高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案41】空間幾何體的表面積與體積含答案

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1、 高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5 學(xué)案41　空間幾何體的表面積與體積 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算公式.2.了解球、柱、錐、臺的體積的計算公式.3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力，會利用所學(xué)公式進(jìn)行必要的計算.4.提高認(rèn)識圖、理解圖、應(yīng)用圖的能力． 自主梳理 1．多面體的表面積 (1)設(shè)直棱柱高為h，底面多邊形的周長為c，則S直棱柱側(cè)＝______. (2)設(shè)正n棱錐底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h′，則S正棱錐側(cè)＝____________＝_________

2、___. (3)設(shè)正n棱臺下底面邊長為a，周長為c，上底面邊長為a′，周長為c′，斜高為h′，則 S正棱臺側(cè)＝__________＝____________. (4)設(shè)球的半徑為R，則S球＝____________. 2．幾何體的體積公式 (1)柱體的體積V柱體＝______(其中S為柱體的底面面積，h為高)． 特別地，底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積V圓柱＝πr2h. (2)錐體的體積V錐體＝________(其中S為錐體的底面面積，h為高)． 特別地，底面半徑是r，高是h的圓錐的體積V圓錐＝πr2h. (3)臺體的體積V臺體＝______________(其中S′，S分

3、別是臺體上、下底面的面積，h為高)． 特別地，上、下底面的半徑分別是r′、r，高是h的圓臺的體積V圓臺＝πh(r2＋rr′＋r′2)． (4)球的體積V球＝__________(其中R為球的半徑)． 自我檢測 1．已知兩平行平面α，β間的距離為3，P∈α，邊長為1的正三角形ABC在平面β內(nèi)，則三棱錐P—ABC的體積為(　　) A. B. C. D. 2．(20xx唐山月考) 從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐A—BCD，則它的表面積與正方體表面積的比為(　　) A.∶3 B.∶2 C.∶6 D.∶6 3．設(shè)三

4、棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點，且PA＝QC1，則四棱錐B—APQC的體積為(　　) A.V B.V C.V D.V 4．(20xx平頂山月考)下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(　　) A．9π B．10π C．11π D．12π 5．(20xx陜西)某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(　　) A．8－ B．8－ C．8－2π D. 探究點一　多面體的表面積及體積 例1　三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側(cè)棱長為3，一條側(cè)棱與底面相鄰

5、兩邊都成60角，求此棱柱的側(cè)面積與體積． 變式遷移1　(20xx煙臺月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則三棱柱的側(cè)面面積為________． 探究點二　旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積 例2　 如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC＝30)及其體積． 變式遷移2　直三棱柱ABC—A1B1C1的各頂點都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120，則此球的表面積等

6、于________． 探究點三　側(cè)面展開圖中的最值問題 例3　如圖所示，長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且a>b>c>0.求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長． 變式遷移3　 (20xx杭州月考)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝ .P是BC1上一動點，則CP＋PA1的最小值是________． 1．有關(guān)柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． 2．當(dāng)給出的幾

7、何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利．(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進(jìn)而求之．(2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等．另外補(bǔ)臺成錐是常見的解決臺體側(cè)面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補(bǔ)成錐體研究體積． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20

8、xx安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．48 B．32＋8 C．48＋8 D．80 2．已知一個球與一個正三棱柱的三個側(cè)面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是(　　) A．96 B．16 C．24 D．48 3．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為a，長為定值的線段EF在棱AB上移動(EF

9、x全國)設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為a，頂點都在一個球面上，則該球的表面積為(　　) A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 5．(20xx北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是(　　) A．8 B．6 C．10 D．8 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx馬鞍山月考)如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P—ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是________． 7．(20xx淄博模擬)一塊正方形薄鐵片的邊長為4 cm，以它的一個頂點為圓心，一邊長為半徑畫弧，沿弧剪下

10、一個扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個圓錐筒，則這個圓錐筒的容積等于________cm3. 8．(20xx四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(20xx佛山模擬)如圖組合體中，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面， C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個點．當(dāng)點C是弧AB的中點時，求四棱錐A1—BCC1B1與圓柱的體積比． 10．(12分) (20xx撫順模擬)如圖，四面體AB

11、CD中，△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形． (1)求證：BC⊥AD； (2)試問該四面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及此時棱長AD的大?。蝗舨淮嬖?，說明理由． 11．(14分)(20xx錦州期末)如圖，多面體ABFEDC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點． (1)求證：MN∥平面CDEF； (2)求多面體A—CDEF的體積． 學(xué)案41　空間幾何體的表面積與體積 自主梳理 1．(1)ch　(2)nah′　ch′　(3)n(a＋a′)h′　(c＋c′)h′　(4)4π

12、R2　2.(1)Sh　(2)Sh　(3)h(S＋＋S′)　(4)πR3 自我檢測 1．D　[由題意，S△ABC＝，三棱錐的高h(yuǎn)＝3， ∴V三棱錐P—ABC＝Sh＝.] 2．A　[設(shè)正方體棱長為a，則正四面體棱長AB＝a， ∴S正四面體表＝4(a)2＝2a2. ∵S正方體表＝6a2，∴四面體的表面積與正方體表面積的比為∶3.] 3．C 4. D　[據(jù)三視圖可知該幾何體由球和圓柱體組成，如圖所示， 故該幾何體的表面積為S＝S圓柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.] 5．A　[由三視圖可知該幾何體是一個邊長為2的正方體內(nèi)部挖去一個底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－π

13、2＝8－，故選A.] 課堂活動區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　對于斜棱柱表面積及體積的求解必須求各個側(cè)面的面積和棱柱的高． 解決此類斜棱柱側(cè)面積問題的關(guān)鍵：在已知棱柱高的條件下，用線面垂直?線線垂直的方法作出各個側(cè)面的高，并在相應(yīng)的直角三角形中求解側(cè)面的高． 解　 如圖，過點A1作A1O⊥面ABC于點O，連接AO. 過點A1作A1E⊥AB于點E，過點A1作A1F⊥AC于點F，連接EO，F(xiàn)O，易得OE⊥AB，OF⊥AC， ∵AA1和AB與AC都成60角， ∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F. ∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO. ∴點O在∠BAC的角平分線上，延長AO交BC于點

14、D， ∵△ABC是正三角形， ∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1. ∵AA1∥BB1，∴側(cè)面BB1C1C是矩形， ∴三棱柱的側(cè)面積為S＝234sin 60＋34＝12＋12. ∵AA1＝3，AA1與AB和AC都成60角， ∴AE＝.∵∠BAO＝30， ∴AO＝，A1O＝. ∴三棱柱的體積為V＝16＝12. 變式遷移1　2＋4 解析　 如圖所示，設(shè)D為BC的中點，連接A1D，AD. ∵△ABC為等邊三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD， ∴BC⊥A1A， 又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B， 又∵側(cè)面與底面邊長都等于2， ∴四邊形BB1C1C是正方形，其面積為

15、4. 作DE⊥AB于E，連接A1E，則AB⊥A1E， 又∵AD＝＝，DE＝＝， ∴AE＝＝， ∴A1E＝＝， ∴S四邊形ABB1A1＝，∴S三棱柱側(cè)＝2＋4. 例2　解題導(dǎo)引　解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計算．求全面積時不要忘記“內(nèi)表面”． 解　如圖所示，過C作CO1⊥AB于O1， 在半圓中可得∠BCA＝90， ∠BAC＝30， AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R， ∴S球＝4πR2， S圓錐AO1側(cè)＝πRR ＝πR2， S圓錐BO1側(cè)＝πRR＝πR2， ∴S幾何體表＝S球＋S圓錐

16、AO1側(cè)＋S圓錐BO1側(cè) ＝πR2＋πR2＝πR2， ∴旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為πR2. 又V球＝πR3，V圓錐AO1＝AO1πCO ＝πR2AO1， V圓錐BO1＝BO1πCO＝πR2BO1， ∴V幾何體＝V球－(V圓錐AO1＋V圓錐BO1) ＝πR3－πR3＝πR3. 變式遷移2　20π 解析　在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圓的半徑r＝2，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在Rt△OBO′中，易得球半徑R＝，故此球的表面積為4πR2＝20π. 例3　解題導(dǎo)引　本題可將長方體表面展開，利用平面內(nèi)兩點間的線段長是兩點

17、間的最短距離來解答． 解　將長方體相鄰兩個面展開有下列三種可能， 如圖所示． 三個圖形甲、乙、丙中AC1的長分別為： ＝， ＝， ＝， ∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0. 故最短線路的長為. 變式遷移3　5 解析　將△BCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示． 連接A1C即為CP＋PA1的最小值，過點C作CD垂直A1C1延長線交于D，△BCC1為等腰直角三角形， ∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7. ∴A1C＝＝ ＝5 . 課后練習(xí)區(qū) 1．C　[ 由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形

18、；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側(cè)面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側(cè)面是矩形，寬為4，長為＝.所以S表＝42＋24＋(2＋4)42＋42＝48＋8.] 2．D　[由πR3＝，∴R＝2.∴正三棱柱的高h(yuǎn)＝4.設(shè)其底面邊長為a，則a＝2，∴a＝4. ∴V＝(4)24＝48.] 3．D　4.B 5．C　[將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示． 它的四個面的面積分別為8,6,10,6，故最大的面積應(yīng)為10. 6．6 解析　取底面中心為O，AF中點為M，連接PO、OM、PM、AO，則PO⊥OM， OM⊥AF，PM⊥AF， ∵OA＝OP＝2，∴OM＝，

19、 PM＝＝. ∴S側(cè)＝62＝6. 7.π 解析　圍成圓錐筒的母線長為4 cm， 設(shè)圓錐的底面半徑為r，則2πr＝2π4， ∴r＝1，∴圓錐的高h(yuǎn)＝＝. ∴V圓錐＝πr2h＝π(cm3)． 8．2πR2 解析　方法一　設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為α，則圓柱高為2Rcos α，圓柱底面半徑為Rsin α，∴S圓柱側(cè)＝2πRsin α2Rcos α＝2πR2sin 2α.當(dāng)sin 2α＝1時，S圓柱側(cè)最大為2πR2，此時，S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 方法二　設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2. ∴S圓柱側(cè)＝2πr2， S′圓柱側(cè)＝4π－. 令S′圓柱側(cè)＝0

20、，得r＝R. 當(dāng)00； 當(dāng)R

21、BCC1B1的體積為r2h－r2h＝r2h，圓柱的體積為πr2h，(10分) 故四棱錐A1—BCC1B1與圓柱的體積比為2∶3π. (12分) 10．(1)證明　取BC的中點E，連接AE，DE，EF， ∵△ABC與△DBC都是邊長為4的正三角形， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又AE∩DE＝E， ∴BC⊥平面AED.又AD?面AED， ∴BC⊥AD.(6分) (2)解　由已知得，△AED為等腰三角形，且AE＝ED＝2，設(shè)AD＝x，F(xiàn)為棱AD的中點， 則EF＝， S△AED＝x ＝，(8分) V＝S△AED(BE＋CE)＝ (0

22、Vmax＝8， ∴該四面體存在最大值，最大值為8，(11分) 此時棱長AD＝2.(12分) 11．(1)證明　由多面體ABFEDC的三視圖知，三棱柱AED—BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形．(3分) 連接EB，則M是EB的中點， 在△EBC中，MN∥EC， 且EC?平面CDEF， MN?平面CDEF， ∴MN∥平面CDEF.(6分) (2)解　∵DA⊥平面ABFE， EF?平面ABFE， ∴EF⊥AD.又EF⊥AE，AE∩AD＝A，∴EF⊥平面ADE. 又DE?平面ADE，∴EF⊥DE，(8分) ∴四邊形CDEF是矩形，且平面CDEF⊥平面DAE. 取DE的中點H，連接AH，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2， ∴AH＝，且AH⊥平面CDEF.(12分) ∴多面體A—CDEF的體積V＝SCDEFAH ＝DEEFAH＝.(14分)