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1、 等價無窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用摘要 主要討論了等價無窮小量在求積商、和差及冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用, 并通過一些具體的例題體現(xiàn)了無窮小量替換在求極限中的靈活性、多樣性和重要性.關(guān)鍵詞 等價無窮小量; 積商結(jié)構(gòu); 和差結(jié)構(gòu); 冪指結(jié)構(gòu); 極限; 應(yīng)用 1 等價無窮小量在求積商結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用1.1等價無窮小定義及重要結(jié)論 定義1.1.1 若 則稱為時的無窮小量.定義1.1.2 若 則稱與是當時的等價無窮小. 記作.應(yīng)用等價無窮小代換, 必須記住一些基本的等價無窮小量, 如時, ,等.定理1.1.1 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義, 且有若存在, 則.證明 .定理1.1.2 設(shè)函數(shù)在內(nèi)有定義, 且有若
2、存在, 則.證明 .由定理1.1.1和定理1.1.2,可以得到以下一個重要的結(jié)論, 它在求積和商的極限中有很重要的作用, 需加強對它的理解. 結(jié)論1.1.1 設(shè)為時的無窮小量, 若存在, 則. 證明 . 從結(jié)論1.1.1容易看出, 當時, 結(jié)論就是上面定理1.1.1的情形; 當去掉分子并略去相關(guān)條件, 結(jié)論1.1.1就是定理1.1.2的情形, 即兩定理是結(jié)論的特殊情況, 需要要很好的理解上面的結(jié)論.1.2 定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例1.2.1 求.解 由于. 故由定理1.1.2得.例1.2.2 利用等價無窮小量求極限.解 由于這個極限的分子不滿足上面定理和結(jié)論的要求, 需要我們對它進行轉(zhuǎn)化,使之成
3、為定理和結(jié)論需要的形式, 容易看出, 而 故有. 說明 這道題是結(jié)論1.1.1的應(yīng)用, 應(yīng)注意的是, 在利用等價無窮小量代換求極限時,要注意所求極限的形式與上面所給定理和結(jié)論是否相對應(yīng), 不滿足時不能隨意替換, 需要適當?shù)淖冃? 變成我們需要的形式, 如剛才這個極限的分子就不與上面的結(jié)論要求相對應(yīng), 需要上面的適當?shù)淖冃?例1.2.3 求極限. 解 由于 由結(jié)論1.1.1得. 說明 這道例題與例1.1.2類似, 雖然形式比較復(fù)雜, 但只要嚴格按照上面的結(jié)論就可以迎刃而解了.2 等價無窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用2.1 重要定理及其結(jié)論 課本中一般強調(diào)等價無窮小代換法則只在乘除的情況下可
4、以使用, 在加減的情況下不能隨意使用, 那么究竟在什么樣的情況下加減的形式可以使用呢? 現(xiàn)在來著重介紹一下, 下面先來看和的情形. 定理2.1.1 設(shè)為時的無窮小量, 且, 則.證明 當時, 因為,知, 且所以 . 當時, 有已知條件知, 所以 故. 定理2.1.1表明, 在計算與兩個無窮小量的代數(shù)和有關(guān)的極限運算時, 若其為同階無窮小且兩者商的極限不為時, 則可用與其等價的無窮小量分別替換, 將是運算過程更為簡潔.對于差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限類似得如下定理 定理2.1.2 設(shè) 為時的無窮小量,且 則. 定理2.1.2表明, 在計算與兩個無窮小量的差有關(guān)的極限運算時, 若其為同階無窮小且兩者商的極限不
5、為時, 則可用與其等價的無窮小量分別替換, 將是運算過程更為簡潔. 定理2.1.1和定理2.1.2解決了等價無窮小量在求和差結(jié)構(gòu)函數(shù)的極限中的應(yīng)用, 下面對定理2.1.1和定理2.1.2推廣可得到如下一些結(jié)論.結(jié)論2.1.1 設(shè)為時的無窮小量, 且 若或存在, 則或 證明 由所給條件知,再由結(jié)論1.1.1可直接得.結(jié)論2.1.2 設(shè),為時的無窮小量, 且為常數(shù), 若存在, 則. 證明 由知從而 即. 同理.所以. 結(jié)論2.1.2的得到增強了定理的應(yīng)用范圍, 使其應(yīng)用更加廣泛, 進一步體現(xiàn)了等價無窮小代換的廣泛性與靈活性, 暗示我們對于一些復(fù)雜的極限可以通過等價無窮小代換使之簡潔而有效. 2.2
6、 定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例2.2.1 求極限. 解 由于當時, 并且.故當時, .又由于當時, , 并且.故當時, 由結(jié)論2.1.2得. 說明 這道題是對定理和結(jié)論的直接應(yīng)用, 對于既有積商, 又有和差的極限, 首先判斷其是否符合和差形式的條件, 然后在應(yīng)用上面推廣的結(jié)論, 這樣做顯然比直接利用洛必達簡單些, 在求極限中, 往往我們先利用等價無窮小代換, 再利用洛比達會起到事半功倍的效果.例2.2.2 求極限為常數(shù). 解 因為當時, 所以由結(jié)論2.1.1有.例2.2.3 求極限. 解 當時, , 并且.故當時, .又當時, 并且.故當時, .所以由結(jié)論2.1.2有=. 說明 例2.2.3跟例2.
7、2.1一樣, 只要嚴格遵守上面推廣的結(jié)論就可以很快得到結(jié)果, 其解法既快捷又簡便, 很好的體現(xiàn)了利用等價無窮小代換求極限的優(yōu)越性. 總之, 有上述的幾個例子可以發(fā)現(xiàn), 對于某些函數(shù)極限的計算利用等價無窮小替換比洛比達法則簡單易行, 可起到事半功倍的效果, 必要的時候兩種方法可以同時進行.3 等價無窮小量在求冪指結(jié)構(gòu)(未定式、)函數(shù)的極限中的應(yīng)用3.1重要定理及其結(jié)論 本節(jié)主要介紹等價無窮小量了冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中的應(yīng)用, 在冪指結(jié)構(gòu)函數(shù)極限中利用等價無窮小代換可以適當?shù)陌逊爆嵉氖阶舆M行化簡, 從而有利于我們更快更好的解決這一類極限, 下面我們先從引理入手.引理3.1.1 設(shè)和在有定義, 為時的無
8、窮小量, 且 則有.證明 由條件知 , 且所以.引理3.1.2 設(shè)和在有定義, 為時的無窮小量, 且 則.證明 因為, 又因為,所以下面介紹未定式、的基本定理及其結(jié)論 定理 3.1.1 設(shè),為時的無窮小量, 且 則型. 證明 由的連續(xù)性及引理3.1.1得 . 結(jié)論3.1.1 設(shè)為時的無窮小量, 且 則.結(jié)論3.1.2 設(shè)為時的無窮小量, 且 則.結(jié)論3.1.3 設(shè),為時的無窮小量, 若它們滿足如下條件 1） 2）;則. 證明 由得再由定理3.1.1可得.定理3.1.2 設(shè),為時的無窮小量, 且 則型. 證明 由的連續(xù)性及引理3.1.2得. 根據(jù)定理3.1.2, 下面得到更一般的情況 結(jié)論3.1
9、.4 設(shè),為時的無窮小量, 且, 則.定理3.1.3 設(shè),為時的無窮小量, 且, 則型. 證明 由的連續(xù)性及引理3.1.1得 . 結(jié)論3.1.5 設(shè),為時的無窮小量, 且 則注釋3.1.1 很容易看出, 上面的部分定理是結(jié)論的特殊情況, 三種未定式的情況互有關(guān)聯(lián), 因此要想很好的應(yīng)用定理和結(jié)論, 需要對三種未定式靈活應(yīng)用, 提倡相互聯(lián)系解題, 反對將它們割裂. 注釋3.1.2 這些結(jié)論將定理進行了適當?shù)耐茝V, 不但有指數(shù)的形式, 而且融合和差的形式, 一方面使其應(yīng)用更加廣泛, 另一方面突出體現(xiàn)了等價無窮小代換在求極限的靈活性和多樣性的特點.3.2定理和結(jié)論的應(yīng)用舉例例3.2.1 求極限.解 因
10、為, 所以.又因為, 故由定理3.1.1及結(jié)論3.1.3可得.說明 這是一個型的極限,是對定理及結(jié)論的應(yīng)用, 首先判斷它是否符合定理或結(jié)論的條件, 然后再利用定理或結(jié)論.例3.2.2 求極限解 由于當時, , 且, 所以滿足結(jié)論3.1.3的條件,故由結(jié)論3.1.3得 說明 這也是一個型的極限, 與例2.2.1類似, 加深對結(jié)論3.1.3的理解.例3.2.3 求極限（是常數(shù)）. 解 在的內(nèi), 無論如何可以有, 又當時, 有, 則由定理3.1.2得. 說明 這是一個型的極限, 是對定理3.1.2的簡單應(yīng)用, 同樣需要判斷是否符合條件即可. 例3.2.4求極限 解 由于和是時的無窮小量, 且時, 滿
11、足定理3.1.3的條件, 所以有. 說明 這是一個型的極限, 是對定理3.1.3及結(jié)論的簡單應(yīng)用.參考文獻1 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析(上冊)M.(第三版).北京:高等教育出版社,2001:59 62.2 儲亞偉,劉敏.等價無窮小量在極限運算中的應(yīng)用J.阜陽師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2005,22(3):7173.3 宋振云.無窮小替換在求型極限中的應(yīng)用J.高師理科學(xué)刊,2009,29(4):7678.4 祝微,楊春艷.等價無窮小代換定理的拓展J.長春師范學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,29(1):1214.5 孫玉海.等價無窮小在求復(fù)合函數(shù)極限中的應(yīng)用J.撫州師專學(xué)報,2001,20(3):11136 唐加冕.等價無窮小量在極限運算中的應(yīng)用J.赤峰學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2010,26(3): 45.11
等價無窮小量在求函數(shù)極限中的應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文
