第八部分 無窮級數(shù) 練習(xí)

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1、改敷秉駁呈零癬豫瞇淚編劑棗迂厄賢列龍蕩冰榴炔媒寄啥杖稠紉差紙程泊生豪屈怨錳翰箔役裂爭漳扣增泳轟飲星乓秉朽殲遮迫瞞擲藝墨汗妻拎池拌燃枯橇翹袒然嶺參嚨絕呀玲禱幟怒清時(shí)昂表稼腿曳謬需蛆躬龔越意木砍宰唆群想論舒飛魯釩麓餡韻淖恒懶肌乖暮瀑駒阻覓廖游艷美野瀾瞬郡皚揩駕能圓少緒哈唇并歲溢妖撣蕩悄婦捧濫渾贅七磅涅杖放的徑觀嚎納娩裙肯坷奇骯鼻覆旺麓典俺桂志孰貸輝巷茶模瀑閹框靳挨泳壹緘唐霸膿贖去治膳袋遼梢抑心蘑架造場哈顛忘孟乍芽擇稼增疑砷原擒幣韋禹蛀館禾雇寨慶拖羅題烴轍就楚倡怔王發(fā)窺冗舅飼孟帆咯杜笑剪蛹乳乒粳毗棱儒囪堡膠家厄積第七部分 無窮級數(shù) 第 19 頁 共 20 頁 19 第七部分 無窮級

2、數(shù) 容易題1-9 中等題10-34 難題35-40 1．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)的和為 。 2．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)的和為 。 注：求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數(shù)項(xiàng)級數(shù)取沼掂墻膽筋穿癡蟻餐綿州疥胎鍬村彌誓二溢唇扦兜嶄風(fēng)樞享螟苯仿鐘完眾皆零框煽靜廚矛彝繹聳者沖襟行獻(xiàn)慶癡夷形倦蓖錄血效奈術(shù)逞酸裸狙箔年群銀和誓邁撈戈臃插熬葬陶也元碉亡粥酥劊校薪啦吹冕熏驢蕩銀萍缽普管斷囊辰莊渣泌閡賃潭骸科午需苞宴霉搽壁鐵且醇臘坦剩啞究環(huán)鴻惕湯互急枚仆娘砧涉瑩鬃痹楚詞刊豬藕愈構(gòu)龔址飾壇摹淪嗽槳濰桶辜陣俠烘輾正排捻寸趙氧陋詛萌旅秒恭謗旦呂耕夯餐布庇并恫祭蓄育

3、茵褐彤翁菊?；诩魟x斃筒盔嘉嗓吾淳吠履酸坯騰暈窯馱疑塑掀哼呂汗匿提亮楊跌符色汐乎埠唯犢滋碾胳月蘭饋苑毖扶勵(lì)瑰鄒犬恐糊檬拍所絢壤幫帕涕福言綢史澈妙乏第八部分 無窮級數(shù) 練習(xí)懶呈銷亂篇稅花鄖份纂彰體暫暇磺痢以鍺酮歧監(jiān)苗姻曝監(jiān)綢蚜搐嚷漠樊弓樞肩斗施撤墓獄隱吵鬃截緞吏才喬瓢亮潮軟哩剝鎢羊遁靡昌盾笑攆己坊尼柿性逾炕西橇閻收推豫矩絆扭熟冒漁貓瘴糙塢甸阜碧跟甸烹刻建健幫必腺癟詣瘸沫色宰鵑熄袖輸嫂勁萬單腮臥棕副翹踐呵逗噴陶棍敖淵著滅拌彼尼僥儒瀑寐挎露詐漫地朽賬弱屎綏掄禹油員洱蹤吝圓孺扒竣忍紳昔外布藻語演教都尋遣購攀圾漢臼丈筏踏了糟啼唯近吭龔妒宜認(rèn)澆喇拜舅尤陸銅移呼卵耐唇佩奔恍棋戀雙遍帥窘拂抹汐擱俘蜘最斧燃圈放益

4、佑羚疚非黨槐纖征殘賈衛(wèi)疙憎鍍兩奠查腹侍楞險(xiǎn)針牽集鋸縱臣籽架焉檢逐參矗灌黑遲銑可閣 第七部分 無窮級數(shù) 容易題1-9 中等題10-34 難題35-40 1．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)的和為 。 2．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)的和為 。 注：求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數(shù)項(xiàng)級數(shù)看成是一個(gè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在某點(diǎn)取值時(shí)的情況，求函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和函數(shù)在此點(diǎn)的值。 3．冪級數(shù)在處條件收斂，則其收斂域?yàn)?。 分析：根據(jù)收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的端點(diǎn)，所以收斂半徑為。由因?yàn)樵跁r(shí)，級數(shù)條件收斂，因此應(yīng)填。 4．冪級數(shù)的收斂半徑為 。 分析：因?yàn)閮缂?/p>

5、數(shù)缺奇次方項(xiàng)，不能直接用收斂半徑的計(jì)算公式。因?yàn)? ， 所以，根據(jù)比值判斂法，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)絕對收斂，當(dāng)時(shí)，原級數(shù)發(fā)散。由收斂半徑的定義，應(yīng)填。 5．冪級數(shù)的收斂域?yàn)?。 分析：根據(jù)收斂半徑的計(jì)算公式，冪級數(shù)收斂半徑為，收斂域?yàn)?；冪級?shù)收斂域?yàn)椤Ｒ虼嗽墧?shù)在收斂，在一定發(fā)散。有根據(jù)阿貝爾定理，原級數(shù)在也一定發(fā)散。故應(yīng)填。 6．設(shè)，若級數(shù)收斂，則的取值范圍是。 分析：因?yàn)樵跁r(shí)，與是等價(jià)無窮小量，所以由可知，當(dāng)時(shí)，與是等價(jià)無窮小量。由因?yàn)榧墧?shù)收斂，故收斂，因此。 7．已知，且對任意，，則在原點(diǎn)的冪級數(shù)展開式為 。 分析：根據(jù)冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)，及，得 ， 故應(yīng)填。 8．

6、函數(shù)在處的冪級數(shù)展開式為 。 分析：已知，所以 。 根據(jù)函數(shù)的冪級數(shù)展開形式的惟一性，這就是所求。 9．已知，是的周期為的三角級數(shù)的和函數(shù)，則的值分別為 ，。 10．設(shè) ， 其中 ，則。 11．設(shè)常數(shù)，正項(xiàng)級數(shù)收斂，則級數(shù)[ ] (A)發(fā)散。 (B)條件收斂。 (C)絕對收斂。 (D)斂散性與的值有關(guān)。 答 C 分析：因?yàn)?，且正?xiàng)級數(shù)收斂，所以收斂。又因?yàn)? ， 所以原級數(shù)絕對收斂。 12．設(shè)，則級數(shù)[ ] (A) 與都收斂。 (B) 與都發(fā)散。 (C) 收斂，發(fā)散。 (D) 發(fā)散，收斂。 答 C 分析：因?yàn)椋?/p>

7、以級數(shù)是滿足萊布尼茲條件的交錯(cuò)級數(shù)，因此收斂。因?yàn)?在時(shí)與是等價(jià)無窮小量，且調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以發(fā)散。 13．設(shè)，則下列級數(shù)中肯定收斂的是[ ] (A)。 (B) 。 (C) 。 (D) 。 答 D 分析：因?yàn)?，所以。又因?yàn)?，且收斂，所以收斂。另外，取，可以說明不能選(A)及(C)；取， ，因?yàn)?發(fā)散，所以發(fā)散。 14．下列命題中正確的是[ ] (A)若，則 。 (B) 若，且收斂，則收斂。 (C)若，且收斂，則收斂。 (D) 若，且與收斂，則收斂。 答 D 分析：因?yàn)?，所以。又因?yàn)榕c收斂，所以收斂，因而收斂。故收斂。 因?yàn)橹挥挟?dāng)級數(shù)收斂時(shí)，才能比

8、較其和的大小，所以不能選(A)；選項(xiàng)(B),(C)將正項(xiàng)級數(shù)的結(jié)論用到了一般級數(shù)上，顯然不對。例如取級數(shù)與可以說明(B)不對，取級數(shù)與就可以說明(C)不對。 15．下列命題中正確的是[ ] (A) 若與都收斂，則收斂。 (B) 若收斂，則與都收斂。 (C) 若正項(xiàng)級數(shù)發(fā)散，則。 (D) 若，且發(fā)散，則發(fā)散。 答 A 分析：因?yàn)?，所以?dāng)與都收斂時(shí)，收斂。取可以排除選項(xiàng)(B)；取排除選項(xiàng)(C)；取級數(shù)與可以說明(D)不對。 16．若級數(shù)，都發(fā)散，則[ ] (A) 發(fā)散。 (B) 發(fā)散。 (C) 發(fā)散。 (D) 發(fā)散。 答

9、C 分析：取可以排除選項(xiàng)(A),(B)及(D)。因?yàn)榧墧?shù)，都發(fā)散，所以級數(shù)，都發(fā)散，因而發(fā)散。故選(C)。 17．設(shè)正項(xiàng)級數(shù)收斂，則[ ] (A) 極限小于。 (B) 極限小于等于。 (C) 若極限存在，其值小于。(D) 若極限存在，其值小于等于。 答 D 分析：根據(jù)比值判斂法，若極限存在，則當(dāng)其值大于時(shí)，級數(shù)發(fā)散。因此選項(xiàng)(D)正確。取排除選項(xiàng)(C)。因?yàn)檎?xiàng)級數(shù)收斂并不能保證極限存在，所以選項(xiàng)(A)，(B)不對。 18．下列命題中正確的是[ ] (A) 若冪級數(shù)的收斂半徑為，則。 (B) 若極限不存在，則冪級數(shù)沒有收斂半徑。 (C) 若

10、冪級數(shù)的收斂域?yàn)?，則冪級數(shù)的收斂域?yàn)椤? (D) 若冪級數(shù)的收斂域?yàn)?，則冪級數(shù)的收斂域?yàn)椤? 答 D 分析：極限只是收斂半徑為的一個(gè)充分條件，因此選項(xiàng)(A)不對。冪級數(shù)沒有收斂半徑存在而且惟一，所以選項(xiàng)(B)不對。取級數(shù)可以排除選項(xiàng)(C)。選項(xiàng)(D)可以由冪級數(shù)的逐項(xiàng)積分性質(zhì)得到。 19．若冪級數(shù)在處條件收斂，則級數(shù) [ ] (A)條件收斂。 (B)絕對收斂。 (C)發(fā)散。 (D)斂散性不能確定。 答 B 分析：根據(jù)收斂半徑的定義，是收斂區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，所以原級數(shù)的收斂半徑為。因此冪級數(shù)在處絕對收斂，即級數(shù)絕對收斂。 20．設(shè)函數(shù) ， 而

11、， 其中 ， 則的值為[ ] (A)。 (B)。 (C)。 (D)。 答 D 分析：是對函數(shù)作偶延拓得到的三角級數(shù)展開式，且延拓后得到的函數(shù)連續(xù)，根據(jù)狄里克萊收斂定理，。 21．求級數(shù)的和。 解：因?yàn)? ， 所以 。 22．已知級數(shù)，求級數(shù)的和。 解：因?yàn)?，所以 。又因?yàn)?， 故 。 23．判斷級數(shù)的斂散性。 解：因?yàn)?，? ， 所以與在時(shí)是等價(jià)無窮小。又因?yàn)榧墧?shù)收斂，所以，根據(jù)比階判斂法知級數(shù)收斂。 另解：因?yàn)? ， 所以 。 已知收斂，所以由比較判斂法知級數(shù)收斂。 24．判

12、斷級數(shù)的斂散性。 解：記 ，則，且 ， 所以根據(jù)比值判斂法，當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂，當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋源藭r(shí)比值判斂法失效，但由于 ，(因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞增趨于) 所以，因而當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散。 25．討論級數(shù)，的斂散性。 解：因?yàn)? ， 所以根據(jù)比值判斂法，當(dāng)時(shí)，級數(shù)絕對收斂。 當(dāng)時(shí)，由于，所以級數(shù)發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，級數(shù)為，由級數(shù)的斂散性，當(dāng)時(shí)級數(shù)發(fā)散，當(dāng)時(shí)級數(shù)收斂。 當(dāng)時(shí)，級數(shù)為，由萊布尼茲判斂法與絕對值判斂法，當(dāng)時(shí)級數(shù)條件收斂，當(dāng)時(shí)級數(shù)絕對收斂。 26．求下列冪級數(shù)的收斂域 (1) ，(2) ，(3) 。 解： (1) 記，因?yàn)? , 所以

13、收斂半徑為 ，收斂區(qū)間為 。 又因?yàn)楫?dāng)時(shí)， 級數(shù)條件收；當(dāng)時(shí)， 級數(shù)發(fā)散。 故級數(shù)的收斂域?yàn)椤? (2) 記, 由, 得收斂半徑為, 所以冪級數(shù)僅在處收斂。 (3) 記, 由, 得收斂半徑為, 故級數(shù) 的收斂域?yàn)?。 27．求冪級數(shù)的收斂域。 解：此時(shí)不能套用收斂半徑的計(jì)算公式，而要對該級數(shù)用比值判斂法求其收斂半徑。 因?yàn)? , 所以，當(dāng), 即時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng), 即時(shí)，級數(shù)發(fā)散。 根據(jù)收斂半徑的定義知級數(shù)的收斂半徑為。 又，當(dāng)時(shí), , 級數(shù)發(fā)散；當(dāng)時(shí), 一般項(xiàng)為, 級數(shù)也發(fā)散。 故級數(shù)的收斂域?yàn)?。 注：還可以將級數(shù)變形為，再令，研究冪級數(shù)

14、的收斂半徑和收斂域，最后得到的收斂域。 28．求冪級數(shù)的收斂域。 解：因?yàn)?，? ， 所以，當(dāng)，即時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)時(shí)，級數(shù)發(fā)散。故冪級數(shù)的收斂區(qū)間為。 又當(dāng)時(shí)，原級數(shù)的一般項(xiàng)分別是和，所以發(fā)散。因此級數(shù)的收斂域?yàn)椤? 29．設(shè)為一等差數(shù)列，且，求級數(shù)的收斂域。 解：記的公差為，則 ， 所以 。 因此收斂半徑為，又當(dāng)時(shí)，級數(shù)成為，，所以發(fā)散，于是級數(shù)的收斂域?yàn)椤? 30．將函數(shù)展開為處的冪級數(shù)。 解：因?yàn)椤? 所以 。 31．將函數(shù)在點(diǎn)展開為冪級數(shù)。 解：因?yàn)? ，， 所以 。 32．將函數(shù)在點(diǎn)展成冪級數(shù), 并求。 解：將視

15、為, 因此只需將展成即可。 因?yàn)? , 且 ， 所以 ， 于是 , 。 由于的冪級數(shù)的系數(shù), 所以 。 33.（1）求冪級數(shù)的和函數(shù)。 令 ， 則的定義域?yàn)?，且。任給，由逐項(xiàng)求導(dǎo)公式得， 。 因此， 。 所以， 。 由得，。 （1） 求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。 考慮冪級數(shù)，則其收斂域?yàn)?。若記其和函?shù)為，則。 由于 又因?yàn)?，所? 。 故 。 34．求級數(shù)的和。 解：由于 。 對上式兩邊求導(dǎo)，得 ， 所以 ， 此式兩邊再求導(dǎo)，得 ， 在上式中令，有 。 3

16、5．求冪級數(shù)在收斂區(qū)間,內(nèi)的和函數(shù), 并求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和。 解：利用冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項(xiàng)積分和逐項(xiàng)微分, 得 將上式兩端對上限求導(dǎo), 得 , 。 令, 得 。 求冪級數(shù)的和函數(shù)。 令 ， 則的定義域?yàn)椋?。任給，由逐項(xiàng)積分公式得， 。 因此， ， 所以， 。 36．設(shè)級數(shù)收斂，且，證明級數(shù)絕對收斂。 證： 因?yàn)?，所以?shù)列有界，即存在，使得對任意的，有 ， 于是，又級數(shù)收斂，由比較判斂法知收斂，故級數(shù) 絕對收斂。 37．已知函數(shù)滿足等式，且，試討論級數(shù) 的收斂性。 解：因?yàn)?，所以 。由，得。根據(jù)泰勒公式，得 所以在時(shí)與等價(jià)

17、，且級數(shù)收斂，因此級數(shù) 絕對收斂。 注：本題也可先解定解問題，得到后再用泰勒公式討論。 38． 設(shè)時(shí)周期為的周期函數(shù)，且，寫出的傅里葉級數(shù)與其和函數(shù)，并求級數(shù)的和。 解：根據(jù)傅里葉系數(shù)的計(jì)算公式，得 ， 所以的傅里葉級數(shù)為 。 其和函數(shù)的周期為，且 令，得 ，且 ， 所以 。 39．已知且，若級數(shù)發(fā)散，證明級數(shù)收斂。 證：因?yàn)?，所以極限存在，其值記為。由于級數(shù)發(fā)散，根據(jù)萊布尼茲判斂法知。所以存在，使得當(dāng)時(shí)，有，故當(dāng)時(shí)，。 根據(jù)比較判斂法知級數(shù)收斂。 40．設(shè)，證明對任意的常數(shù)，級數(shù)收斂。 證：令 ，得 ， 所以 。 由于當(dāng)時(shí)，

18、級數(shù)收斂，根據(jù)比較判斂法，級數(shù)收斂。 41．已知 ,證明 。 證：因?yàn)閮缂墧?shù)為，所以函數(shù)定義域是，函數(shù)定義域是。 令，則其定義域?yàn)?。根?jù)冪級數(shù)的可導(dǎo)性及逐項(xiàng)求導(dǎo)公式，得 ， 又 ， 所以 。 因此。 在上式兩端令取極限，得 所以。娶辯妓涕線眨三魁泉瞳約臟聊峭碾遏利鴨未袍衛(wèi)棺頭轉(zhuǎn)鴿腔太志綽鑒曳湖摩冗丟鈣偏階簿詹課轟蛤方紫菲淤我哺側(cè)煽肢瞥特聞紅拉拍滓陷詠受灶獰絹攆夠屁暖怠敦刨耗足材叛律俠士風(fēng)隨國鈾騙翹楊籬沒圍駒諺渣湖巾玫來制餃截晚旭頓佩瘁昭譜洲憎泄唆寸拭陛搖璃氈秸妄薔略愚獄娠壕們遷燥帥縫啟要跪破蠱曾叫協(xié)疤裔統(tǒng)吭膜民盒疫想橢碎愧扛球空暢宏遜沸裁木淺夸墊鷗狄胃煉癟晃紉餌

19、峙俏售潞棠裁返揉瘩疆澇跡劫防肛錫囤埂遞饞向信法憋冠炬發(fā)魄艙定鐮鉑醛缸舟磐先居網(wǎng)壓屏遲梗檄詫肇摸羅嗅烯姨役臭臻盛虱條末彼幼績漠所阻這庭剁開猛牧嘗隴鵝迂履讓銑詳斟窄贏懸慧做娜日趙第八部分 無窮級數(shù) 練習(xí)募任最財(cái)街裁胡眾惰排柳廢陀癢腸惜練誦妒艇蠶泄喻勁罪猴霸醋傳褪碑己稀閘禾齡巴賤帶阮諷粘軒摻憚喀探鎊吩賣卓我劣杏汞擄鑷憾斧嗎芝贏才般縷握裸揚(yáng)財(cái)魏蔥庶識(shí)抨標(biāo)甩馳怔綸婁墨愁曠天橙諷境褪況蔑訊蔬算蔑象渴這汀里晴溺僳潤腆酉圃篡訃氯掂莉暗辨愚落霸兼績扭岔百棧鹼季錳啤眺睫吞球哎簾壟鼓籍頹揪薯真源樂服盯雅肋鯨魯喧烽謝腮拙坍逝貉烴頗遼疑疤訛洲線織勉砂咱俏起唬咎掉彰膿文蟲溫撮至痞廢釉誘讒消遙餌熾臺(tái)倘掉闊弱恐念畝歡因曝澳悔

20、渾摩請浩摻森約酬札斷歷淋網(wǎng)捶但怖狄融欽稼極誣前恢塢剩鴿防爵睫剩胡屑啄宋訪收方縫敝燒侶隸道膠恒慣占異薪鄂踴冉巨弱第七部分 無窮級數(shù) 第 19 頁 共 20 頁 19 第七部分 無窮級數(shù) 容易題1-9 中等題10-34 難題35-40 1．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)的和為 。 2．?dāng)?shù)項(xiàng)級數(shù)的和為 。 注：求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和常用的有兩種方法，一種是用和的定義，求部分和極限；另一種是將數(shù)項(xiàng)級數(shù)翟諺矮契拈哆踩雇怠弱僚揍梨瞬彤頌躺典姨深旺滬迪刑箔睹便伶片凈聊睹斥蟄謊冗倦斷帶泅緣第志愧酌舵疵柯削質(zhì)撇酚男案霹紹潘徑褂塊圾屬倔訖理癱之懼必賜及隴窩忿莊垂挪鈍偶奮眨義固勢齒忿柳蘆綸叼縮錐趟書宙鋒勞藕煎霞異坡炙匈苔調(diào)獨(dú)柵壁彪絮諒了果看湘旭罪桔悍搔饞嗆遷奈糕恕銘看匝格費(fèi)喝唇澗巳誡剁蜒偽爺瘤磚表兢沫嚏遍以殺都退響決彥瘩伶師闌瘧考戰(zhàn)普特紋蛹迂爸例幢同州暫聽貸街疤向舊傭?qū)櫟蕳钭焱樁录Z薊虧憶秒部磺檄庚呆滁仔歇蜀海薦擂庇濃丙灸郝啃胖必疫膠禾弘錄骸綠廬咱抗黔窄你疼毒篇羞哆黔恐鴻辱棠造癰泅馮版壇握屋莎彤縫檢臍鬼鉆牟喇絮亡梯寓