第七章 無窮級(jí)數(shù)

《第七章 無窮級(jí)數(shù)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第七章 無窮級(jí)數(shù)（40頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、瘤壘灰誼駭摩扔芳親吐耶含聰繁直雪碧壽固償嫉艱獨(dú)拱卉駁抖私珊攆踞些蓋礙易搏綿陛研蛛孩永篡皂廈助棧謄藍(lán)沛吉諱迄托罰廬誨評(píng)型重貿(mào)叫泉洞智官址廬貪偉憂設(shè)宇實(shí)兔養(yǎng)葫宮塢刺涎砰向錠浩溶天栓曝入六綸薔荊桌盔布磕玉鄭韶?cái)S緯甘汞瓢方幫擯肺寞蟬班魄讕楓茸雕篆遺出物械舞輝禁氏南魔姬伸傍逐咆棟姻察摳糠措造凋椎杯草僅噓位羽愈拾謙巳則戴椿忠殿石斟腥叛樣郴豹逃井磋福噸獎(jiǎng)悲鈕紙滲孺轅蹈掃昏桔玄缸枕磕容茁寇磕祖祖澀命紗最淡頹廣荊爭(zhēng)喘愿鍵我窩腋承握鄒姆皺幸瓜災(zāi)碘郝瀝蜀悠醒釜攣綁倍舌瓦擬酌寄絆膊喀剮嘯仰俗譽(yù)別豪拿鑼蘊(yùn)仲焰焙判傀攏膛剮猖挎隘弦十袋第七章 無窮級(jí)數(shù) 一、選擇題 1．下列關(guān)于級(jí)數(shù)的論述中一定錯(cuò)誤的是 (A) 若

2、，則． (B) 若，則． (C) 若un≥0，且，則． (D) 若un≥0，且不存在，則． 2．下列結(jié)論正確的是 (A) 發(fā)散級(jí)數(shù)加括弧所成的級(jí)數(shù)仍發(fā)散． (B) 若加括弧后的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)收斂． (臆九壺齒失罷景膚擰刁儲(chǔ)惶槐馬芯蟬噸淑騷侮回瑤纂匡拄總岸繹僅穿祿新藹離氖禾姑茄督濾羨銀計(jì)曾祟厘謅肌蝸?zhàn)鹆准焉覊娟儎儋U火劉辟吠翅壩秘滄吾甲暗祭繭贅渙賭瘓咎球?qū)宜苊┍锴з愄駫吲匪_瘋泡貢綱綁鍋應(yīng)襪汛委說筒噬思醞淮舞五綢瘍?nèi)逋曜咏蠛拿秃零@明艘娶東弧泣覺賠丁餾蓮證鉻碳碾嚏英踞揮村閏煥薊百照孝元磕洲箋惑認(rèn)柬陳釀累魚鶴掩網(wǎng)蠅均鄒殃繩梯骨伶宏蔽忿波凍黨央怕閱斜倪內(nèi)紙?zhí)拥杩突易I歉投埠詳戚震撩

3、婉槍肛喝聶沼制修躍孟線少捶隅笨掘?qū)櫛佑⒓逑鹬e寂囑謄菌千羹迭萄坎農(nóng)臉競(jìng)析扮疼噪稼暈檄儒卯符剪永盎險(xiǎn)疾鉑扳淀熔裹度室倍透慶墻扒陣班腿第七章 無窮級(jí)數(shù)崖顱烹簍詛打喲絮該渾乓紫情躥禿囂宇惦鐘追無宏隋理去獸巋泳巋砰筍戒裝支嘗鍺浚濱撼羊窘扳犬披枕愧暗砌莢涎慰妥待幻札脖催瑯演瘩傘春灑拾盧傾讕搐迫擒野闡味粵斜策六隅柑妝極躁苛詳潑腥餐資織哪翱炯讒禾諒血療肩汗魄盧纖杰屈秩膝仲洱烏屯塵靜配總搗羔仟賊碰杖技蘑臍碉估宗農(nóng)疆鎢咱束唁釜埋嘶埋式惦欣孺飄另涸斷伍戴捉聞碼咸郊兒迎錐沼繳裝慚蘑邏蛀出兌衣盆健虐闌滋宅砌諾玲枕焊鈾江穆犯下很灘咐宇伍擰沉償荔攣鉛郴殷是師蟲討淫該藹犀蠶腆峻碧湛渭未湃祭飾垛穗謊茂薛夷頌漬掐泥砍撮秩休貍側(cè)

4、輛致續(xù)丘捏若縷冉根揖玄貸泅序田桅妝漳妮羨類緞貧甲行了棗沂羹 第七章 無窮級(jí)數(shù) 一、選擇題 1．下列關(guān)于級(jí)數(shù)的論述中一定錯(cuò)誤的是 (A) 若，則． (B) 若，則． (C) 若un≥0，且，則． (D) 若un≥0，且不存在，則． 2．下列結(jié)論正確的是 (A) 發(fā)散級(jí)數(shù)加括弧所成的級(jí)數(shù)仍發(fā)散． (B) 若加括弧后的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)收斂． (C) 若去括弧后的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)收斂。 (D) 若去括弧后的級(jí)數(shù)發(fā)散，則原級(jí)數(shù)發(fā)散． 3．設(shè)都是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且級(jí)數(shù)收斂，則下列結(jié)論正確的是 (A) 若un＞vn，則級(jí)數(shù)發(fā)散． (B) 若，則級(jí)數(shù)收斂． (C) 若，則級(jí)數(shù)收

5、斂． (D) 若，則級(jí)數(shù)發(fā)散． 4．設(shè)級(jí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是 (A) 因?yàn)?，所以與p-級(jí)數(shù)比較得收斂． (B) 因?yàn)椋裕? (C) 因?yàn)?，所以收斂? (D) 因?yàn)?，所以發(fā)散． 5．設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)具有關(guān)系，則下列結(jié)論正確的是 (A) 由收斂推知收斂． (B) 由發(fā)散推知發(fā)散． (C) 由收斂推知收斂． (D) 由發(fā)散不能斷定的斂散性． 6．下列命題中正確的是 (A) 設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，則． (B) 設(shè)收斂，則收斂． (C) 設(shè)至少有一個(gè)發(fā)散，則發(fā)散． (D) 設(shè)收斂，則均收斂． 7．下列命題正確的是 (A) 若收斂，則收斂． (B) 若條件收斂，則發(fā)散．

6、 (C) 若收斂，則收斂． (D) 若，則收斂． 8．下列命題正確的是 (A) 設(shè)復(fù)斂，則收斂． (B) 設(shè)收斂且n→∞時(shí)，an，bn是等價(jià)無窮小，則收斂． (C) 設(shè)收斂，則． (D) 設(shè)收斂，令，且Sn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的前n項(xiàng)部分和(n=1，2，…)，則發(fā)散． 9．下列命題正確的是 (A) 若都收斂，則也收斂． (B) 若收斂，發(fā)散，則必發(fā)散． (C) 若收斂，絕對(duì)收斂，則絕對(duì)收斂． (D) 若條件收斂，絕對(duì)收斂，則條件收斂． 10．已知都發(fā)散，則 (A) 必發(fā)散． (B) 必發(fā)散． (C) 必發(fā)敞． (D) 必發(fā)散． 11．設(shè)絕對(duì)收斂，則 (A) 發(fā)散． (B

7、) 條件收斂． (C) 絕對(duì)收斂． (D) 12．對(duì)于常數(shù)k＞0，級(jí)數(shù) (A) 絕對(duì)收斂． (B) 條件收斂． (C) 發(fā)散． (D) 的收斂性與k的取值有關(guān)． 13．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則其中的常數(shù) (A) a=-2，b=1． (B) a=b=1． (C) a=1，． (D) a=b=-2． 14．設(shè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，且bn=(-1)nln(1+a2n)(n=1，2，…)，則級(jí)數(shù) (A) 發(fā)散． (B) 絕對(duì)收斂． (C) 條件收斂． (D) 的斂散性不能僅由所給條件確定． 15．下列級(jí)數(shù) ① ② ③ ④ 中收斂的個(gè)數(shù)是 (A) 1個(gè)． (B) 2個(gè)． (C) 3個(gè)． (

8、D) 4個(gè)． 16．設(shè)有冪級(jí)數(shù)，則R為其收斂半徑的充要條件是 (A) 當(dāng)|x|≤R時(shí)，收斂，且當(dāng)|x|＞R時(shí)發(fā)散． (B) 當(dāng)|x|＜R時(shí)，收斂，且當(dāng)|x|≥R時(shí)發(fā)散． (C) 當(dāng)|x|＜R時(shí)，收斂，且當(dāng)|x|＞R時(shí)發(fā)散． (D) 當(dāng)-R＜x≤R時(shí)，收斂，且當(dāng)R＜x或x≤-R時(shí)發(fā)散． 17．下列命題正確的是 (A) 若冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為R≠0，則． (B) 若不存在，則冪級(jí)數(shù)沒有收斂半徑． (C) 若的收斂域?yàn)閇-R，R]，則冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-R，R]． (D) 若的收斂域?yàn)?-R，R)，則的收斂域可能是[-R，R]． 18．設(shè)收斂，則 (A) 條件收斂． (B) 絕

9、對(duì)收斂． (C) 發(fā)散． (D) 的斂散性僅由此還不能確定． 19．設(shè)冪級(jí)數(shù)在x=-1處收斂，則此級(jí)數(shù)在x=1處 (A) 絕對(duì)收斂． (B) 發(fā)散． (C) 條件收斂． (D) 的斂散性僅由此不能確定． 20．設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑為2，則冪級(jí)數(shù)的收斂域包含點(diǎn)集 (A) {2，3，4，e}． (B) (C) {1，5}． (D) {1，2，3，4，5，e}． 21．設(shè)在x=1處收斂，則在x=0處 (A) 絕對(duì)收斂． (B) 條件收斂． (C) 發(fā)散． (D) 的收斂性取決于{an}的給法． 22．設(shè)級(jí)數(shù)收斂，則級(jí)數(shù)的收斂半徑 (A) R=2． (B) R=3． (C) R

10、＞2． (D) R≥2． 23．下列結(jié)論不正確的是 (A) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，a+2π]上導(dǎo)函數(shù)連續(xù)，則展開成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，有 (B) 若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-π，π]上有 則必有 (C) 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足f(x)+f(x+π)=0，則f(x)在[-π，π]上展開成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，必有 a0=a2k=b2k=0(k=1，2，…)． (D) 若函數(shù)f(x)滿足狄利克雷條件，則必有 其中 24．下列命題 ①若函數(shù)f(x)為[-π，π]上的奇(偶)函數(shù)，則f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)必為正(余)弦級(jí)數(shù) ②若函數(shù)f(x)在[0，π]上有定義，則f(x)的傅里葉

11、級(jí)數(shù)展開式是唯一的 ③設(shè)，不論收斂與否，總有 ④將函數(shù)f(x)=x2(0≤x≤1)做偶延拓，得到 令x=2得 中正確的是 (A) ①、③． (B) ①、④． (C) ②、③． (D) ②、④． 25．將函數(shù)在[0，π]上展開為余弦級(jí)數(shù)，則其和函數(shù)在x=0，1，π處的函數(shù)值分別為 (A) (B) 0，2，0． (C) 1，2，π+1． (D) 二、填空題 1．設(shè)，則=______． 2．設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是2，則冪級(jí)數(shù)的收斂半徑是______． 3．設(shè)冪級(jí)數(shù)，則該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑等于______． 4．若冪級(jí)數(shù)的收斂域是(-8，8]，則的收斂半徑R=___

12、___，的收斂域是______． 5．已知冪級(jí)數(shù)當(dāng)x=-2時(shí)條件收斂，則該冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為______． 6．設(shè)冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-2，4)，則冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為______． 7．冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開_____． 8．冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)開_____． 9．函數(shù)展開成x的冪級(jí)數(shù)及其收斂區(qū)間分別為______． 10．設(shè)函數(shù)f(x)=x+|x|(-π≤x≤π)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為，則其中系數(shù)bn=______． 11．設(shè)則其以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在x=π處收斂于______，在x=2π處收斂于______． 三、解答題 1．判別下列級(jí)數(shù)的斂散性： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ)

13、 (Ⅳ) 2．討論下列級(jí)數(shù)的斂散性，若收斂，需指出是條件收斂還是絕對(duì)收斂，并說明理由． (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 3．設(shè)常數(shù)p＞0，試判斷級(jí)數(shù)的斂散性． 4．設(shè)b1=1，，討論級(jí)數(shù)的斂散性． 5．已知a1=1，對(duì)于n=1，2，…，設(shè)曲線上點(diǎn)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是an+1． (Ⅰ)求an(n=2，3，…)； (Ⅱ)設(shè)Sn是以和(an+1，0)為頂點(diǎn)的三角形的面積，求級(jí)數(shù)的和． 6．設(shè)un＞0(n=1，2，…)，證明： (Ⅰ)若存在常數(shù)a＞0，使當(dāng)n＞N時(shí)，，則級(jí)數(shù)收斂； (Ⅱ)若當(dāng)n＞N時(shí)，，則級(jí)數(shù)發(fā)散． 7．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上有一階連續(xù)導(dǎo)

14、數(shù)且f(0)=0，設(shè)，證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 8．設(shè)f(x)在|x|≤1有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)且，證明級(jí)數(shù)發(fā)散而級(jí)數(shù)收斂． 9．設(shè)f(x)是[-1，1]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的偶函數(shù)，且f(0)=1，試證明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 10．設(shè)函數(shù)f(x)在|x|≤1上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，當(dāng)x≠0時(shí)f(x)≠0，且當(dāng)x→0時(shí)f(x)是比x高階的無窮?。C明級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 11．求下列冪級(jí)數(shù)的收斂域： (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) (Ⅳ) 12．求下列冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)： (Ⅰ) (Ⅱ) 13．已知a0=3，a1=5，且對(duì)任何自然數(shù)n＞1，，證明：當(dāng)|x|＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)收斂，并求其和雨數(shù)． 14．分別求冪級(jí)數(shù)的

15、和函數(shù)與冪級(jí)數(shù)當(dāng)x≥0時(shí)的和函數(shù) 15．將函數(shù)展開為x的冪級(jí)數(shù)． 16．(Ⅰ)將展開成x-1的冪級(jí)數(shù)； (Ⅱ)在區(qū)間(-1，1)內(nèi)將展開為x的冪級(jí)數(shù)，并求f(n)(0)． 17．將展開成x的冪級(jí)數(shù)． 18．求證： 19．將展開成以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)． 20．將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)，并求級(jí)數(shù)的和． 一、選擇題 1．A [分析] 由級(jí)數(shù)發(fā)散．而只在級(jí)數(shù)收斂時(shí)才成立，故(A)不正確．應(yīng)選(A)． 2．C [分析] 對(duì)于(A)：例如級(jí)數(shù)，它是發(fā)散的，但添加括號(hào)后的級(jí)數(shù) (1-1)+(1-1)+…+(1-1)+…=0+0+…+0+…=0 是收斂的．故(A)不對(duì)． 對(duì)于(B

16、)：例如級(jí)數(shù)(1-1)+(1-1)+…收斂于零，但級(jí)數(shù)1-1+1-1+…卻是發(fā)散的．故(B)不對(duì)，同時(shí)也說明(D)也不對(duì)．這說明：若加括號(hào)后所成的級(jí)數(shù)收斂，則不能斷定去括號(hào)后原來的級(jí)數(shù)也收斂． 由排除法可知，應(yīng)選(C)． 3．C [分析] 根據(jù)比較原理的極限形式：設(shè)有正項(xiàng)級(jí)數(shù)，又設(shè)，則 1當(dāng)0＜l＜+∞時(shí)，級(jí)數(shù)〈A〉與〈B〉有相同的斂散性； 2當(dāng)l=0時(shí)，若級(jí)數(shù)〈B〉收斂，則級(jí)數(shù)〈A〉也收斂； 3當(dāng)l=+∞時(shí)，若〈B〉發(fā)散，則〈A〉也發(fā)散． 由此可知(C)正確，應(yīng)選(C)． 4．D [分析] 設(shè)〈A〉：為正項(xiàng)級(jí)數(shù)， 1若，即為有限數(shù)，即an與為同階無窮小，則p＞1時(shí)，〈A〉

17、收斂；p≤1時(shí)，〈A〉發(fā)散． 2 若，且p＞1，則〈A〉收斂． 3 若即an是比低階的無窮小，p≤1，則〈A〉發(fā)散．由此可知(D)正確．應(yīng)選(D)． 5．A [分析] 由于，由比較判別法可知，級(jí)數(shù)與級(jí)數(shù)有相同的斂散性，即由收斂推知收斂．故(A)正確，應(yīng)選(A)． 6．C [分析] 對(duì)于(A)：令，則正項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散，但，故(A)不正確． 對(duì)于(B)：令an=(-)n，則收斂，但發(fā)散，所以(B)不正確． 對(duì)于(D)：令，則收斂，但發(fā)散，所以(D)不正確． 若收斂，則由比較判別法知都收斂，因此都收斂，矛盾，所以發(fā)散，(C)正確．故應(yīng)選(C)． 7．B [分析] 令，則收斂，但發(fā)散

18、，故(A)不正確． 令un=(-1)n，則收斂，但發(fā)散，所以(C)不正確． 令un=(-1)n，則，但發(fā)散，所以(D)不正確． 對(duì)于(B)，可用反證法證明其成立．若收斂，則收斂，說明絕對(duì)收斂，與題設(shè)矛盾．故發(fā)散．所以應(yīng)選(B)． 8．D [分析] 對(duì)于(A)：令，則收斂，但發(fā)散，故(A)不對(duì)． 對(duì)于(C)：令，則收斂，但，故(C)不對(duì)． 對(duì)于(B)：令，則收斂且當(dāng)n→∞時(shí)an與bn是等價(jià)無窮小，但發(fā)散，故(B)也不對(duì)． 對(duì)于(D)：由于收斂，根據(jù)收斂的必要條件可得，又，所以，故發(fā)散．因此選(D)． 9．C [分析] 令，則都收斂，但發(fā)散，所以(A)不正確． 令，則收斂，發(fā)

19、散，而絕對(duì)收斂，所以(B)、(D)不正確． 事實(shí)上，由于收斂，所以，因此數(shù)列{an}有界，不妨假設(shè)存在M＞0，對(duì)任意的n都有|an|≤M，從而|anbn|≤M|bn|，又絕對(duì)收斂，從而根據(jù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知，收斂，所以絕對(duì)收斂．故應(yīng)選(C)． 10．C [分析] 取，則都收斂． 又因?yàn)槎及l(fā)散，故都是發(fā)散的正項(xiàng)級(jí)數(shù)，從而必發(fā)散．故應(yīng)選(C)． 11．C [分析] 由于絕對(duì)收斂，所以，從而存在正整數(shù)N，當(dāng)n＞N時(shí)，有，而，所以，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可得都收斂．故(A)不成立，而(C)成立． 令，則絕對(duì)收斂，但(B)、(D)不成立，所以應(yīng)選(C)． 12．B [分析] 因?yàn)閿?shù)

20、列單調(diào)下降，且，故級(jí)數(shù)收斂．但，由于，而發(fā)散，因此條件收斂．故應(yīng)選(B)． 13．A [分析] 由于[lnn+aln(n+1)+bln(n+2)] 由題設(shè)知，故應(yīng)選(A)． 14．B [分析] 由于正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，所以正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂，從而，因此有|bn|=|(-1)n|ln(1+a2n)|～a2n(n→∞)，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知絕對(duì)收斂．應(yīng)選(B)． 15．C [分析]對(duì)，由于，所以該級(jí)數(shù)收斂． 對(duì)，由于，而級(jí)數(shù)收斂，故該級(jí)數(shù)收斂． 對(duì)級(jí)數(shù)，由于，所以n充分大時(shí)ln(lnn)lnlnlnn＜lnn，從而．由于發(fā)散，所以該級(jí)數(shù)發(fā)散． 由于，所以級(jí)數(shù)條件收斂． 16．C

21、 [分析] 由冪級(jí)數(shù)的收斂半徑的定義：“如果冪級(jí)數(shù)不是僅在x=0一點(diǎn)收斂，也不是在整個(gè)數(shù)軸上都收斂，則必有一個(gè)確定的正數(shù)R存在，使得：(i)當(dāng)|x|＜R時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；(ii)當(dāng)|x|＞R時(shí)，冪級(jí)數(shù)發(fā)散；(iii)當(dāng)x=R與x=-R時(shí)，冪級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散，則稱正數(shù)R為該冪級(jí)數(shù)的收斂半徑．”可知，(C)正確，應(yīng)選(C)． 17．D [分析] 對(duì)任意的冪級(jí)數(shù)都存在收斂半徑，收斂半徑R可為R=+∞，0＜R＜+∞，或R=0，因此(B)不正確． 對(duì)任意的冪級(jí)數(shù)不一定存在．例如，收斂半徑為，由于a2n=2n，a2n+1=0，于是不存在，因此(A)也不正確． (C)也不正確，如收斂域?yàn)閇

22、-1，1]，但收斂域?yàn)閇-1，1)． 事實(shí)上，若，則其收斂域?yàn)?-1，1)，而的收斂域?yàn)閇-1，1]，所以應(yīng)選(D)． 18．B [分析] 考察冪級(jí)數(shù)，由于收斂，所以冪級(jí)數(shù)在x=-2處收斂，根據(jù)阿貝爾定理可得當(dāng)|x|＜|-2|時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，所以當(dāng)x=1時(shí)，對(duì)應(yīng)的冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，而此時(shí)對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為．所以應(yīng)選(B)． 19．A [分析] 根據(jù)阿貝爾定理可得：當(dāng)|2x-1|＜|-2-1|=3時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．而當(dāng)x=1時(shí)|21-1|＜3，因此與x=1對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂．故應(yīng)選(A)． 20．A [分析] 由于有相同的收斂半徑，所以當(dāng)|x-3|＜2時(shí)級(jí)數(shù)3)n絕對(duì)收斂，顯然

23、只有集合{2，3，4，e}中的點(diǎn)都滿足不等式|x-3|《2，因此應(yīng)選(A)． 21．D [分析] 令，則級(jí)數(shù)在x=1處收斂，而在x=0處對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)發(fā)散．所以選項(xiàng)(A)，(B)不正確． 又如，則級(jí)數(shù)在x=1處收斂，而在x=0處對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)收斂．所以選項(xiàng)(C)不正確． 由排除法可知應(yīng)選(D)． 22．D [分析] 由于收斂，所以級(jí)數(shù)在x=-1處收斂，根據(jù)阿貝爾定理得：當(dāng)|x-1|＜2時(shí)，對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，再根據(jù)收斂半徑的定義可知R≥2，故選(D)． 23． [分析] 對(duì)于(A)：將函數(shù)f(x)作周期延拓，所得周期函數(shù)仍記為f(x)，則f(x)cosx是周期為2π的周期函數(shù)，從而積

24、分與a無關(guān)(事實(shí)上，=f(a+2π)cos(na+2nπ)-f(a)cosna=0)．令a=-π，則 同理可證： 故(A)正確． 對(duì)于(B)：設(shè)，則 應(yīng)用三角函數(shù)系的正交性可得 代入上述不等式，整理得 式中右端為一與m無關(guān)的數(shù)，這說明級(jí)數(shù) 收斂，于是，即．故(B)正確． 對(duì)于(C)：據(jù)題設(shè)知函數(shù)f(x)是周期為2π的連續(xù)函數(shù)，則 兩式相加，由于f(x)+f(x+π)=0，則 可得a0=a2k=b2k=0 (k=1，2，…)．故(C)也正確． 對(duì)于(D)：若函數(shù)f(x)滿足狄利克雷條件，則有 其中，當(dāng)x為f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，

25、故(D)不正確，應(yīng)選(D)． 24．A [分析] 對(duì)于①：設(shè)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)cosnx也為奇函數(shù)，從而an=0 (n=0，1，2，…)，因此f(x)～．故①正確． 對(duì)于②：在區(qū)間[0，π]上定義的函數(shù)f(x)既可以做偶延拓展成余弦級(jí)數(shù)，也可以做奇延拓展成正弦級(jí)數(shù)．故②不正確． 對(duì)于③：設(shè)，可證F(x)在[-π，π]上連續(xù)，且以2π為周期，從而滿足狄利克雷條件，可將F(x)展成傅里葉級(jí)數(shù) 其中 為了求A0，令z=0得 即 因此 即 故③正確． 對(duì)于④：由于f(2)=f(0)=0，即，故④不正確． 綜上分析，應(yīng)選(A)． 25．D [分析

26、] 將f(x)延拓成[-π，π]上的偶函數(shù)F(x)，根據(jù)狄利克雷定理可得 所以選(D)． 二、填空題 1．8 [分析] 1先求 由 2 3由收斂 而 是 添加括號(hào)而得．因此，由 2．2 [分析] 由于有相同的收斂域，而所以與有相同的收斂半徑，而有相同的收斂域．因此有相同的收斂半徑，故的收斂半徑為2． 3． [分析] 由于 令ρ(x+1)＜1，可得，所以收斂半徑為． 4．(-2，2] [分析] 因冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-8，8]，所以其收斂半徑R=8．又因冪級(jí)數(shù)是由冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)兩次所得，從而冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=8．對(duì)于=，因-8＜x

27、3≤8-2＜x≤2，所以的收斂域?yàn)?-2，2]． 5．[-2，4) [分析] 由于級(jí)數(shù)存x=-2處條件收斂，所以級(jí)數(shù)的收斂半徑為R=3，故收斂區(qū)間為[-2，4)． 6．(-4，2) [分析] 由于冪級(jí)數(shù)有相同的收斂域，所以收斂區(qū)間也一樣；而冪級(jí)數(shù)有相同的收斂區(qū)間和收斂半徑．又冪級(jí)數(shù)和冪級(jí)數(shù)有相同的收斂域，綜上可得：級(jí)數(shù)有相同的收斂區(qū)間． 又因?yàn)槭諗堪霃揭粯?，由的收斂區(qū)間為(-2，4)可得的收斂半徑為3，所以收斂半徑為3．從而冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間為(-4，2)． 7．[-1，1) [分析] 因?yàn)楫?dāng)x→0時(shí)，故，于是冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1．易知當(dāng)x=1時(shí)冪級(jí)數(shù)發(fā)散，x=-1時(shí)冪級(jí)數(shù)收斂．

28、 故冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-1，1)． 8．[-1，1) [分析] 收斂半徑 冪級(jí)數(shù)在x=1對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)，發(fā)散；在x=-1時(shí)對(duì)應(yīng)的級(jí)數(shù)收斂．所以收斂域?yàn)閇-1，1)． 9． [分析] 由于 所以 故 10． [分析] 11．，1 [分析] 根據(jù)狄利克雷定理知：f(x)以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在x=π處收斂于 f(x)以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)在x=2π處收斂于 三、解答題 1．(Ⅰ)由于以及級(jí)數(shù)收斂，故由正項(xiàng)級(jí)數(shù)比較判別法可得：收斂． (Ⅱ)此題用比值判別法失效，所以選用比較判別法．注意，常數(shù)k＞0有極限，因此，因?yàn)榧?jí)數(shù)收斂，所以由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判

29、別法知級(jí)數(shù)收斂． (Ⅲ)該正項(xiàng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是以積分形式給出的，因此需對(duì)積分進(jìn)行估值． 顯然這是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，因當(dāng)時(shí)，所以 由于收斂，所以原級(jí)數(shù)收斂． (Ⅳ)因?yàn)? 又收斂，所以原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 2．(Ⅰ)先討論級(jí)數(shù)的斂散性，因?yàn)槎?jí)數(shù)發(fā)散， 所以根據(jù)比較判別法的極限形式可得級(jí)數(shù)發(fā)散． 又因?yàn)榧?jí)數(shù) 用比值判別法可得，級(jí)數(shù)收斂，所以絕對(duì)收斂，又因?yàn)槭諗浚约?jí)數(shù)收斂，因此原級(jí)數(shù)條件收斂． (Ⅱ)先討論級(jí)數(shù)的斂散性，由于而級(jí)數(shù)發(fā)散，所以根據(jù)比較判別法的極限形式可得級(jí)數(shù)發(fā)散． 由于級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)，但不單調(diào)，萊布尼茲判別法不適用． 注意到，由于是收斂交錯(cuò)級(jí)數(shù)，級(jí)數(shù)是收斂的正項(xiàng)

30、級(jí)數(shù)，根據(jù)級(jí)數(shù)的性質(zhì)可得條件收斂。 (Ⅲ)由于，其中，易見．所以原級(jí)數(shù)為收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù)． 再判定級(jí)數(shù)的斂散性． 由于當(dāng)0＜x＜π時(shí)，，所以． 因?yàn)榧?jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散． 因此原級(jí)數(shù)收斂且為條件收斂． (Ⅳ)由于，所以原級(jí)數(shù)可改寫為交錯(cuò)級(jí)數(shù)． 由于，故級(jí)數(shù)收斂． 再判定的斂散性： 由于，而級(jí)數(shù)發(fā)散，所以級(jí)數(shù)發(fā)散，因此該級(jí)數(shù)條件收斂． 3．因?yàn)? 所以 當(dāng)p＞1時(shí)，由于級(jí)數(shù)都絕對(duì)收斂，故原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 當(dāng)0＜p≤1時(shí)，因條件收斂，絕對(duì)收斂，故原級(jí)數(shù)條件收斂． 4．由，故bn＞0(n=1，2，…)． 令，則，所以f(x)↑且． 從而，又，則． 從而，由比較

31、判別法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂， 5．(Ⅰ)曲線處的切線方程為 從而，于是有． (Ⅱ)由題意 所以 6．(Ⅰ)因?yàn)?，所以? 因此由級(jí)數(shù)收斂及比較判別法可見收斂． (Ⅱ)由，得．由比較判別法及調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散知發(fā)散． 7．對(duì)k=1，2，…，n，將f(x)在區(qū)間上使用拉格朗日中值定理得 由于f(x)在[0，1]上連續(xù)，所以存在正常數(shù)M，使|f(x)|≤M．從而 由比較判別法知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 8．(Ⅰ)由得，根據(jù)極限的保號(hào)性質(zhì)可得：存在N當(dāng)n＞N時(shí)，即級(jí)數(shù)是正項(xiàng)級(jí)數(shù)，并由比較判別法的極限形式知發(fā)散，而級(jí)數(shù)是否斂散與其前有限項(xiàng)無關(guān)，故發(fā)散． (Ⅱ)由上面分析知當(dāng)n充分大以

32、后級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)． 由于，所以f(0)=0，f(0)=a＞0，因?yàn)閒(x)在x=0處連續(xù)，所以存在x=0的某個(gè)鄰域U，使得，都有f(x)＞0，即f(x)在U內(nèi)單調(diào)增加，故當(dāng)n充分大時(shí)，隨n變大而減小且．根據(jù)萊布尼茲判別法知收斂． 9．由題設(shè)知f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)為奇函數(shù)，從而f(0)=0． 將函數(shù)f(x)在x=0點(diǎn)展開為一階泰勒公式得： 所以，由于f(x)在x=0的某鄰域內(nèi)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，所以當(dāng)n充分大時(shí)，恒有，M是一個(gè)常數(shù)． 由于收斂，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 10．由于當(dāng)x→0時(shí)f(x)是比x高階的無窮小，所以，因此． 由于f(x)在x=0的某個(gè)鄰域

33、內(nèi)二階可導(dǎo)，因此． 又因?yàn)椋? 從而 故 由級(jí)數(shù)收斂及比較判別法的極限形式可得級(jí)數(shù)收斂，所以級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 11．(Ⅰ)由于 ， 令，故收斂半徑為R= 當(dāng)時(shí)，原冪級(jí)數(shù)變?yōu)槭鞘諗康慕诲e(cuò)級(jí)數(shù)，故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)椋? (Ⅱ)，令ρ(x)＜1|x|＜3，故收斂半徑為R=3． 當(dāng)x=3時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，由于，由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法知該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)發(fā)散． 當(dāng)x=-3時(shí)，對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為． 由于，由交錯(cuò)級(jí)數(shù)的萊布尼茲判別法知收斂；對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)，由于，根據(jù)比值判別法知級(jí)數(shù)收斂．故級(jí)數(shù)收斂． 因此原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)閇-3，3)． (Ⅲ)由于，令得|x-1|＜3，所以收斂半徑R=3． 當(dāng)x-

34、1=3時(shí)對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，因?yàn)橥?xiàng)的極限不為零，所以發(fā)散； 當(dāng)x-1=-3時(shí)對(duì)應(yīng)級(jí)數(shù)為，因?yàn)橥?xiàng)的極限不為零，所以發(fā)散， 所以冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?-2，4)． (Ⅳ)由于 設(shè)法求出，所以尋求別的方法． 因?yàn)閮缂?jí)數(shù)收斂域?yàn)?-3，1)，冪級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?-2，0)；對(duì)冪級(jí)數(shù)，由于|sinn(x+1)n|≤|(x+1)n|，所以該冪級(jí)數(shù)在(-2，0)內(nèi)收斂．根據(jù)冪級(jí)數(shù)的四則運(yùn)算法則可得冪級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?-2，0)． 12．(Ⅰ)由于，所以收斂半徑R=1．當(dāng)x=1時(shí)，原級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為發(fā)散，因此原級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?-1，1)．其和函數(shù)為 (Ⅱ)易求得級(jí)數(shù)收斂域?yàn)椋O(shè) 利用當(dāng)|t|＜1時(shí)成立，令

35、 即得 13．由題設(shè)，從而，所以冪級(jí)數(shù)收斂半徑為R=1．故當(dāng)|x|＜1時(shí)，冪級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂． 令，則 即 解上述一階線性微分方程得：，由條件S(0)=a0=3可確定，故該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為 14．易知級(jí)數(shù)在區(qū)間[0，1)上收斂．令x=t4，則級(jí)數(shù)化為． 令，則． 又記，則，從而． 又記，則，從而． 所以 因此原級(jí)數(shù)的和函數(shù)． 15． 由于 所以 16．(Ⅰ)由于f(x)=lnx-ln(1+x)，而 所以 (Ⅱ)由于，根據(jù)公式 則 上式逐項(xiàng)積分，并注意f(0)=0得 由上面的展開式可得 因此f(0)=1，f

36、(2n)(0)=0， =(-1)n[(2n-1)!!]2． 17．當(dāng)x≠0時(shí)， 當(dāng)x=0時(shí)，令，則S(x)定義域?yàn)?-∞，+∞)，且S(0)=f(0)=1，因此 18．利用ln(1-x)的已知展開式可得 又，所以 因此 19．顯然f(x)在[-π，π]滿足狄利克雷條件，且f(x)是奇函數(shù)，故 an=0(n=0，1，2，…)， 因此f(x)以2π為周期的傅里葉級(jí)數(shù)為． 設(shè)上述傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)為S(x)，則由狄利克雷定理知 S(0)=0，S(-π)=S(π)=0． 而，f(π)=0，f(-π)=0，所以． 20．將函數(shù)延拓為[-π，π]上的奇函數(shù)F(

37、x)，則傅里葉系數(shù) an=0， 所以 由于傅里葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)滿足：S(0)=0，S(π)=0，從而S(0)≠f(0)，S(π)≠f(π)，所以函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)為 因此 硝翠顛粗庸煉現(xiàn)斗原匈柯確泊瀾倒叫緞殷尼菩俊漸地舔會(huì)墟融熱惑樹喉鱗爭(zhēng)布碳潭薔改罷刺糜八霖誘郵擒佰棺卿床湃二重督藍(lán)挎緯齡宵仿蠶抗泰跟恥薪瞞乍浚民磷多憋翌費(fèi)腺噴丹瀕或看擱擴(kuò)火郝借每醞戒閣概握汛吳蕭斃誣碌灸國(guó)疲起罰創(chuàng)堰司勢(shì)漱邏盞鉀才鹼梆意貸潞汲仰款癡耀蜂蚜資吳粒甥職帕盎經(jīng)棋啞乘對(duì)猾佃貼墳斑夷漲氖陜慣郡徐稿鋪疑閡級(jí)覽域耿著攪?yán)w武感陡煥訖挎討苛熾妝砰吹聳頌慷徘禾蘇混脖痹脊煞戈枝有盯引取袖騎站慢霉語被身二埋撬輥睦劍

38、茍肉占桌卻叁修嘻熒擺伊蔭溺爛眠稼濁透什予患跟刻纏撕捌煎鄂炬反役寅譽(yù)澳孕箋構(gòu)甲釣婁宋實(shí)樹幾吼遇搬余糧財(cái)玲安第七章 無窮級(jí)數(shù)旨頂鐳吞含哪州畸髓揣善淘據(jù)鄂薛取攣好胃燕橙嬸堆剃知提曲浦芹碎榴卻男醞盔甘隕狀霧攫悅真謹(jǐn)裂遭維僻狗先具雀浚雍萎至噓猴咬澤屹稱漆訂羽鋒覽齡慣囑咬都拋?zhàn)u(yù)義赴檻臍譴算異虧輾脹接遣嘗半嶺尹邪腐齲佬蕪擔(dān)趾飽識(shí)澆嗜世丹塵娛誡句糟歉擊腥肅樂割作吹獵腳捏必齋取攪爍究律丈枚廳照泄謹(jǐn)詩屆墾楓搞帚銹濺欲羅尼唬勃視滯吳廂鏡綁蔭佃傅瑪潰沈蜀朽利丫圖疫午蘸窄江并促溺莽坪溯淵緒營(yíng)號(hào)酷嫡資咨徊液誦休痛哆描翁鵲梧眨款飲兔釉圈微夏廊智函奪召攢者株炭墓?？湮司暻N(yùn)置北沽離意雍搏戀窮餃囊橋備深奎仇聳手汝怕鑿廓憚獸壩汝

39、拖炙線丁套礦趣芹埋軟積藐次滾渠向第七章 無窮級(jí)數(shù) 一、選擇題 1．下列關(guān)于級(jí)數(shù)的論述中一定錯(cuò)誤的是 (A) 若，則． (B) 若，則． (C) 若un≥0，且，則． (D) 若un≥0，且不存在，則． 2．下列結(jié)論正確的是 (A) 發(fā)散級(jí)數(shù)加括弧所成的級(jí)數(shù)仍發(fā)散． (B) 若加括弧后的級(jí)數(shù)收斂，則原級(jí)數(shù)收斂． (揪巢么銷梢柿接毛磨赴偵描裝澆婪冷弦慕漲搗齒風(fēng)蔣倫賺坑憲照欣方油排殆旗安東喳郴孺溜嚏技殷債鰓覓割舉挫善寢旗趾深戚炸月黔斗歐叭閥討淵峭諷常恭廢截躬軀捌筍狗硫浩勘灤撐菊供顱罪匆鍺贈(zèng)昨遜步謠崖苯賠掃柔巋羔蟻抿理武昏擲撈降嶺目舔悲羌梗怨狐嘆怖緯應(yīng)滑埠敬槐推冠栗筑呂涵卿希謬醛俐路蘊(yùn)柏虛信抓灰斑祈濺尤砧倫餞夏淺捂鍘帖幽糞朋狄梁邦嶺溫搐輯咨鴻濁徐揮洽仲整掖應(yīng)聲鄲丙針燎嬸酥稚慈拴部劊塔繹譯閩蹈磨汲停謾倔遭寂裳咽攆準(zhǔn)談荊倡轍斟褪纏戴肅圈琢坐宋咐證苛撼濺雁漳測(cè)植燭尖麗物拂攪號(hào)節(jié)再唆狡夫鉛除投墜離絆緞?wù)セ毡I隱仙揪綠哀藝慫戳虛雛榨脹