人教A版理科高考數(shù)學一輪細講精練【選修45】不等式選講

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1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5選修45不等式選講A第1講不等式、含有絕對值的不等式最新考綱1理解絕對值三角不等式的代數(shù)證明和幾何意義，能利用絕對值三角不等式證明一些簡單的絕對值不等式2掌握|axb|c，|axb|c，|xa|xb|c型不等式的解法.知 識 梳 理1絕對值三角不等式(1)定理1：如果a，b是實數(shù)，則|ab| |a|b|，當且僅當ab0時，等號成立；(2)性質(zhì)：|a|b|ab|a|b|；(3)定理2：如果a，b，c是實數(shù)，則|ac|ab|bc|，當且僅當(ab)(bc)0時，等號成立2絕對值不等式的解法(1)含絕對值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax|axax|

2、xa，或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想診 斷 自 測1不等式1|x1|3的解集為_解析數(shù)軸上的點到1的距離大于1且小于3的全體實數(shù)為所求解集答案(4，2)(0,2)2設ab0，下面四個不等式中，正確命題的序號是_|ab|a|；|ab|b|；|ab|ab|；|ab|a|b|.解析ab0，a

3、，b同號，|ab|a|b|，和正確答案3不等式|x8|x4|2的解集為_解析令：f(x)|x8|x4|當x4時，f(x)42；當4x8時，f(x)2x122，得x5，4x5；當x8時，f(x)42不成立故原不等式的解集為：x|x5答案x|x54(20xx山東卷)若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實數(shù)k_.解析|kx2|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案25已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無解，則實數(shù)k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當k1時，不等式|x1|x|k無解，故k1.答案(，1)考點一含絕對值不等式的解法【例1】 解不等式|x1|x2|5.

4、解法一如圖，設數(shù)軸上與2,1對應的點分別是A，B，則不等式的解就是數(shù)軸上到A、B兩點的距離之和不小于5的點所對應的實數(shù)顯然，區(qū)間2,1不是不等式的解集把A向左移動一個單位到點A1，此時A1AA1B145.把點B向右移動一個單位到點B1，此時B1AB1B5，故原不等式的解集為(，32，)法二原不等式|x1|x2|5或或解得x2或x3，原不等式的解集為(，32，)法三將原不等式轉(zhuǎn)化為|x1|x2|50.令f(x)|x1|x2|5，則f(x)作出函數(shù)的圖象，如圖所示由圖象可知，當x(，32，)時，y0，原不等式的解集為(，32，)規(guī)律方法 形如|xa|xb|c(或c)型的不等式主要有三種解法：(1)

5、分段討論法：利用絕對值號內(nèi)式子對應方程的根，將數(shù)軸分為(，a，(a，b，(b，)(此處設ab)三個部分，在每個部分上去掉絕對值號分別列出對應的不等式求解，然后取各個不等式解集的并集(2)幾何法：利用|xa|xb|c(c0)的幾何意義：數(shù)軸上到點x1a和x2b的距離之和大于c的全體，|xa|xb|xa(xb)|ab|.(3)圖象法：作出函數(shù)y1|xa|xb|和y2c的圖象，結(jié)合圖象求解【訓練1】 解不等式|x3|2x1|1.解當x3時，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x10，x3.當3x時，原不等式化為(x3)(12x)1，解得x，3x.當x時，原不等式化為(x3)(2x1)1，解得x2，

6、x2.綜上可知，原不等式的解集為.考點二含參數(shù)的絕對值不等式問題【例2】 已知不等式|x1|x3|a.分別求出下列情形中a的取值范圍(1)不等式有解；(2)不等式的解集為R；(3)不等式的解集為.解法一因為|x1|x3|表示數(shù)軸上的點P(x)與兩定點A(1)，B(3)距離的差，即|x1|x3|PAPB.由絕對值的幾何意義知，PAPB的最大值為AB4，最小值為AB4，即4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，a只要比|x1|x3|的最大值小即可，故a4.(2)若不等式的解集為R，即不等式恒成立，只要a比|x1|x3|的最小值還小，即a4.(3)若不等式的解集為，a只要不小于|x1|x3|的最大值

7、即可，即a4.法二由|x1|x3|x1(x3)|4.|x3|x1|(x3)(x1)|4.可得4|x1|x3|4.(1)若不等式有解，則a4；(2)若不等式的解集為R，則a4；(3)若不等式解集為，則a4.規(guī)律方法 本題中(1)是含參數(shù)的不等式存在性問題，只要求存在滿足條件的x即可；不等式的解集為R是指不等式的恒成立問題，而不等式的解集的對立面(如f(x)m的解集是空集，則f(x)m恒成立)也是不等式的恒成立問題，此兩類問題都可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)a恒成立af(x)max，f(x)a恒成立af(x)min.【訓練2】 設函數(shù)f(x)|xa|3x，其中a0.(1)當a1時，求不等式f(x)3

8、x2的解集；(2)若不等式f(x)0的解集為x|x1，求a的值解(1)當a1時，f(x)3x2可化為|x1|2.由此可得x3或x1.故不等式f(x)3x2的解集為x|x3，或x1(2)由f(x)0得|xa|3x0.此不等式化為不等式組或即或因為a0，所以不等式組的解集為.由題設可得1，故a2.考點三含絕對值的不等式的應用【例3】 (20xx新課標全國卷)已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當a2時，求不等式f(x)1，且當x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍解(1)當a2時，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖象如圖

9、所示，由圖象可知，當且僅當x(0,2)時，y0.所以原不等式的解集是x|0x2(2)當x時，f(x)1a，不等式f(x)g(x)化為1ax3，所以xa2對x都成立，應有a2，則a，從而實數(shù)a的取值范圍是.規(guī)律方法 含有多個絕對值的不等式，可以分別令各絕對值里的式子為零，并求出相應的根把這些根從小到大排序，以這些根為分界點，將實數(shù)分成若干小區(qū)間按每個小區(qū)間來去掉絕對值符號，解不等式，最后取每個小區(qū)間上相應解的并集【訓練3】 (20xx新課標全國卷)已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當a3時，f

10、(x)當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2x3時，f(x)3無解；當x3時，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集為x|x1，或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當x1,2時，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍是3,0.絕對值三角不等式的應用【典例】 (20xx福建卷)設不等式|x2|a(aN*)的解集為A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值審題視點(1)利用條件A，A，建立不等式，求a的值；(2)利用絕對值三角不等式進行放縮求解解(1)A，A.

11、a，且a，因此a，又aN*，從而a1.(2)由(1)知，f(x)|x1|x2|，又|x1|x2|(x1)(x2)|3，當且僅當(x1)(x2)0，即1x2時等號成立故f(x)的最小值為3.反思感悟本題難以想到利用絕對值三角不等式進行放縮是失分的主要原因；對于需求最值的情況，可利用絕對值三角不等式性質(zhì)定理：|a|b|ab|a|b|，通過適當?shù)奶?、拆項來放縮求解【自主體驗】1若不等式|x1|x3|a對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析當a0時，顯然成立；當a0時，|x1|x3|的最小值為4，a4.a2.綜上可知a的取值范圍是(，0)2答案(，0)22(20xx陜西卷)若存在實數(shù)x使|x

12、a|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析|xa|x1|(xa)(x1)|a1|，要使|xa|x1|3有解，可使|a1|3，3a13，2a4.答案2,4一、填空題1不等式|2x1|3的解集為_解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2不等式|2x1|x2|0的解集為_解析法一原不等式即為|2x1|x2|，4x24x1x24x4，3x23，1x1.原不等式解集為x|1x0時，x，得a2.(2)記h(x)f(x)2f|2x1|2x2|，則h(x)所以|h(x)|1，因此k1.故k的取值范圍是1，)12設函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)

13、2，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函數(shù)f(x)|x1|x1|的圖象由圖象可知，不等式f(x)3的解集為.(2)若a1，f(x)2|x1|，不滿足題設條件；若a1，f(x)f(x)的最小值為1a；若a1，f(x)f(x)的最小值為a1.對于xR，f(x)2的充要條件是|a1|2，a的取值范圍是(，13，)第2講不等式的證明最新考綱了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法，并能用它們證明一些簡單不等式知 識 梳 理1基本不等式定理1：設a，bR，則a2b22ab.當且僅當ab時，等號成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當且僅當ab時，等號

14、成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則，當且僅當abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均不等式)如果a1、a2、an為n個正數(shù)，則，當且僅當a1a2an時，等號成立2柯西不等式(1)設a，b，c，d均為實數(shù)，則(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當adbc時等號成立(2)若ai，bi(iN*)為實數(shù)，則()()(ibi)2，當且僅當(當ai0時，約定bi0，i1,2，n)時等號成立(3)柯西不等式的向量形式：設，為平面上的兩個向量，則|，當且僅當，共線時等號成立3不等式的證明方法證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法等診 斷 自 測1已知a、b、m均為正

15、數(shù)，且ab，M，N，則M、N的大小關(guān)系是_解析MN0，即MN.答案MN2設a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系為_解析分子有理化得a，b，c，abc.答案abc3若0ab1，則ab,2，a2b2,2ab中最大的一個是_解析ab2，a2b22ab.又(a2b2)(ab)a(a1)b(b1)，0a1,0b1.a(a1)b(b1)0.a2b2ab.答案ab4已知x，yR，且xy1，則的最小值為_解析24.答案45若a，b，c(0，)，且abc1，則的最大值為_解析()2(111)2(121212)(abc)3.當且僅當abc時，等號成立()23.故的最大值為.答案考點一分析法證明不等式【例1】 設a，

16、b，c0，且abbcca1.求證：(1)abc.(2) ()證明(1)要證abc ，由于a，b，c0，因此只需證明(abc)23.即證：a2b2c22(abbcca)3，而abbcca1，故需證明：a2b2c22(abbcca)3(abbcca)即證：a2b2c2abbcca.而這可以由abbccaa2b2c2(當且僅當abc時等號成立)證得原不等式成立(2).由于(1)中已證abc.因此要證原不等式成立，只需證明 .即證abc1，即證abcabbcca.而a，b，c.abcabbcca.原不等式成立規(guī)律方法 分析法是證明不等式的重要方法，當所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]

17、有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆【訓練1】 已知a、b、c均為正實數(shù)，且abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c)證明a、b、cR，且abc1，要證原不等式成立，即證(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是證(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab)(ca)(ab)2 0，(ab)(bc)2 0.(bc)(ca)2 0，三式相乘得式成立，故原不等式得證考點二用綜合法證明不等式【例2】 已知a0，b0，ab1，求證：(1

18、)8；(2)9.證明(1)ab1，a0，b0，22244 48.8.(2)1，由(1)知8.9.規(guī)律方法 利用綜合法證明不等式，關(guān)鍵是利用好已知條件和已經(jīng)證明過的重要不等式【訓練2】 已知a，b，cR，且互不相等，且abc1，求證：.證明法一a，b，cR，且互不相等，且abc1，.法二22；22；22.以上三式相加，得 .又a，b，c互不相等，.法三a，b，c是不等正數(shù)，且abc1，bccaab.考點三利用柯西不等式求最值【例3】 (1)(20xx湖北卷)設x，y，zR，且滿足：x2y2z21，x2y3z，則xyz_.(2)已知x、y、zR，且xyz1，則：的最小值為_解析(1)由柯西不等式，

19、得(x2y2z2)(122232)(x2y3z)2，(x2y3z)214，則x2y3z，又x2y3z，x，因此x，y，z，于是xyz.(2)法一利用柯西不等式由于(xyz)236.所以36.當且僅當x2y2z2，即x，y，z時，等號成立法二(xyz)(xyz)(xyz)1414461236.當且僅當y2x，z3x，即x，y，z時，等號成立答案(1)(2)36規(guī)律方法 根據(jù)柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用柯西不等式對有關(guān)不等式進行證明，證明時，需要對不等式變形，使之與柯西不等式有相似的結(jié)構(gòu)，從而應用柯西不等式【訓練3】 (20xx湖南卷)已知a，b，cR，a2b3c6，則a24b29c2的最小值為_解

20、析法一(xyz)2x2y2z22xy2yz2zx3(x2y2z2)，a24b29c2(a2b3c)212.a24b29c2的最小值為12.法二由柯西不等式，得(a24b29c2)(121212)(a12b13c1)236，故a24b29c212，從而a24b29c2的最小值為12.答案12利用算術(shù)幾何平均不等式求最值【典例】 已知a，b，c均為正數(shù)，證明：a2b2c226，并確定a，b，c為何值時，等號成立審題視點(1)a2b2c2，分別用算術(shù)幾何平均不等式；(2)相加后又構(gòu)成用算術(shù)幾何平均不等式的條件解因為a，b，c均為正數(shù)，由算術(shù)幾何平均不等式得a2b2c23(abc)3(abc)，所以2

21、9(abc).故a2b2c223(abc)9(abc).又3(abc)9(abc)26，所以原不等式成立當且僅當abc時，式和式等號成立當且僅當3(abc)9(abc)時，式等號成立即當且僅當abc3時，原式等號成立反思感悟(1)利用算術(shù)幾何平均不等式證明不等式或求最值問題，是不等式問題中的一個重要類型，重點要抓住算術(shù)幾何平均不等式的結(jié)構(gòu)特點和使用條件(2)在解答本題時有兩點容易造成失分：一是多次運用算術(shù)幾何平均不等式后化簡錯誤；二是求解等號成立的a，b，c的值時計算出錯【自主體驗】設a，b，c為正實數(shù)，求證：abc2.證明因為a，b，c是正實數(shù)，由算術(shù)幾何平均不等式可得3，即.所以abcab

22、c.而abc22，當且僅當abc且abc時，取等號所以abc2.一、填空題1(20xx江蘇卷改編)已知ab0，M2a3b3，N2ab2a2b，則M、N的大小關(guān)系為_解析2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab0，所以ab0，ab0,2ab0，從而(ab)(ab)(2ab)0，故2a3b32ab2a2b.答案MN2已知xy1，那么2x23y2的最小值是_解析由柯西不等式(2x23y2)2(xy)21，2x23y2，當且僅當2x3y，即x，y時，等號成立答案3若直線3x4y2，則x2y2的最小值為_，最小值點為_解析由柯西不

23、等式(x2y2)(3242)(3x4y)2，得25(x2y2)4，所以x2y2.當且僅當時等號成立，為求最小值點，需解方程組因此，當x，y時，x2y2取得最小值，最小值為，最小值點為.答案4若a，b均為正實數(shù)，且ab，M，N，則M、N的大小關(guān)系為_解析ab，2，2，22，.即MN.答案M N5設a、b、c是正實數(shù)，且abc9，則的最小值為_解析(abc)()2()2()2218.2.的最小值為2.答案26已知a，b，c為正實數(shù)，且a2b3c9，則的最大值為_解析 ，故最大值為.答案7(20xx陜西卷)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_解析由柯西

24、不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2，當且僅當adbc時“”成立，得(ambn)(bman)()2mn(ab)22.答案28已知x22y23z2，則3x2yz的最小值為_解析(x22y23z2)(3xyz)2(3x2yz)2，當且僅當x3y9z時，等號成立(3x2yz)212，即23x2yz2.當x，y，z時，3x2yz2，最小值為2.答案29已知a，b，cR，且abc1，則的最大值為_解析法一利用基本不等式()2(3a1)(3b1)(3c1)222(3a1)(3b1)(3c1)(3a1)(3b1)(3b1)(3c1)(3a1)(3c1)3(3a1)(3b1)(3c1)18，3，()m

25、ax3.法二利用柯西不等式(121212)()2()2()2(111)2()233(abc)3又abc1，()218，3.當且僅當時，等號成立()max3.答案3二、解答題10設a，b，c為正數(shù)，且abc1，求證：9.證明法一a，b，c均為正數(shù)，1abc3.又3，1339.即9.法二構(gòu)造兩組數(shù)：， ， ；，.因此根據(jù)柯西不等式有()2()2()22.即(abc)329.(當且僅當，即abc時取等號)又abc1，所以9.11設不等式|2x1|1的解集為M.(1)求集合M；(2)若a，bM，試比較ab1與ab的大小解(1)由|2x1|1得12x11，解得0x1.所以Mx|0x1(2)由(1)和a，bM可知0a1,0b1，所以(ab1)(ab)(a1)(b1)0.故ab1ab.12(20xx福建卷)已知函數(shù)f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集為1,1(1)求m的值；(2)若a，b，c大于0，且m，求證：a2b3c9.(1)解f(x2)m|x|，f(x2)0等價于|x|m.由|x|m有解，得m0且其解集為x|mxm又f(x2)0的解集為1,1，故m1.(2)證明由(1)知1，且a，b，c大于0，a2b3c(a2b3c)332229.當且僅當a2b3c時，等號成立因此a2b3c9.