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精編北師大版數(shù)學(xué)資料
復(fù)數(shù)性質(zhì)的妙用
復(fù)數(shù)有很多特殊的性質(zhì)，如果能在解題的過程中靈活地加以運(yùn)用，就會(huì)收到事半功倍的效果.
一、虛數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
與虛數(shù)單位相關(guān)的性質(zhì)有：
?、伲吹钠椒礁牵?
?、谌簦瑒t，，，；
?、?；
?、?；
?、?，．
例1 計(jì)算．
解析：，
．
二、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
設(shè)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，則有如下性質(zhì)：
?、?；
②；
?、?；
④；
?、轂閷?shí)數(shù)，為純虛數(shù)．
例2 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，其中，求的值．
解析：
，
把代入上式，得．
三、的應(yīng)用
例3 設(shè)復(fù)數(shù)滿足，求的最值．
解析：由題意，，則．
設(shè)，則．
· 當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
四、純虛數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
命題 設(shè)z為非零復(fù)數(shù)，若z為純虛數(shù)，則對(duì)任意非零實(shí)數(shù)a，有成立．反之，若是非零實(shí)數(shù)，且，則為純虛數(shù)．
證明：由兩復(fù)數(shù)差的模的幾何意義可知，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為復(fù)平面上復(fù)數(shù)a與對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中垂線.顯然其中垂線為虛軸.因而復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，反之亦然.
例4 解方程．
解析：原方程可化為，若，則，原方程不成立，．
為純虛數(shù)．
由命題知，，，即．
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