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第四節(jié) 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
考點一
直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系
[例1] (1)(2013陜西高考)已知點M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是( )
A．相切 B．相交 C．相離 D．不確定
(2)(2014南昌模擬)若過點(1,2)總可以作兩條直線與圓x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，則實數(shù)k的取值范圍是________________．
[自主解答] (1)因為M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圓心O到直線
2、ax＋by＝1的距離d＝＝<1，所以直線與圓相交．
(2)把圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得2＋(y＋1)2＝16－k2，
所以16－k2>0，解得－0，即(k－2)(k＋3)>0，
解得k>2或k<－3，
則實數(shù)k的取值范圍是∪.
[答案] (1)B (2)∪
【互動探究】
在本例(2)中的條件“總可以作兩條直線”改為“至多能作一條直線”，結(jié)果如何？
解：依題意知點(1,2)應(yīng)在圓上或圓的內(nèi)部，
所以有
解得－3≤k≤2.
【方法規(guī)律】
1．判斷直線與圓的位置關(guān)系
3、的方法
(1)幾何法：①明確圓心C的坐標(biāo)(a，b)和半徑r，將直線方程化為一般式；②利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離d；③比較d與r的大小，寫出結(jié)論．
(2)代數(shù)法：①直線方程與圓的方程聯(lián)立，消去一個變量；②判斷二次方程根的個數(shù)(Δ與0的關(guān)系)；③得出結(jié)論．
2．圓與圓的位置關(guān)系
判斷圓與圓的位置關(guān)系時，一般用幾何法，其步驟是：
(1)確定兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑長；
(2)利用平面內(nèi)兩點間的距離公式求出圓心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；
(3)比較d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，寫出結(jié)論.
1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系是( )
A．
4、相切 B．相交但直線不過圓心
C．直線過圓心 D．相離
解析：選B 法一：由
消去y，整理得x2＋x＝0，
因為Δ＝12－410＝1>0，所以直線與圓相交．
又圓x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，且0≠0＋1，所以直線不過圓心．
法二：圓x2＋y2＝1的圓心坐標(biāo)為(0,0)，半徑長為1，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝.
因為0<<1，所以直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1相交但直線不過圓心．
2．圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋4＝0的公切線有( )
A．1條 B．2條
C．3條
5、 D．4條
解析：選D 圓C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，
∴圓心C1(－1，－1)，半徑長r1＝2；
圓C2：(x－2)2＋(y－1)2＝1，
∴圓心C2(2,1)，半徑長r2＝1.
∴d＝＝，r1＋r2＝3，
∴d>r1＋r2，∴兩圓外離，[來源:]
∴兩圓有4條公切線．
考點二
與圓有關(guān)的弦長問題
[例2] (1)(2013安徽高考)直線x＋2y－5＋＝0被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長為( )
A．1 B．2 C．4 D．4
(2)(2013江西高考)過點(，0)引直線l與曲線
6、y＝相交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，當(dāng)△AOB的面積取最大值時，直線l的斜率等于( )
A. B．－ C． D．－
[自主解答] (1)因為圓心(1,2)到直線x＋2y－5＋＝0的距離d＝＝1，且圓的半徑r＝.
所以所得弦長＝2＝4.
[來源:]
(2)由于y＝，即x2＋y2＝1(y≥0)，直線l與x2＋y2＝1(y≥0)交于A，B兩點，如圖所示，S△AOB＝11sin∠AOB≤，且當(dāng)∠AOB＝90時，S△AOB取得最大值，此時AB＝，點O到直線l的距離為，則∠OCB＝30，所以直線l的傾斜角為150，則斜率為－.
[答案] (1)C (
7、2)B
【方法規(guī)律】
計算直線被圓截得的弦長的常用方法
(1)幾何方法
運用弦心距(即圓心到直線的距離)、弦長的一半及半徑
構(gòu)成的直角三角形計算．
(2)代數(shù)方法
運用韋達定理及弦長公式
|AB|＝|xA－xB|＝.
1．直線y＝x被圓x2＋(y－2)2＝4截得的弦長為________．
解析：法一：幾何法：圓心到直線的距離為d＝＝，圓的半徑r＝2，所以弦長l＝2＝2＝2.
法二：代數(shù)法：聯(lián)立直線和圓的方程
消去y可得x2－2x＝0，所以直線和圓的兩個交點坐標(biāo)分別為(2,2)，(0,0)，弦長為＝2.
答案：2
2．(2014濟南模擬)已知圓C過點(1,0)
8、，且圓心在x軸的正半軸上，直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為________________．
解析：由題意，設(shè)所求的直線方程為x＋y＋m＝0，設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,0)，則由題意知2＋2＝(a－1)2，解得a＝3或a＝－1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以a＝3，故圓心坐標(biāo)為(3,0)．因為圓心(3,0)在所求的直線上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直線方程為x＋y－3＝0.[來源:]
答案：x＋y－3＝0
高頻考點[來源:]
考點三 圓的切線問題
1．與圓有關(guān)的切線問題，是近年來高考在本節(jié)命題的一個熱點
9、問題，多以選擇、填空題的形式呈現(xiàn)，試題難度不大，多為中、低檔題目．
2．高考對圓的切線問題的考查主要有以下幾個命題角度：
(1)過圓上一點求圓的切線方程；
(2)過圓外一點求圓的切線方程；
(3)與切線長有關(guān)的問題；
(4)與切線夾角有關(guān)的問題．
[例3] (1)(2012江西高考)過直線x＋y－2＝0上點P作圓x2＋y2＝1的兩條切線，若兩條切線的夾角是60，則點P的坐標(biāo)是________．
(2)(2013江蘇高考)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上．
①若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求
10、切線的方程；
②若圓C上存在點M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍．
[自主解答] (1)如圖所示，
|OP|＝＝2，
設(shè)P(x，y)，
則?
故P(，)．
(2)①由題意知，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點，解得點C(3,2)，于是切線的斜率必存在．
設(shè)過A(0,3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3，
依題意知，＝1，
所以k＝0或－，
因此，切線方程為y＝3或y＝－x＋3，
即切線方程為y－3＝0或3x＋4y－12＝0.
②因為圓心在直線y＝2x－4上，
所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1.
設(shè)點M(x，y)，
11、因為MA＝2MO，
所以＝2，
化簡得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，
所以點M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上．
由題意，點M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點，則|2－1|≤CD≤2＋1，
即1≤≤3.
由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；
由5a2－12a≤0，得0≤a≤.
所以點C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為0，.
[答案] (1)(，)
與圓的切線有關(guān)的問題的常見類型與解題策略
(1)過圓上一點求圓的切線方程．首先考慮切線斜率不存在時，是否符合要求，其次考慮斜率存在時，由直線與圓相切，求出斜率k，進而得出切線方程．
(2)過圓
12、外一點求圓的切線方程．方法同上．
(3)與切線長有關(guān)的問題．解題時應(yīng)注意圓心與切點的連線與切線垂直，從而得出一個直角三角形，然后求解．
(4)與切線有關(guān)的夾角問題．與(3)相同，利用直角三角形解決問題．
1．(2014大慶模擬)已知圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為 ( )
A. x2＋y2－2x－3＝0 B. x2＋y2＋4x＝0[來源:數(shù)理化網(wǎng)]
C. x2＋y2＋2x－3＝0 D. x2＋y2－4x＝0
解析：選D 設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,0)(a>0)，
又因為直線3x＋4y＋4＝0與圓C相
13、切，
所以＝2，
解得a＝2或－(舍)，
因此圓的方程為(x－2)2＋y2＝22，
即x2＋y2－4x＝0.
2．(2014豫東、豫北十校聯(lián)考)圓心在曲線y＝(x>0)上，且與直線3x＋4y＋3＝0相切的面積最小的圓的方程為( )
A．(x－2)2＋2＝9
B．(x－3)2＋(y－1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－3)2＝2
D．(x－)2＋(y－)2＝9
解析：選A 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)是(a>0)，則點(a>0)到直線3x＋4y＋3＝0的距離d＝＝≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)3a＝，即a＝2時取等號，因此所求圓的圓心坐標(biāo)是，半徑是3，圓的方程為(x－2)2＋2＝9.
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14、————————[課堂歸納——通法領(lǐng)悟]————————————————
2種方法——解決直線與圓位置關(guān)系的兩種方法
見本節(jié)考點一[方法規(guī)律]．
3個注意點——直線與圓相切、相交的三個注意點
(1)涉及圓的切線時，要注意過切點的半徑與切線垂直；
(2)當(dāng)直線與圓相交時，半弦、弦心距、半徑所構(gòu)成的直角三角形在解題中起到關(guān)鍵的作用，解題時要注意把它與點到直線的距離公式結(jié)合起來使用；
(3)判斷直線與圓相切，特別是過圓外一點求圓的切線時，應(yīng)有兩條．在解題中，若只求得一條，則說明另一條的斜率不存在，這一點經(jīng)常忽視，應(yīng)注意檢驗、防止出錯．
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第八章 ：第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系突破熱點題型
