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1、 第十八章不等式選講高考導(dǎo)航考試要求重難點(diǎn)擊命題展望1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并能用它證明絕對(duì)值三角不等式等較簡(jiǎn)單的不等式.|ab|a|b|；|ab|ac|cb|.2.能用絕對(duì)值的幾何意義解幾類簡(jiǎn)單的絕對(duì)值型不等式，如|axb|c或|axb|c，以及|xa|xb|c或|xa|xb|c類型.3.了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法和放縮法.4.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理及其使用范圍，會(huì)用它證明一些簡(jiǎn)單不等式及其他問題.5.了解柯西不等式的幾種不同形式：二維形式(a2b2)(c2d2)(acbd)2、向量形式|、一般形式，理解它們的幾何意義.掌握柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型
2、的函數(shù)極值中的應(yīng)用.6.了解排序不等式的推導(dǎo)及意義并能簡(jiǎn)單應(yīng)用.7.會(huì)用數(shù)學(xué)歸納法證明貝努利不等式：本章重點(diǎn)：不等式的基本性質(zhì)；基本不等式及其應(yīng)用、絕對(duì)值型不等式的解法及其應(yīng)用；用比較法、分析法、綜合法證明不等式；柯西不等式、排序不等式及其應(yīng)用.本章難點(diǎn)：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式及其應(yīng)用；絕對(duì)值不等式的解法；用反證法、放縮法證明不等式；運(yùn)用柯西不等式和排序不等式證明不等式.本專題在數(shù)學(xué)必修5“不等式”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)一些重要的不等式，如絕對(duì)值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它們的證明，同時(shí)了解證明不等式的一些基本方法，如比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法等，會(huì)用絕對(duì)值
3、不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解決一些簡(jiǎn)單問題.高考中，只考查上述知識(shí)和方法，不對(duì)恒等變形的難度和一些技巧作過高的要求.知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 18.1絕對(duì)值型不等式典例精析題型一解絕對(duì)值不等式 【例1】設(shè)函數(shù)f(x)|x1|x2|.(1)解不等式f(x)3；(2)若f(x)a對(duì)xR恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閒(x)|x1|x2|所以當(dāng)x1時(shí)，32x3，解得x0；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)3無解；當(dāng)x2時(shí)，2x33，解得x3.所以不等式f(x)3的解集為(，0)(3，).(2)因?yàn)閒(x)所以f(x)min1.因?yàn)閒(x)a恒成立，所以a1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1).【變式
4、訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x).(1)當(dāng)a5時(shí)，求函數(shù)f(x)的定義域；(2)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，試求a的取值范圍.【解析】(1)由題設(shè)知|x1|x2|50，如圖，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y|x1|x2|和y5的圖象，知定義域?yàn)?，23，).(2)由題設(shè)知，當(dāng)xR時(shí)，恒有|x1|x2|a0，即|x1|x2|a，又由(1)知|x1|x2|3，所以a3，即a3.題型二解絕對(duì)值三角不等式【例2】已知函數(shù)f(x)|x1|x2|，若不等式|ab|ab|a|f(x)對(duì)a0，a、bR恒成立，求實(shí)數(shù)x的范圍.【解析】由|ab|ab|a|f(x)且a0得f(x).又因?yàn)?，則有2f(x).解不等式|x1|x2|2
5、得x.【變式訓(xùn)練2】(20xx深圳)若不等式|x1|x3|a對(duì)任意的實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【解析】(，0)2.題型三利用絕對(duì)值不等式求參數(shù)范圍【例3】(2009遼寧)設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|.由f(x)3得|x1|x1|3，當(dāng)x1時(shí)，不等式化為1x1x3，即2x3，不等式組的解集為(，；當(dāng)1x1時(shí)，不等式化為1xx13，不可能成立，不等式組的解集為；當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x1x13，即2x3， 不等式組的解集為，).綜上得f(x)3的解集為(，).(2)
6、若a1，f(x)2|x1|不滿足題設(shè)條件.若a1，f(x)f(x)的最小值為1a.由題意有1a2，即a1.若a1，f(x)f(x)的最小值為a1，由題意有a12，故a3.綜上可知a的取值范圍為(，13，).【變式訓(xùn)練3】關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x(a1)2|(a1)2與x23(a1)x2(3a1)0 (aR)的解集分別為A，B.求使AB的a的取值范圍.【解析】由不等式|x(a1)2|(a1)2(a1)2x(a1)2(a1)2，解得2axa21，于是Ax|2axa21.由不等式x23(a1)x2(3a1)0(x2)x(3a1)0，當(dāng)3a12，即a時(shí)，Bx|2x3a1，因?yàn)锳B，所以必有解得1a3；當(dāng)
7、3a12，即a時(shí)，Bx|3a1x2，因?yàn)锳B，所以解得a1.綜上使AB的a的取值范圍是a1或1a3.總結(jié)提高1.“絕對(duì)值三角不等式”的理解及記憶要結(jié)合三角形的形狀，運(yùn)用時(shí)注意等號(hào)成立的條件.2.絕對(duì)值不等式的解法中，a的解集是(a，a)；a的解集是(，a)(a，)，它可以推廣到復(fù)合型絕對(duì)值不等式c，c的解法，還可以推廣到右邊含未知數(shù)x的不等式，如x11x3x1x1.3.含有兩個(gè)絕對(duì)值符號(hào)的不等式，如c和c型不等式的解法有三種，幾何解法和代數(shù)解法以及構(gòu)造函數(shù)的解法，其中代數(shù)解法主要是分類討論的思想方法，這也是函數(shù)解法的基礎(chǔ)，這兩種解法都適宜于x前面系數(shù)不為1類型的上述不等式，使用范圍更廣.18.
8、2不等式的證明(一)典例精析題型一用綜合法證明不等式【例1】 若a，b，c為不全相等的正數(shù)，求證：lg lg lg lg alg blg c.【證明】 由a，b，c為正數(shù)，得lg lg ；lg lg ；lg lg .而a，b，c不全相等，所以lg lg lg lg lg lg lg lg(abc)lg alg blg c.即lg lg lg lg alg blg c.【點(diǎn)撥】 本題采用了綜合法證明，其中基本不等式是證明不等式的一個(gè)重要依據(jù)(是一個(gè)定理)，在證明不等式時(shí)要注意結(jié)合運(yùn)用.而在不等式的證明過程中，還要特別注意等號(hào)成立的條件是否滿足.【變式訓(xùn)練1】已知a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，且a2b2
9、1，c2d21.求證：|acbd|1.【證明】因?yàn)閍，b，c，d都是實(shí)數(shù)，所以|acbd|ac|bd|.又因?yàn)閍2b21，c2d21，所以|acbd|1.題型二用作差法證明不等式 【例2】 設(shè)a，b，c為ABC的三邊，求證：a2b2c22(abbcca).【證明】a2b2c22(abbcca)(ab)2(bc)2(ca)2a2b2c2 (ab)2c2(bc)2a2(ca)2b2.而在ABC中，c，所以(ab)2c2，即(ab)2c20.同理(ac)2b20，(bc)2a20，所以a2b2c22(abbcca)0.故a2b2c22(abbcca).【點(diǎn)撥】 不等式的證明中，比較法特別是作差比較法
10、是最基本的證明方法，而在牽涉到三角形的三邊時(shí)，要注意運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.【變式訓(xùn)練2】設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，0n1,0m1，mn1，求證：(ab)2.【證明】因?yàn)?ab)20，所以不等式(ab)2成立.題型三用分析法證明不等式 【例3】已知a、b、cR，且abc1.求證：(1a)(1b)(1c)8(1a)(1b)(1c). 【證明】因?yàn)閍、b、cR，且abc1，所以要證原不等式成立，即證(abc)a(abc)b(abc)c8(abc)a(abc)b(abc)c，也就是證(ab)(ca)(ab)(bc)(ca)(bc)8(bc)(ca)(ab).因?yàn)?
11、ab)(bc)20，(bc)(ca)20，(ca)(ab)20，三式相乘得式成立，故原不等式得證.【點(diǎn)撥】 本題采用的是分析法.從待證不等式出發(fā)，分析并尋求使這個(gè)不等式成立的充分條件的方法叫分析法，概括為“執(zhí)果索因”.分析法也可以作為尋找證題思路的方法，分析后再用綜合法書寫證題過程.【變式訓(xùn)練3】設(shè)函數(shù)f(x)xa(x1)ln(x1)(x1，a0).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間； (2)求證：當(dāng)mn0時(shí)，(1m)n(1n)m.【解析】(1)f(x)1aln(x1)a，a0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(1，)上是增函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(1，1上單調(diào)遞增，在1，)單調(diào)遞減.(2)證明：要證(
12、1m)n(1n)m，只需證nln(1m)mln(1n)，只需證.設(shè)g(x)(x0)，則g(x).由(1)知x(1x)ln(1x)在(0，)單調(diào)遞減，所以x(1x)ln(1x)0，即g(x)是減函數(shù)，而mn，所以g(m)g(n)，故原不等式成立.總結(jié)提高 1.一般在證明不等式的題目中，首先考慮用比較法，它是最基本的不等式的證明方法.比較法一般有“作差比較法”和“作商比較法”，用得較多的是“作差比較法”，其中在變形過程中往往要用到配方、因式分解、通分等計(jì)算方法.2.用綜合法證明不等式的過程中，所用到的依據(jù)一般是定義、公理、定理、性質(zhì)等，如基本不等式、絕對(duì)值三角不等式等.3.用分析法證明不等式的關(guān)鍵
13、是對(duì)原不等式的等價(jià)轉(zhuǎn)換，它是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立.4.所謂“綜合法”、“分析法”其實(shí)是證明題的兩種書寫格式，而不是真正意義上的證明方法，并不像前面所用的比較法及后面要復(fù)習(xí)到的三角代換法、放縮法、判別式法、反證法等是一種具體的證明方法(或者手段)，而只是兩種互逆的證明題的書寫格式.18.3不等式的證明(二) 典例精析題型一用放縮法、反證法證明不等式 【例1】已知a，bR，且ab1，求證：(a2)2(b2)2.【證明】 方法一：(放縮法)因?yàn)閍b1，所以左邊(a2)2(
14、b2)222(ab)42右邊.方法二：(反證法)假設(shè)(a2)2(b2)2，則 a2b24(ab)8.由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212.所以(a)20，這與(a)20矛盾.故假設(shè)不成立，所以(a2)2(b2)2.【點(diǎn)撥】 根據(jù)不等式左邊是平方和及ab1這個(gè)特點(diǎn)，選用重要不等式a2 b22()2來證明比較好，它可以將具備a2b2形式的式子縮小.而反證法的思路關(guān)鍵是先假設(shè)命題不成立，結(jié)合條件ab1，得到關(guān)于a的不等式，最后與數(shù)的平方非負(fù)的性質(zhì)矛盾，從而證明了原不等式.當(dāng)然本題也可以用分析法和作差比較法來證明.【變式訓(xùn)練1】設(shè)a0，a1，a2，an1，an滿足a0an0，且有a02a1a2
15、0，a12a2a30，an22an1an0，求證：a1，a2，an10.【證明】由題設(shè)a02a1a20得a2a1a1a0.同理，anan1an1an2a2a1a1a0.假設(shè)a1，a2，an1中存在大于0的數(shù)，假設(shè)ar是a1，a2，an1中第一個(gè)出現(xiàn)的正數(shù). 即a10，a20，ar10，ar0，則有arar10，于是有anan1an1an2arar10.并由此得anan1an2ar0.這與題設(shè)an0矛盾.由此證得a1，a2，an10成立.題型二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】用放縮法、數(shù)學(xué)歸納法證明：設(shè)an，nN*，求證：an.【證明】 方法一：(放縮法)，即n.所以12nan13(2n1).所以
16、an，即an.方法二：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)n1時(shí)，a1，而12，所以原不等式成立.假設(shè)nk (k1)時(shí)，不等式成立，即ak.則當(dāng)nk1時(shí)，ak1，所以ak1.而(k1)，.所以ak1.故當(dāng)nk1時(shí)，不等式也成立.綜合知當(dāng)nN*，都有an.【點(diǎn)撥】 在用放縮法時(shí)，常利用基本不等式將某個(gè)相乘的的式子進(jìn)行放縮，而在上面的方法二的數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵步驟也要用到這個(gè)公式.在用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)要注意根據(jù)目標(biāo)來尋找思路.【變式訓(xùn)練2】已知數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和，計(jì)算得S1，S2，S3，S4，觀察上述結(jié)果推測(cè)出計(jì)算Sn的公式且用數(shù)學(xué)歸納法加以證明.【解析】猜想Sn(nN).證明：當(dāng)n1時(shí)，S1，等式成立.假設(shè)當(dāng)nk(k
17、1)時(shí)等式成立，即Sk.則Sk1Sk.即當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立.綜合得，對(duì)任何nN，等式都成立.題型三用不等式證明方法解決應(yīng)用問題【例3】某地區(qū)原有森林木材存量為a，且每年增長(zhǎng)率為25%，因生產(chǎn)建設(shè)的需要每年年底要砍伐的木材量為b，設(shè)an為n年后該地區(qū)森林木材存量. (1)求an的表達(dá)式；(2)為保護(hù)生態(tài)環(huán)境，防止水土流失，該地區(qū)每年森林木材量應(yīng)不少于a，如果ba，那么該地區(qū)今后會(huì)發(fā)生水土流失嗎？若會(huì)，需要經(jīng)過幾年？(取lg 20.30)【解析】(1)依題意得a1a(1)bab，a2a1b(ab)b()2a(1)b，a3a2b()3a()2(1)b，由此猜測(cè)an()na()n1()n21b()
18、na4()n1b(nN).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a1ab，猜測(cè)成立.假設(shè)nk(k2)時(shí)猜測(cè)成立，即ak()ka4()k1b成立.那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1akbb()k1a4()k11b，即當(dāng)nk1時(shí)，猜測(cè)仍成立.由知，對(duì)任意nN，猜測(cè)成立.(2)當(dāng)ba時(shí)，若該地區(qū)今后發(fā)生水土流失，則森林木材存量必須少于a，所以()na4()n1aa，整理得()n5，兩邊取對(duì)數(shù)得nlg lg 5，所以n7.故經(jīng)過8年該地區(qū)就開始水土流失.【變式訓(xùn)練3】經(jīng)過長(zhǎng)期觀測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/時(shí))與汽車的平均速度v(千米/時(shí))之間的函數(shù)關(guān)系為y(v0).(1)在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車
19、的平均速度v為多少時(shí)，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/時(shí))(2)若要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【解析】(1)依題意，y，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v40時(shí)，上式等號(hào)成立，所以ymax11.1(千輛/時(shí)). (2)由條件得10，整理得v289v1 6000，即(v25)(v64)0，解得25v64.答：當(dāng)v40千米/時(shí)時(shí)，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/時(shí).如果要求在該時(shí)段內(nèi)車流量超過10千輛/時(shí)，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/時(shí)且小于64千米/時(shí).總結(jié)提高1.有些不等式，從正面證如果不易說清，可以考慮反證法，凡是含有“至少”、“唯一”或
20、者其他否定詞的命題適用反證法.在一些客觀題如填空、選擇題之中，也可以用反證法的方法進(jìn)行命題正確與否的判斷.2.放縮法是證明不等式特有的方法，在證明不等式過程中常常要用到它，放縮要有目標(biāo)，目標(biāo)在結(jié)論和中間結(jié)果中尋找.常用的放縮方法有：(1)添加或舍去一些項(xiàng)，如，n；(2)將分子或分母放大(或縮小)；(3)利用基本不等式，如；(4)利用常用結(jié)論，如， ；(程度大)；() (程度小).3.用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的不等式的證明過程與用數(shù)學(xué)歸納法證明其他命題一樣，先要奠基，后進(jìn)行假設(shè)與推理，二者缺一不可. 18.4柯西不等式和排序不等式典例精析題型一用柯西不等式、排序不等式證明不等式【例1】設(shè)a1
21、，a2，an都為正實(shí)數(shù)，證明：a1a2an.【證明】方法一：由柯西不等式，有()(a2a3ana1)()2(a1a2an)2.不等式兩邊約去正數(shù)因式a1a2an即得所證不等式.方法二：不妨設(shè)a1a2an，則aaa，.由排序不等式有aaaaaaaa1a2an，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a22a1，a32a2，a12an，將這n個(gè)不等式相加得a2a3ana12(a1a2an)，整理即得所證不等式.【點(diǎn)撥】 根據(jù)所證不等式的結(jié)構(gòu)形式觀察是否符合柯西不等式、排序不等式的結(jié)構(gòu)形式或有相似之處.將其配成相關(guān)結(jié)構(gòu)形式是解決問題的突破口，有時(shí)往往要進(jìn)行添項(xiàng)、拆項(xiàng)、重組、配方等方法的處理.【變式訓(xùn)練1
22、】已知abc1，且a、b、c是正數(shù)，求證：9.【證明】左邊2(abc)()(ab)(bc)(ca)()(111)29，(或左邊(ab)(bc)(ca)()332229)所以9.題型二用柯西不等式求最值【例2】 若實(shí)數(shù)x，y，z滿足x2y3z2，求x2y2z2的最小值.【解析】 由柯西不等式得，(122232)(x2y2z2)(x2y3z)24(當(dāng)且僅當(dāng)1kx,2ky,3kz時(shí)等號(hào)成立，結(jié)合x2y3z2，解得x，y，z)，所以14(x2y2z2)4.所以x2y2z2.故x2y2z2的最小值為.【點(diǎn)撥】 根據(jù)柯西不等式，要求x2y2z2的最小值，就要給x2y2z2再配一個(gè)平方和形式的因式，再考慮需
23、要出現(xiàn)定值，就要讓柯西不等式的右邊出現(xiàn)x2y3z的形式，從而得到解題思路.由此可見，柯西不等式可以應(yīng)用在求代數(shù)式的最值中.【變式訓(xùn)練2】已知x22y23z2，求3x2yz的最小值.【解析】因?yàn)?x22y23z2)32()2()2(3xyz)2(3x2yz)2，所以(3x2yz)212，即23x2yz2，當(dāng)且僅當(dāng)x，y，z時(shí)，3x2yz取最小值，最小值為2.題型三不等式綜合證明與運(yùn)用【例3】 設(shè)x0，求證：1xx2x2n(2n1)xn.【證明】(1)當(dāng)x1時(shí)，1xx2xn，由排序原理：順序和反序和得11xxx2x2xnxn1xnxxn1xn1xxn1，即1x2x4x2n(n1)xn.又因?yàn)閤，x
24、2，xn，1為序列1，x，x2，xn的一個(gè)排列，于是再次由排序原理：亂序和反序和得1xxx2xn1xnxn11xnxxn1xn1xxn1，即xx3x2n1xn(n1)xn，將和相加得1xx2x2n(2n1)xn.(2)當(dāng)0x1時(shí)，1xx2xn.由仍然成立，于是也成立.綜合(1)(2)，原不等式成立.【點(diǎn)撥】 分類討論的目的在于明確兩個(gè)序列的大小順序.【變式訓(xùn)練3】把長(zhǎng)為9 cm的細(xì)鐵線截成三段，各自圍成一個(gè)正三角形，求這三個(gè)正三角形面積和的最小值.【解析】設(shè)這三個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)分別為a、b、c，則abc3，且這三個(gè)正三角形面積和S滿足：3S(a2b2c2)(121212)(abc)2S.當(dāng)且僅
25、當(dāng)abc1時(shí)，等號(hào)成立.總結(jié)提高 1.柯西不等式是基本而重要的不等式，是推證其他許多不等式的基礎(chǔ)，有著廣泛的應(yīng)用.教科書首先介紹二維形式的柯西不等式，再從向量的角度來認(rèn)識(shí)柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介紹一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在證明不等式和求某些特殊類型的函數(shù)極值中的應(yīng)用.2.排序不等式也是基本而重要的不等式.一些重要不等式可以看成是排序不等式的特殊情形，例如不等式a2b22ab.有些重要不等式則可以借助排序不等式得到簡(jiǎn)捷的證明.證明排序不等式時(shí)，教科書展示了一個(gè)“探究猜想證明應(yīng)用”的研究過程，目的是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)，初步認(rèn)識(shí)排序不等式的數(shù)學(xué)意義、證明方法和簡(jiǎn)單應(yīng)用.3.利用柯西不等式或排序不等式常常根據(jù)所求解(證)的式子結(jié)構(gòu)入手，構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬山M數(shù)，有難度的逐步調(diào)整去構(gòu)造.對(duì)于具體明確的大小順序、數(shù)目相同的兩列數(shù)考慮它們對(duì)應(yīng)乘積之和的大小關(guān)系時(shí)，通?？紤]排序不等式.
高三理科數(shù)學(xué) 一輪總復(fù)習(xí)第十八章 不等式選講教師用書
