G03高中數(shù)學(xué)一年級單元備課策略示例：高中數(shù)學(xué)必修1第二章3拓展資源2延長天文學(xué)家壽命的發(fā)現(xiàn)——納皮爾發(fā)現(xiàn)

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1、延長天文學(xué)家壽命的發(fā)現(xiàn)——納皮爾發(fā)現(xiàn)對數(shù) 自古以來， 人們的日常生活和所從事的許多領(lǐng)域， 都離不開數(shù)值計(jì)算， 并且 隨著人類社會的進(jìn)步， 對計(jì)算的速度和精確程度的需要愈來愈高， 這就促進(jìn)了計(jì) 算技術(shù)的不斷發(fā)展． 印度阿拉伯記數(shù)法、 十進(jìn)小數(shù)和對數(shù)是文藝復(fù)興時期計(jì)算技 術(shù)的三大發(fā)明，它們是近代數(shù)學(xué)得以產(chǎn)生和發(fā)展的重要條件．其中對數(shù)的發(fā)現(xiàn)， 曾被 18 世紀(jì)法國大數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯評價為“用縮短計(jì)算時間延長了 天文學(xué)家的壽命”． 對數(shù)思想的萌芽 對數(shù)的基本思想可以追溯到古希臘時代． 早在公元前 500年， 阿基米德就研 究過幾個 10 的連乘積與 10 的個數(shù)之間的關(guān)系，

2、用現(xiàn)在的表達(dá)形式來說， 就是研 究了這樣兩個數(shù)列：1, 10, 102, 103, 104, 105,……；0, 1, 2, 3, 4, 5,…… 他發(fā)現(xiàn)了它們之間有某種對應(yīng)關(guān)系． 利用這種對應(yīng)可以用第二個數(shù)列的加減 關(guān)系來代替第一個數(shù)列的乘除關(guān)系． 阿基米德雖然發(fā)現(xiàn)了這一規(guī)律， 但他卻沒有 把這項(xiàng)工作繼續(xù)下去，失去了對數(shù)破土而出的機(jī)會． 2000 年后，一位德國數(shù)學(xué)家對對數(shù)的產(chǎn)生作出了實(shí)質(zhì)性貢獻(xiàn)，他就是史蒂 非． 1514年，史蒂非重新研究了阿基米德的發(fā)現(xiàn)，他寫出兩個數(shù)列： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1……；1 2 4 8 16 32 64 128 25

3、6 512 1024 2048 …… 他發(fā)現(xiàn)， 上一排數(shù)之間的加、 減運(yùn)算結(jié)果與下一排數(shù)之間的乘、 除運(yùn)算結(jié)果 有一種對應(yīng)關(guān)系，例如，上一排中的兩個數(shù) 2、 5 之和為 7，下一排對應(yīng)的兩個 數(shù) 4、 32 之積 128 正好就是 2 的 7 次方．實(shí)際上，用后來的話說，下一列數(shù)以 2 為底的對數(shù)就是上一列數(shù)，并且史蒂非還知道，下一列數(shù)的乘法、除法運(yùn)算，可 以轉(zhuǎn)化為上一列數(shù)的加法、減法運(yùn)算.例如， 23X 2 5-3+5,等等. 就在史蒂非悉心研究這一發(fā)現(xiàn)的時候， 他遇到了困難． 由于當(dāng)時指數(shù)概念尚 未完善，分?jǐn)?shù)指數(shù)還沒有認(rèn)識，面對像 17X63, 1025+ 33等情況就感到束

4、手無 策了．在這種情況下，史蒂非無法繼續(xù)深入研究下去，只好停止了這一工作．但 他的發(fā)現(xiàn)為對數(shù)的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)． 納皮爾的功績 15、 16 世紀(jì)，天文學(xué)得到了較快的發(fā)展．為了計(jì)算星球的軌道和研究星球 之間的位置關(guān)系，需要對很多的數(shù)據(jù)進(jìn)行乘、除、乘方和開方運(yùn)算．由于數(shù)字太 大， 為了得到一個結(jié)果， 常常需要運(yùn)算幾個月的時間． 繁難的計(jì)算苦惱著科學(xué)家， 能否找到一種簡便的計(jì)算方法？數(shù)學(xué)家們在探索、 在思考． 如果能用簡單的加減 運(yùn)算來代替復(fù)雜的乘除運(yùn)算那就太好了！ 這一夢想終于被英國數(shù)學(xué)家納皮爾實(shí)現(xiàn) 了． 納皮爾于 1550 年生于蘇格蘭的愛丁堡． 他家是蘇格蘭的貴族， 他 13

5、 歲入圣 安德盧斯大學(xué)學(xué)習(xí)，后來留學(xué)歐洲， 1571 年回到家鄉(xiāng)．納皮爾是一位地主，他 曾在自己的田地里進(jìn)行肥料施肥試驗(yàn)，研究過飼料的配合，還設(shè)計(jì)制造過抽水 機(jī)．他的興趣十分廣泛，一方面熱衷于政治和宗教斗爭，一方面投身于數(shù)學(xué)研 究．他在球面三角學(xué)的研究中有一系列突出的成果． 納皮爾研究對數(shù)的最初目的， 就是為了簡化天文問題的球面三角的計(jì)算， 他 也是受了等比數(shù)列的項(xiàng)和等差數(shù)列的項(xiàng)之間的對應(yīng)關(guān)系的啟發(fā)． 納皮爾在兩組數(shù) 中建立了這樣一種對應(yīng)關(guān)系： 當(dāng)?shù)谝唤M數(shù)按等差數(shù)列增加時， 第二組數(shù)按等比數(shù) 列減少． 于是， 后一組數(shù)中每兩個數(shù)之間的乘積關(guān)系與前一組數(shù)中對應(yīng)的兩個數(shù) 的和，

6、建立起了一種簡單的關(guān)系， 從而可以將乘法歸結(jié)為加法運(yùn)算． 在此基礎(chǔ)上， 納皮爾借助運(yùn)動概念與連續(xù)的幾何量的結(jié)合繼續(xù)研究． 納皮爾畫了兩條線段，設(shè) AB是一條定線段，CD^給定的射線，令點(diǎn)P從A 出發(fā)，沿AB變速運(yùn)動，速度跟它與B的距離成比例地遞減.同時，令點(diǎn) Q從C 出發(fā)，沿CD作勻速運(yùn)動，速度等于P出發(fā)時的值，納皮爾發(fā)現(xiàn)此時P、Q運(yùn)動距 離有種對應(yīng)關(guān)系，他就把可變動的距離 CQ稱為距離PB的對數(shù). 當(dāng)時， 還沒有完善的指數(shù)概念， 也沒有指數(shù)符號， 因而實(shí)際上也沒有“底” 的概念，他把對數(shù)稱為人造的數(shù)．對數(shù)這個詞是納皮爾創(chuàng)造的，原意為“比的 數(shù)”． 他研究對數(shù)用了 20 多年時間，

7、1614 年，他出版了名為《奇妙的對數(shù)定 理說明書》的著作，發(fā)表了他關(guān)于對數(shù)的討論，并包含了一個正弦對數(shù)表． 有趣的是同一時刻瑞士的一個鐘表匠比爾吉也獨(dú)立發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，他用了 8 年時間編出了世界上最早的對數(shù)表，但他長期不發(fā)表它．直到 1620 年，在開普 勒的懇求下才發(fā)表出來，這時納皮爾的對數(shù)已聞名全歐洲了． 對數(shù)的完善 納皮爾的對數(shù)著作引起了廣泛的注意，倫敦的一位數(shù)學(xué)家布里格斯于 1616 年專程到愛丁堡看望納皮爾， 建議把對數(shù)作一些改進(jìn)， 使 1 的對數(shù)為 0， 10 的對 數(shù)為 1 等等，這樣計(jì)算起來更簡便，也將更為有用．次年納皮爾去世，布里格斯 獨(dú)立完成了這一改進(jìn)，就產(chǎn)

8、生了使用至今的常用對數(shù)． 1617 年，布里格斯發(fā)表 了第一張常用對數(shù)表． 1620年，哥萊斯哈姆學(xué)院教授甘特試作了對數(shù)尺． 當(dāng)時，人們并沒有把對數(shù)定義為冪指數(shù)，直到 17 世紀(jì)末才有人認(rèn)識到對數(shù) 可以這樣來定義． 1742 年，威廉斯把對數(shù)定義為指數(shù)并進(jìn)行系統(tǒng)敘述．現(xiàn)在人 們定義對數(shù)時， 都借助于指數(shù)， 并由指數(shù)的運(yùn)算法則推導(dǎo)出對數(shù)運(yùn)算法則． 可在 數(shù)學(xué)發(fā)展史上，對數(shù)的發(fā)現(xiàn)卻早于指數(shù)，這是數(shù)學(xué)史上的珍聞． 解析幾何與微積分出現(xiàn)以后， 人們在研究曲線下的面積時， 發(fā)現(xiàn)了面積與對 數(shù)的聯(lián)系.比如，圣文森特的格雷果里在研究雙曲線 xy = 1下的面積時，發(fā)現(xiàn)面 積函數(shù)很像一個對數(shù)，

9、 后來他的學(xué)生沙拉薩第一個把面積解釋為對數(shù)． 但當(dāng)時并 沒有認(rèn)識到對數(shù)和雙曲線下面積之間的確切關(guān)系， 更沒有認(rèn)識到自然對數(shù)就是以 e 為底的對數(shù)． 后來，牛頓也研究過此類問題．歐拉在 1748 年引入了以 a 為底的 x 的對數(shù) log ax這一表示形式，以作為滿足 ay=x的指數(shù)y,并對指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)作了 深入研究．而復(fù)變函數(shù)的建立，使人們對對數(shù)有了更徹底的了解． 天文學(xué)家的欣喜 對數(shù)的出現(xiàn)引起了很大的反響， 不到一個世紀(jì)， 幾乎傳遍世界， 成為不可缺 少的計(jì)算工具． 其簡便算法， 對當(dāng)時的世界貿(mào)易和天文學(xué)中大量繁難計(jì)算的簡化， 起了重要作用，尤其是天文學(xué)家?guī)缀跏且钥裣?/p>

10、的心情來接受這一發(fā)現(xiàn)的． 1648 年，波蘭傳教士穆尼閣把對數(shù)傳到中國． 在計(jì)算機(jī)出現(xiàn)以前， 對數(shù)是十分重要的簡便計(jì)算技術(shù)， 曾得到廣泛的應(yīng)用． 對 數(shù)計(jì)算尺幾乎成了工程技術(shù)人員、科研工作者離不了的計(jì)算工具．直到 20 世紀(jì) 發(fā)明了計(jì)算機(jī)后，對數(shù)的作用才為之所替代．但是，經(jīng)過幾代數(shù)學(xué)家的耕耘，對 數(shù)的意義不再僅僅是一種計(jì)算技術(shù)， 而且找到了它與許多數(shù)學(xué)領(lǐng)域之間千絲萬縷 的聯(lián)系，對數(shù)作為數(shù)學(xué)的一個基礎(chǔ)內(nèi)容，表現(xiàn)出極其廣泛的應(yīng)用． 1971 年，尼加拉瓜發(fā)行了一套郵票，尊崇世界上“十個最重要的數(shù)學(xué)公 式”． 每張郵票以顯著位置標(biāo)出一個公式并配以例證， 其反面還用西班牙文對公 式的重要性作簡短說明．有一張郵票是顯示納皮爾發(fā)現(xiàn)的對數(shù)． 對數(shù)、解析幾何和微積分被公認(rèn)是 17 世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大重要成就，恩格斯贊 譽(yù)它們是“最重要的數(shù)學(xué)方法”．伽利略甚至說：“給我空間、時間及對數(shù)，我 即可創(chuàng)造一個宇宙．”