C0 時,常把原點作為特殊點 將P(x0,y0)代入AxByC求值,若Ax0By0C0,則包含點P的半平面為不等式AxByC0 所表示的平面區(qū)域,不包含點P的半平面為不等式AxByC0 所表示的平面區(qū)域也可把二元一次不等式改寫成ykxb或ykxb的形式,前者表示直線的上方區(qū)域,后者表示直線的下方區(qū)域 (2)線性規(guī)劃的有關(guān)概念： 滿足關(guān)于x,y的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件； 關(guān)于變量x,y的解析式叫目標函數(shù),關(guān)于變量x,y一次式的目標函數(shù)叫線性目標函數(shù)； 求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,稱為線性規(guī)劃問題； 滿足線性約束條件的解(x,y)叫可行解,由所有可行解組成的集合叫做可行域； 使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解 特別提醒：(1)畫不等式AxByC0 所表示的平面區(qū)域時,區(qū)域包括邊界線,因此,將邊界直線畫成實線；無等號時區(qū)域不包括邊界線,用虛線表示不包含直線l. (2)AxByC0 表示在直線AxByC0(B0)的上方,AxByC0 表示在直線AxByC0(B0)的下方 (3)設點P(x1,y1),Q(x2,y2),直線l：AxByC0,若Ax1By1C與Ax2By2C同號,則P,Q在直線l的同側(cè),異號則在直線l的異側(cè) (4)在求解線性規(guī)劃問題時要注意：將目標函數(shù)改成斜截式方程；尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范 4基本不等式abab2. (1)基本不等式： 設a,b是任意兩個正數(shù),那么abab2.當且僅當ab時,等號成立 基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) 如果把ab2看做是正數(shù)a,b的等差中項,ab看做是正數(shù)a,b的等比中項,那么基本不等式也可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項 基本不等式abab2幾何意義是“半徑不小于半弦” (2)對基本不等式的理解： 基本不等式的左式為和結(jié)構(gòu),右式為積的形式,該不等式表明兩正數(shù)a,b的和與兩正數(shù)a,b的積之間的大小關(guān)系,運用該不等式可作和與積之間的不等變換 “當且僅當ab時,等號成立”的含義： a當ab時等號成立的含意是：abab2ab； b僅當ab時等號成立的含意是：ab2abab； 綜合起來,其含意是：ab2abab. (3)設a,bR,不等式a2b22ababa2b22abab22. (4)基本不等式的幾種變式：設a0,b0,則a1a2,baab2,a2b2ab. (5)常用的幾個不等式： a2b22ab2ab21a1b(根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構(gòu)選用)； 設a,b,cR,則a2b2c2abbcca(當且僅當abc時,取等號)； 真分數(shù)的性質(zhì)：若ab0,m0,則babmam(糖水的濃度問題) 特別提醒：(1)用基本不等式求函數(shù)的最值時,要特別注意“一正、二定、三相等,和定積最大,積定和最小”這 17 字方針常用的方法為：拆、湊、平方 (2)用基本不等式證明不等式時,應重視對所證不等式的分析和化歸,應觀察不等式左右兩邊的結(jié)構(gòu),注意識別輪換對稱式,此時可先證一部分,其他同理可證,然后再累加或累乘 題型 1 恒成立問題 (1)若不等式 f(x)A 在區(qū)間 D 上恒成立,則等價于在區(qū)間 D 上 f(x)minA； (2)若不等式 f(x)B 在區(qū)間 D 上恒成立,則等價于在區(qū)間 D 上 f(x)maxB. 例1 設 函 數(shù)f(x) x ,g(x) x a(a0), 若x1,4 時 不 等 式f（x）ag（x）f（x）1 恒成立,求 a 的取值范圍 解析：由f（x）ag（x）f（x）11f（x）ag（x）f（x）1,得 0ag（x）f（x）2, 即axa2x2 在 x1,4上恒成立,也就是 axa22 x在 x1,4上恒成立 令t x,則t0,且xt2,由此可得 at22ta20在t1,2上恒成立,設g(t) at22ta2,則只需g（1）0，g（2）0a2a20，4a4a20，解得 0a2 22,即滿足題意的 a 的取值范圍是(0,2 22 題型 2 能成立問題 (1)若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)A成立,則等價于在區(qū)間D上的f(x)maxA； (2)若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式f(x)B成立,則等價于在區(qū)間D上的f(x)minB. 例 2 若存在 xR,使不等式|x4|x3|a成立,求實數(shù)a的取值范圍 解析：設f(x)|x4|x3|,依題意f(x)的最小值小于a.又f(x)|x4|x3|(x4)(x3)|1(等號成立的條件是 3x4)故f(x)的最小值為 1,a1.即實數(shù)a的取值范圍是(1,) 題型 3 恰成立問題 (1)若不等式 f(x)A 在區(qū)間 D 上恰成立,則等價于不等式 f(x)A 的解集為 D； (2)若不等式 f(x)B 在區(qū)間 D 上恰成立,則等價于不等式 f(x)B 的解集為 D. 例 4 已知函數(shù) y2x2ax10 x24x6的最小值為 1,求實數(shù) a 的取值集合 解析：由 y1 即2x2ax10 x24x61x2(a4)x40 恒成立,(a4)2160,解得8a0(必要條件)再由 y1 有解,即2x2ax10 x24x61 有解,即 x2(a4)x40有解,(a4)2160,解得 a8 或 a0. 綜上即知 a8 或 a0 時,ymin1,故所求實數(shù) a 的取值集合是8,0 題型 4 利用基本不等式求最值 基本不等式通常用來求最值問題：一般用 ab2 ab(a0,b0)解“定積求和,和最小”問題,用abab22求“定和求積,積最大”問題,一定要注意適用的范圍和條件： “一正、二定、三相等”,特別是利用拆項、添項、配湊、分離變量、減少變元等方法,構(gòu)造定值條件的方法,和對等號能否成立的驗證 若等號不能取到,則應用函數(shù)單調(diào)性來求最值,還要注意運用基本不等式解決實際問題 例 5 已知 0 x2,求函數(shù) yx(83x)的最大值 解析：0 x2,03x6,83x0, yx(83x)133x(83x) 133x83x22163, 當且僅當 3x83x,即 x43時,取等號, 當 x43時,yx(83x)有最大值為163. 設函數(shù) f(x)x2x1,x0,) 求函數(shù) f(x)的最小值 解析：f(x)x2x1(x1)2x11, x0,),x10,2x10, x12x12 2.當且僅當 x12x1, 即 x 21 時,f(x)取最小值 此時 f(x)min2 21. 題型 5 簡單線性規(guī)劃問題 求目標函數(shù)在約束條件下的最優(yōu)解,一般步驟為： 一是尋求約束條件和目標函數(shù),二是作出可行域,三是在可行域內(nèi)求目標函數(shù)的最優(yōu)解,特別注意目標函數(shù)zaxbyc在直線axby0 平移過程中變化的規(guī)律和圖中直線斜率關(guān)系 簡單的線性規(guī)劃應用題在現(xiàn)實生活中的廣泛應用也是高考的熱點 例 6 若不等式組x0，x3y4，3xy4所表示的平面區(qū)域被直線 ykx43分為面積相等的兩部分,則 k 的值是( ) A.73 B.37 C.43 D.34 解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示： 由于直線ykx43過定點0，43,因此只有直線過AB中點時,直線ykx43能平分平面區(qū)域,因為 A(1,1),B(0,4),所以 AB 中點 M12，52.當 ykx43過點12，52時,52k243,所以 k73. 答案：A 題型 6 三個二次(二次函數(shù)、二次不等式、二次方程)問題 一元二次方程、一元二次不等式與二次函數(shù)三者之間形成一個關(guān)系密切、互為關(guān)聯(lián)、互為利用的知識體系 將二次函數(shù)看作主體,一元二次方程和一元二次不等式分別為二次函數(shù)的函數(shù)值為零(零點)和不為零的兩種情況,一般討論二次函數(shù)主要是將其通過一元二次方程和一元二次不等式來討論,而討論一元二次方程和一元二次不等式又要將其與相應的二次函數(shù)相聯(lián)系,通過二次函數(shù)的圖象揭示解(集)的幾何特征 例 7 當 m 為何值時,方程 2x24mx3m10 有兩個負根？ 解析：方程 2x24mx3m10 有兩個負根,則有 （4m）242（3m1）0，ba4m22m0，ca3m120，即m12或m1，m0，m13. 當 mm|13m12或m1 時,原方程有兩個負根 題型 7 不等式與函數(shù)的綜合問題 例 8 定義在(1,1)上的奇函數(shù) f(x)在整個定義域上是減函數(shù),且 f(1a)f(1a2)0,求實數(shù) a 的取值范圍 解析：f(x)的定義域為(1,1), 11a1，11a21， 0a2， 2a 2且a0， 0a 2, 原不等式變形為 f(1a)f(1a2) 由于 f(x)為奇函數(shù),有f(1a2)f(a21), f(1a)f(a21) 又 f(x)在(1,1)上是減函數(shù), 1aa21,解得2a1. 由可得 0a1, a 的取值范圍是(0,1) 題型 8 求分式函數(shù)的最值 例 9 求函數(shù) yx43x23x21的最小值 解析：y（x42x21）（x21）1x21(x21)1x2112（x21）1x2113,當且僅當 x211x21,即 x211,即 x0 時等號成立 題型 9 數(shù)軸標根法 (1)將不等式化為標準形式：一端為 0,另一端為一次因式(因式中 x 的系數(shù)為正)或二次不可約因式的乘積 (2)求出各因式為 0 的實數(shù)根,并在數(shù)軸上標出 (3)自最右端上方起,用曲線自右至左,依次由各根穿過數(shù)軸,遇奇次重根一次穿過,遇偶次重根穿而不過(奇過偶不過) (4)記數(shù)軸上方為正,下方為負,根據(jù)不等式的符號寫出解集 例 10 解不等式(x2)(x1)(x1)(x2)0. 分析： 本題考查高次不等式的解法,應用等價轉(zhuǎn)化的方法顯得較繁瑣,可利用數(shù)軸標根法來解 解析：設 y(x2)(x1)(x1)(x2),則 y0 的根分別是2,1,1,2,將其分別標在數(shù)軸上,并畫出示意圖如下： 不等式的解集是x|2x1 或 1x2 點評：利用數(shù)軸標根法解不等式,需注意： (1)要注意所標出的區(qū)間是否是方程根的取值范圍,可取特殊值檢驗,以防不慎造成失誤 (2)有些點是否要舍掉,要仔細檢驗 題型 10 變換主元法 例 11 設 f(x)mx2mx6m. (1)若對于 m2,2,f(x)0 恒成立,求實數(shù) x 的取值范圍； (2)若對于 x1,3,f(x)0 恒成立,求實數(shù) m 的取值范圍； 分析：根據(jù)題意,f(x)可看作是 m 的一次函數(shù),也可以看作是 x 的二次函數(shù)來解 解析： (1)依題意,設 g(m)(x2x1)m6,則 g(m)是關(guān)于 m 的一次函數(shù)且一次項系數(shù)x2x1x122340,g(m)在2,2上遞增 欲使 f(x)0 恒成立 需 g(m)maxg(2)2(x2x1)60, 解得1x2. 實數(shù) x 取值范圍是(1,2) (2)方法一 f(x)mx12234m60, 在 x1,3上恒成立 m0，f（x）maxf（3）7m60或m0，f（x）60或 m0，f（x）maxf（1）m60. 解得 m67. 方法二 要使f(x)m(x2x1)60在1,3上恒成立,則有m6x2x1在x1,3上恒成立 而當 x1,3時, 6x2x16x12234693167. 6x2x1的最小值為67. m67. 點評：若給出 m 的取值范圍,則看作是 m 的一次函數(shù),若給出 x 的取值范圍,則看作是 x的二次函數(shù)