2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第一章 167;6 余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) Word版含答案

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1、北師大版 2019-2020 學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 核心必知 余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì) 函數(shù) ycos x 圖像 定義域 R R 值域 1,1 最值 當(dāng)x2k(kZ Z)時(shí)，ymax1； 當(dāng)x2k(kZ Z)時(shí)，ymin1 周期性 周期函數(shù)，T2 奇偶性 偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱 單調(diào)性 在2k，2k(kZ Z)上是增加的； 在2k，2k(kZ Z)上是減少的 問(wèn)題思考 1如何由ycos x，xR R 的圖像得到y(tǒng)sin x，xR R 的圖像？ 提示：只需將ycos x，xR R 的圖像向右平移2個(gè)單位即可得到y(tǒng)sin x，xR R 的圖像，并且方法不唯一 2余弦函數(shù)在第一象限內(nèi)是減函數(shù)嗎？ 提示：不

2、是余弦函數(shù)ycos x在0，2內(nèi)是減函數(shù)，但不能說(shuō)在第一象限是減函數(shù)，如390和 60都是第一象限的角， 雖然 39060， 但 cos 6012， cos 39032.卻有 cos 600， cos x22，故所求定義域?yàn)?x2k4x2k4，kZ Z . (2)6x2， 02x323. ycos x在0，上單調(diào)遞減， 12cos(2x3)1， 132cos(2x3)4， 故函數(shù)的值域?yàn)?，4 1求三角函數(shù)的定義域，應(yīng)歸結(jié)為解三角不等式，其關(guān)鍵就是建立使函數(shù)有意義的不等式(組)，利用三角函數(shù)的圖像直觀地求得解集 2求三角函數(shù)的值域，要充分利用 sin x和 cos x的有界性，對(duì)于x有限制范圍

3、的，可結(jié)合圖像求值域 練一練 2. 求函數(shù)y3cos2x4cos x1，x3，23的最值 解：y3cos2x4cos x13(cos x23)213. x3，23，cos x12，12， 從而當(dāng) cos x12，即x23時(shí)，ymax154； 當(dāng) cos x12，即x3時(shí)，ymin14. 函數(shù)在區(qū)間3，23上的最大值為154，最小值為14. 講一講 3(1)判斷函數(shù)f(x)cos(x)xcos(2x)的奇偶性 (2)求函數(shù)ycos(6x)的單調(diào)減區(qū)間 嘗試解答 (1)f(x)cos(x)xcos(2x) cos xxsin x， f(x)cos(x)(x)sin(x) cos xxsin xf(

4、x) 函數(shù)f(x)是偶函數(shù) (2)ycos(6x)cos(x6)， 令 2kx62k(kZ Z)， 得62kx762k(kZ Z) 函數(shù)ycos6x的單調(diào)減區(qū)間是 62k，762kkZ Z. 1判斷三角函數(shù)的奇偶性，首先要觀察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，在定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，再根據(jù)f(x)與f(x)的關(guān)系確定奇偶性 2確定三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在理解基本三角函數(shù)的單調(diào)性的前提下，運(yùn)用整體代換的思想求解 練一練 3比較下列各組值的大小 (1)cos78與 cos 76； (2)sin 194與 cos 160. 解：(1)cos78 cos 78 cos8 cos 8. 而 cos 76cos

5、 6 086cos 6. cos78cos 76. (2)sin 194sin(18014) sin 14cos 76， cos 160cos(18020) cos 20. 02076cos 76， cos 20cos 160. 函數(shù)y2cos x(0 x2)的圖像和直線y2 圍成一個(gè)封閉的平面圖形，則這個(gè)封閉圖形的面積是( ) A4 B8 C2 D4 解析 法一： 作出函數(shù)y2cos x，x0，2的圖像，函數(shù)y2cos x，x0，2的圖像與直線y2 圍成的平面圖形，如圖(1)所示的陰影部分 利用圖像的對(duì)稱性可知該平面圖形的面積等于矩形OABC的面積， 又|OA|2，|OC|2， S平面圖形S

6、矩形OABC224. 法二： 利用余弦曲線的特點(diǎn)，該平面圖形的面積等于三角形ABC的面積(如圖(2) |AC|2，B到AC距離等于 4. S平面圖形SABC 12244. 法三：利用余弦曲線的特點(diǎn)，該平面圖形的面積等于矩形ABCD的面積(如圖(3) |AB|，|AD|4. S平面圖形S矩形ABCD4. 答案 D 1函數(shù)y2cos x1 的最大值、最小值分別是( ) A2，2 B1，3 C1，1 D2，1 解析：選 B 1cos x122cos x2， 32cos x11， 最大值為 1，最小值為3. 2函數(shù)ycos x在區(qū)間，上是( ) A增加的 B減少的 C先增加后減少 D先減少后增加 解析

7、：選 D 作出ycos x的圖像可得選項(xiàng) D 正確 3函數(shù)ysin x和ycos x都是減少的區(qū)間是( ) A.2k2，2k (kZ Z) B.2k，2k2(kZ Z) C.2k2，2k (kZ Z) D.2k，2k2(kZ Z) 解析：選 C 在同一坐標(biāo)系中作出ysin x和ycos x的圖像，由圖像可知在2k2，2k 上，ysin x和ycos x都是減少的 4函數(shù)ycos x1cos x的定義域是_ 解析：由 1cos x0 得 cos x1 x2k，kZ Z 定義域是x|x2k，kZ Z . 答案： x|x2k，kZ Z 5當(dāng)x0，2時(shí)，方程 sin xcos x的解集是_ 解析： 在

8、同一坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出ysin x和ycos x，x0， 2的圖像， 如圖， 可得x4或x54. 答案： 4，54 6比較 cos235與 cos174的大小 解：cos235cos235cos35. cos174cos174cos4. 因?yàn)?0435cos35 即 cos235cos174. 一、選擇題 1下列對(duì)ycos x的圖像描述錯(cuò)誤的是( ) A在0，2和4，6上的圖像形狀相同，只是位置不同 B介于直線y1 與直線y1 之間 C關(guān)于x軸對(duì)稱 D與y軸僅有一個(gè)交點(diǎn) 答案：C 2函數(shù)y|cos x|的一個(gè)單調(diào)減區(qū)間是( ) A.4，4 B.4，34 C.，32 D.32，2 解析：選 C 作出函

9、數(shù)y|cos x|的圖像如圖所示，由圖像 可知，A、B 都不是單調(diào)區(qū)間，D 是單調(diào)增區(qū)間，C 是單調(diào)減區(qū)間 3函數(shù)ycos(x6)，x0，2的值域是( ) A(32，12 B.12，32 C.32，1 D.12，1 解析：選 B 0 x2， 6x623， ycosx在0，上為減函數(shù) 12cos(x6)32. 4設(shè)方程 cos 2x1 的解集為M，方程 sin 4x0 的解集為P，則M與P的關(guān)系為( ) AMP BMP CMP DMP 解析：選 A 由 cos 2x1 得 2x2k(kZ Z)，即xk(kZ Z)；由 sin 4x0 得 4xk(kZ Z)，即xk4(kZ Z) MP. 二、填空

10、題 5函數(shù)yxcos x的奇偶性是_ 解析：f(x)xcos(x)xcos xf(x)， 此函數(shù)是奇函數(shù) 答案：奇函數(shù) 6比較大?。簊in 35_cos 5. 解析：sin 35sin(25)sin 25sin(210)cos 10， 0105cos5， 即 sin 35cos 5. 答案： 7方程x2cos x的解的個(gè)數(shù)是_ 解析：在同一坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)ycos x與yx2的圖像(如圖)，可知有兩個(gè)交點(diǎn) 答案：2 8函數(shù)y11cos x的值域是_ 解析：01cos x2. 11cos x12. 函數(shù)的值域?yàn)?2， . 答案：12， 三、解答題 9求函數(shù)ycos(3x4)的單調(diào)減區(qū)間 解：由 2k3x42k，kZ Z， 得 2k43x2k54，kZ Z， 2k312x2k3512，kZ Z. 單調(diào)遞減區(qū)間是2k312，2k3512(kZ Z) 10求函數(shù)ycos2xcos x1 的最大、最小值及使y取最值的x的集合 解：令tcos x，則t1，1 yt2t1，對(duì)稱軸t12. 當(dāng)t12，即xx|x232k，kZ Z時(shí)，ymin34. 當(dāng)t1，即xx|x2k，kZ Z時(shí)，ymax3.