新版高中數學北師大版選修21課時作業(yè)：第2章 習題課2 Word版含解析

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1、新版數學北師大版精品資料習題課(2)一、選擇題1若A(1，2,3)，B(2,5,6)在直線l上，則直線l的一個方向向量為()A(1，2,3) B(2,5,6)C(1,7,3) D(1，7,3)解析：(1,7,3)，又與平行的非零向量都可作為l的方向向量，(1,7,3)可作為l的方向向量答案：C2已知(2,2,1)，(4,5,3)，則平面ABC的一個單位法向量為()A(，) B(，)C(，) D(，)解析：設平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則有取x1，則y2，z2.所以n(1，2,2)因為|n|3，所以平面ABC的一個單位法向量可以是(，)答案：B3已知平面內有一個點A(2，1,2)，的一

2、個法向量為n(3,1,2)，則下列點P中，在平面內的是()A(1，1,1) B(1,3，)C(1，3，) D(1,3，)解析：n為的一個法向量，n0，把P點依次代入滿足上式即可答案：B4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分別是棱CC1，BC，A1B1上的點，若B1MN90，則PMN的大小是()A等于90 B小于90C大于90 D不確定解析：A1B1平面BCC1B1，A1B1MN，()0，MPMN，即PMN90.答案：A52014遼寧大連一模長方體ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD1，E為CC1的中點，則異面直線BC1與AE所成角的余弦值為()A BC D解析：

3、建立坐標系如圖，則A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)(1,0,2)，(1,2,1)，cos，.所以異面直線BC1與AE所成角的余弦值為.答案：B6如右圖所示 ，已知點P為菱形ABCD外一點，且PA面ABCD，PAADAC，點F為PC中點，則二面角CBFD的正切值為()A BC D解析：如右圖所示，連接BD，ACBDO，連接OF.以O為原點，OB、OC、OF所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Oxyz.設PAADAC1，則BD.所以B，F，C，D.結合圖形可知，且為面BOF的一個法向量，由，可求得面BCF的一個法向量n(1，)所以cosn，sinn，

4、所以tann，.答案：D二、填空題7若A(0,2，)，B(1，1，)，C(2,1，)是平面內的三點，設平面的法向量a(x，y，z)，則xyz_.解析：(1，3，)，(2，1，)，由得解得則xyzyy(y)23(4)答案：23(4)8在正方體ABCDA1B1C1D1中，直線BC1與平面A1BD所成角的余弦值是_解析：建立如右圖所示的空間直角坐標系，設棱長為1，則B(1,1,0)，C1(0,1,1)，A1(1,0,1)，D(0,0,0)，(1,0,1)，(1，0，1)，(1，1,0)，設平面A1BD的一個法向量為n(1，x，y)，設平面A1BD與BC1所成的角為，n，n，所以n0，n0，所以解得所

5、以n(1，1，1)，則cos，n，所以sin，所以cos.答案：9平面的法向量為(1,0，1)，平面的法向量為(0，1，1)，則平面與平面所成二面角的大小為_解析：設n1(1,0，1)，n2(0，1，1)，則cosn1，n2 ，n1，n2.因平面與平面所成的角與n1，n2相等或互補，所以與所成的角為或.答案：或三、解答題10在四棱錐PABCD中，四邊形ABCD是正方形，棱PD垂直于底面ABCD，PDDC，E是PC的中點，EFPB于點F.(1)證明：PA平面EDB；(2)證明：PB平面EFD.證明：如右圖所示建立空間直角坐標系，D是坐標原點，設DCa.(1)連接AC，AC交BD于G，連接EG，依

6、題意得D(0,0,0)，A(a,0,0)，P(0,0，a)，E(0，)因為四邊形ABCD是正方形，所以G是此正方形的中心，故點G的坐標為(，0)，所以(，0，)，又(a,0，a)，所以2，這表明PAEG.而EG平面EDB，且PA平面EDB，所以PA平面EDB.(2)依題意得B(a，a,0)，(a，a，a)，(0，)，所以00，所以PBDE.由已知EFPB，且EFDEE，所以PB平面EFD.11在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是等腰梯形，ABCD，DAB60，FC平面ABCD，AEBD，CBCDCF.(1)求證：BD平面AED；(2)求二面角FBDC的余弦值解：(1)因為四邊形ABCD是等腰

7、梯形，ABCD，DAB60，所以ADCBCD120.又CBCD，所以CDB30，因此ADB90，ADBD，又AEBD，且AEADA，AE，AD平面AED.所以BD平面AED.(2)連接AC，由(1)知ADBD，所以ACBC.又FC平面ABCD，因此CA，CB，CF兩兩垂直，以C為坐標原點，分別以CA，CB，CF所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，不妨設CB1，則C(0,0,0)，B(0,1,0)，D(，0)，F(0,0,1)，因此(，0)，(0，1,1)設平面BDF的一個法向量為m(x，y，z)，則m0，m0，所以xyz，取z1，則m(，1,1)由于(0,0,1)是平面

8、BDC的一個法向量，則cosm，所以二面角FBDC的余弦值為.12 2013浙江高考如圖，在四面體ABCD中，AD平面BCD，BCCD，AD2，BD2.M是AD的中點，P是BM的中點，點Q在線段AC上，且AQ3QC.(1)證明：PQ平面BCD；(2)若二面角CBMD的大小為60，求BDC的大小解：(1)如圖，取BD的中點O，以O為原點，OD，OP所在射線為y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標系Oxyz.由題意知A(0，2)，B(0，0)，D(0，0)設點C的坐標為(x0，y0,0)，因為3，所以Q(x0，y0，)因為M為AD的中點，故M(0，1)又P為BM的中點，故P(0,0，)，所以(x0，y0,0)又平面BCD的一個法向量為u(0,0,1)，故u0.又PQ平面BCD，所以PQ平面BCD.(2)設m(x，y，z)為平面BMC的一個法向量由(x0，y0,1)，(0,2，1)，知取y1，得m(，1,2)又平面BDM的一個法向量為n(1,0,0)，于是|cosm，n|，即23.又BCCD，所以0，故(x0，y0,0)(x0，y0,0)0，即xy2.聯(lián)立，解得(舍去)或所以tanBDC.又BDC是銳角，所以BDC60.