高考數(shù)學文科一輪總復習 第十一篇 概率

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1、 精品資料 第1講　隨機事件的概率 知 識 梳 理 1．隨機事件和確定事件 (1)在一定條件下，必然會發(fā)生的事件叫做必然事件． (2)在一定條件下，肯定不會發(fā)生的事件叫做不可能事件． (3)必然事件與不可能事件統(tǒng)稱為確定事件． (4)在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件． 2．頻率與概率 (1)在相同的條件下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)，稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)＝為事件A出現(xiàn)的頻率． (2)對于給定的隨機事件A，在相同條件下，隨

2、著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P(A)，稱為事件A的概率，簡稱為A的概率． 3．互斥事件與對立事件 (1)互斥事件：在任何一次試驗中不能同時發(fā)生的兩個事件．若事件A與事件B互斥，則P(A＋B)＝P(A)＋P(B)． (2)對立事件：如果兩個互斥事件必有一個發(fā)生，則這兩個事件為對立事件．若事件A與B對立，則P(A)＝1－P(B)． 辨 析 感 悟 1．對隨機事件概念的理解 (1)“物體在只受重力的作用下會自由下落”是必然事件．(√) (2)“方程x2＋2x＋8＝0有兩個實根”是不可能事件．(√) (3)(2014廣州調(diào)研C項)“下周六

3、會下雨”是隨機事件．(√) 2．對互斥事件與對立事件的理解 (4)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(√) (5)(2014鄭州調(diào)研B項)從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花點數(shù)從1～10各10張)中，任取一張，“抽取黑桃”與“抽取方塊”是對立事件．() 3．對頻率與概率的理解 (6)(教材練習改編)在大量重復試驗中，概率是頻率的穩(wěn)定值．(√) (7)(2013江西卷改編)集合A＝{2,3}，B＝{1,2,3}，從A，B中各任意取一個數(shù)，則這兩數(shù)之和等于4的概率為.(√) (8)(2014臨沂調(diào)研改編)甲、乙二人下棋，甲獲勝的概率是0.3，甲不輸?shù)母怕蕿?.8，

4、則甲、乙二人下成和棋的概率為0.5.(√)[感悟提升] 兩個區(qū)別　一是“互斥事件”與“對立事件”的區(qū)別：對立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件．如(5)中為互斥事件． 二是“頻率”與“概率”：頻率與概率有本質(zhì)的區(qū)別，不可混為一談．頻率隨著試驗次數(shù)的改變而變化，概率卻是一個常數(shù)，它是頻率的科學抽象．當試驗次數(shù)越來越多時，頻率向概率靠近，只要次數(shù)足夠多，所得頻率就可以近似地當作隨機事件的概率． 考點一　事件的關系與運算 【例1】 一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標以數(shù)字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件A

5、表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不超過3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點數(shù)不小于4，則：①A與B是互斥而非對立事件；②A與B是對立事件；③B與C是互斥而非對立事件；④B與C是對立事件．四個結(jié)論正確的是________． 解析　根據(jù)互斥與對立的定義作答，A∩B＝{出現(xiàn)點數(shù)1或3}，事件A，B不互斥更不對立；B∩C＝?，B∪C＝Ω(Ω為必然事件)，故事件B，C是對立事件． 答案?、? 規(guī)律方法 對互斥事件要把握住不能同時發(fā)生，而對于對立事件除不能同時發(fā)生外，其并事件應為必然事件，這些也可類比集合進行理解，具體應用時，可把所有試驗結(jié)果寫出來，看所求事件包含哪些試驗結(jié)果，從而

6、斷定所給事件的關系． 【訓練1】 對飛機連續(xù)射擊兩次，每次發(fā)射一枚炮彈．設A＝{兩次都擊中飛機}，B＝{兩次都沒擊中飛機}，C＝{恰有一次擊中飛機}，D＝{至少有一次擊中飛機}，其中彼此互斥的事件是________，互為對立事件的是________． 解析　設I為對飛機連續(xù)射擊兩次所發(fā)生的所有情況，因為A∩B＝?，A∩C＝?，B∩C＝?，B∩D＝?.故A與B，A與C，B與C，B與D為彼此互斥事件，而B∩D＝?，B∪D＝I，故B與D互為對立事件． 答案　A與B，A與C，B與C，B與D　B與D 考點二　隨機事件的概率與頻率 【例2】 某小型超市發(fā)現(xiàn)每天營業(yè)額Y(單位：萬元)與當天進超市顧

7、客人數(shù)X有關．據(jù)統(tǒng)計，當X＝700時，Y＝4.6；當X每增加10，Y增加0.05.已知近20天X的值為：1 400，1 100，1 900,1 600,1 400,1 600,2 200,1 100,1 600,1 600，1 900，1 400,1 100,1 600,2 200,1 400,1 600,1 600，1 900，700. (1)完成如下的頻率分布表： 近20天每天進超市顧客人數(shù)頻率分布表 人數(shù) 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 頻率 (2)假定今天進超市顧客人數(shù)與近20天進超市顧客人數(shù)的分布規(guī)律相

8、同，并將頻率視為概率，求今天營業(yè)額低于10.6萬元高于4.6萬元的概率． 解　(1)在所給數(shù)據(jù)中，進超市顧客人數(shù)為1 100的有3個，為1 600的有7個，為1 900的有3個，為2 200的有2個．故近20天每天進超市顧客人數(shù)頻率分布表為 人數(shù) 700 1 100 1 400 1 600 1 900 2 200 頻率 (2)由已知可得Y＝4.6＋0.05＝X＋1.1， ∵4.6

9、 400)＋P(X＝1 600)＝＋＋＝＝. 即今天營業(yè)額低于10.6萬元高于4.6萬元的概率為. 規(guī)律方法 利用概率的統(tǒng)計定義求事件的概率，即通過大量的重復試驗，事件發(fā)生的頻率會逐漸趨近于某一個常數(shù)，這個常數(shù)就是概率． 【訓練2】 某市統(tǒng)計的2010～2013年新生嬰兒數(shù)及其中男嬰數(shù)(單位：人)見下表： 時間 2010年 2011年 2012年 2013年 新生嬰兒數(shù) 21 840 23 070 20 094 19 982 男嬰數(shù) 11 453 12 031 10 297 10 242 (1)試計算男嬰各年的出生頻率(精確到0.001)； (2)該市男

10、嬰出生的概率約是多少？ 解　(1)2010年男嬰出生的頻率為fn(A)＝＝≈0.524. 同理可求得2011年、2012年和2013年男嬰出生的頻率分別約為0.521,0.512,0.513. (2)由以上計算可知，各年男嬰出生的頻率在0.51～0.53之間，所以該市男嬰出生的概率約為0.52. 考點三　互斥事件、對立事件的概率 【例3】 (2014洛陽模擬)經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)相應的概率如下： 排隊人數(shù) 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 求：(1)至多2人排隊等候的概率是多

11、少？ (2)至少3人排隊等候的概率是多少？ 審題路線　(1)分別求等候人數(shù)為0人、1人、2人的概率?根據(jù)互斥事件的概率求和公式可求． (2)思路一：分別求等候人數(shù)為3人、4人、5人及5人以上的概率?根據(jù)互斥事件的概率求和公式可得． 思路二：轉(zhuǎn)化為求其對立事件的概率?根據(jù)P(A)＝1－P()可求． 解　記“無人排隊等候”為事件A，“1人排隊等候”為事件B，“2人排隊等候”為事件C，“3人排隊等候”為事件D，“4人排隊等候”為事件E，“5人及5人以上排隊等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)互斥． (1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋

12、C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. (2)法一　記“至少3人排隊等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 法二　記“至少3人排隊等候”為事件H，則其對立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44. 規(guī)律方法 求復雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算． 二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式P(A)＝1－P()，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至

13、多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便． 【訓練3】 一盒中裝有12個球，其中5個紅球，4個黑球，2個白球，1個綠球．從中隨機取出1球，求： (1)取出1球是紅球或黑球的概率； (2)取出1球是紅球或黑球或白球的概率． 解　法一　(利用互斥事件求概率)記事件A1＝{任取1球為紅球}， A2＝{任取1球為黑球}，A3＝{任取1球為白球}， A4＝{任取1球為綠球}， 則P(A1)＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，P(A4)＝. 根據(jù)題意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率公式，得 (1)取出1球為紅球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝P(A1)＋P

14、(A2)＝＋＝； (2)取出1球為紅球或黑球或白球的概率為 P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3) ＝＋＋＝. 法二　(利用對立事件求概率) (1)由法一知，取出1球為紅球或黑球的對立事件為取出1球為白球或綠球，即A1∪A2的對立事件為A3∪A4，所以取出1球為紅球或黑球的概率為 P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝. (2)因為A1∪A2∪A3的對立事件為A4，所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝. 1．對于給定的隨機事件A，由于事件A發(fā)生的頻率fn(A)隨著試驗次數(shù)的增加穩(wěn)定于概率P(A)，因此可

15、以用頻率fn(A)來估計概率P(A)． 2．從集合角度理解互斥和對立事件 從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，事件A的對立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補集．　　 　　　　　　　　　　　　　　　　 創(chuàng)新突破8——全面突破概率與其它知識的綜合問題 【典例】 (2013新課標全國Ⅱ卷)經(jīng)銷商經(jīng)銷某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個銷售季度內(nèi)，每售出1 t該產(chǎn)品獲利潤500元，未售出的產(chǎn)品，每1 t虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷售季度內(nèi)市場需求量的頻率分布直方圖，如圖所示．經(jīng)銷商為下一個銷售季度購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品．

16、以X(單位： t,100≤X≤150)表示下一個銷售季度內(nèi)的市場需求量，T(單位：元)表示下一個銷售季度內(nèi)經(jīng)銷該農(nóng)產(chǎn)品的利潤． (1)將T表示為X的函數(shù)； (2)根據(jù)直方圖估計利潤T不少于57 000元的概率； 解　(1)當X∈[100,130)時， T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000. 當X∈[130,150]時，T＝500130＝65 000. 所以T＝ (2)由(1)知利潤T不少于57 000元當且僅當120≤X≤150. 由直方圖知需求量X∈[120,150]的頻率為0.7，所以下一個銷售季度內(nèi)的利潤T不少于57 000元的概率的估計值為

17、0.7. [反思感悟] (1)本題是一道分段函數(shù)、頻率直方圖、隨機事件概率的綜合問題，解本題的關鍵所在是“購進了130 t該農(nóng)產(chǎn)品”是否全部售出．考查了考生的邏輯思維能力、數(shù)據(jù)處理能力． (2)在頻率分布直方圖中，縱軸上的數(shù)據(jù)表示“頻率組距”，不能與“頻率”混淆． (3)可以用頻率來估計概率的值． 【自主體驗】 (2013四川卷)某算法的程序框圖如圖所示，其中輸入的變量x在1,2,3，…，24這24個整數(shù)中等可能隨機產(chǎn)生． (1)分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i＝1,2,3)； (2)甲、乙兩同學依據(jù)自己對程序框圖的理解，各自編寫程序重復運行n次后

18、，統(tǒng)計記錄了輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻數(shù)．以下是甲、乙所作頻數(shù)統(tǒng)計表的部分數(shù)據(jù)． 甲的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行次數(shù)n 輸出y的值為1的頻數(shù) 輸出y的值為2的頻數(shù) 輸出y的值為3的頻數(shù) 30 14 6 10 … … … … 2 100 1 027 376 697 乙的頻數(shù)統(tǒng)計表(部分) 運行次數(shù)n 輸出y的值為1的頻數(shù) 輸出y的值為2的頻數(shù) 輸出y的值為3的頻數(shù) 30 12 11 7 … … … … 2 100 1 051 696 353 當n＝2 100時，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(

19、i＝1,2,3)的頻率(用分數(shù)表示)，并判斷兩位同學中哪一位所編程序符合算法要求的可能性較大． 解　(1)變量x是在1,2,3，…，24這24個整數(shù)中隨機產(chǎn)生的一個數(shù)，共有24種可能． 當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為1，故P1＝； 當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為2，故P2＝； 當x從6,12,18,24這4個數(shù)中產(chǎn)生時，輸出y的值為3，故P3＝. 所以，輸出y的值為1的概率為，輸出y的值為2的概率為，輸出y的值為3的概率為. (2)當n＝2 100時，甲、乙所編程序各自

20、輸出y的值為i(i＝1,2,3)的頻率如下： 輸出y的值為1的頻率 輸出y的值為2的頻率 輸出y的值為3的頻率 甲 乙 比較頻率趨勢與概率，可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．若在同等條件下進行n次重復試驗得到某個事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，下面4種說法：①f(n)與某個常數(shù)相等；②f(n)與某個常數(shù)的差逐漸減??；③f(n)與某個常數(shù)差的絕對值逐漸減??；④f(n)在某個常數(shù)附近擺動并趨于穩(wěn)定，其中正確的是________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

21、 解析　隨著n的增大，頻率f(n)會在概率附近擺動并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關系． 答案?、? 2．(2014南京一中月考)盒中裝有形狀、大小完全相同的5個球，其中紅色球3個，黃色球2個，若從中隨機取出2個球，則所取出的2個球顏色不同的概率等于________． 解析　3個紅球記為A1，A2，A3,2個黃球記為B1，B2則基本事件為A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2共10種．所取2個球顏色不同的事件為A1B1，A1B2，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2共6種． ∴所求概率為＝. 答案　 3．從某班學生中任意找

22、出一人，如果該同學的身高小于160 cm的概率為0.2，該同學的身高在[160,175](單位：cm)內(nèi)的概率為0.5，那么該同學的身高超過175 cm的概率為________． 解析　由題意知該同學的身高超過175 cm的概率為1－0.2－0.5＝0.3. 答案　0.3 4．(2014鄭州模擬)拋擲一粒骰子，觀察擲出的點數(shù)，設事件A為出現(xiàn)奇數(shù)點，事件B為出現(xiàn)2點，已知P(A)＝，P(B)＝，則出現(xiàn)奇數(shù)點或2點的概率為________． 解析　因為事件A與事件B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝. 答案　 5．從一副混合后的撲克牌(52張)中，隨機抽取1張，事件

23、A為“抽得紅桃K”，事件B為“抽得黑桃”，則概率P(A∪B)＝________(結(jié)果用最簡分數(shù)表示)． 解析　∵P(A)＝，P(B)＝， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝. 答案　 6．(2014沈陽模擬)從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球，則所取的3個球中至少有1個白球的概率是________． 解析　從裝有3個紅球、2個白球的袋中任取3個球通過列舉知共有10個基本事件；所取的3個球中至少有1個白球的反面為“3個球均為紅色”，有1個基本事件，所以所取的3個球中至少有1個白球的概率是1－＝. 答案　 7．(2013陜西卷)對一批產(chǎn)品的長度(單位：毫米)進行抽樣檢測

24、，下圖為檢測結(jié)果的頻率分布直方圖．根據(jù)標準，產(chǎn)品長度在區(qū)間[20,25)上為一等品，在區(qū)間[15,20)和[25,30)上為二等品，在區(qū)間[10,15)和[30,35]上為三等品．用頻率估計概率，現(xiàn)從該批產(chǎn)品中隨機抽取1件，則其為二等品的概率是________． 解析　由頻率分布直方圖可知，一等品的頻率為0.065＝0.3，三等品的頻率為0.025＋0.035＝0.25，所以二等品的頻率為1－(0.3＋0.25)＝0.45.用頻率估計概率可得其為二等品的概率為0.45. 答案　0.45 8．(2014無錫模擬)某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級，其中乙、丙兩級均屬次品．若生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級品的概率為

25、0.03，丙級品的概率為0.01，則對成品抽查一件抽得正品的概率為________． 解析　記“生產(chǎn)中出現(xiàn)甲級品、乙級品、丙級品”分別為事件A，B，C.則A，B，C彼此互斥，由題意可得P(B)＝0.03，P(C)＝0.01，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－P(B)－P(C)＝1－0.03－0.01＝0.96. 答案　0.96 二、解答題 9．袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球，從中任取一球，得到紅球的概率是，黑球或黃球的概率是，綠球或黃球的概率也是，求從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是多少？ 解　從袋中任取一球，記事件“得到紅球”“得到黑球”“得到黃球”“

26、得到綠球”分別為A、B、C、D，則事件A、B、C、D彼此互斥，所以有 P(B＋C)＝P(B)＋P(C)＝， P(D＋C)＝P(D)＋P(C)＝，P(B＋C＋D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝，解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝. 故從中任取一球，得到黑球、黃球和綠球的概率分別是，，. 10．某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標值衡量，質(zhì)量指標值越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品．現(xiàn)用兩種新配方(分別稱為A配方和B配方)做試驗，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值，得到下面試驗結(jié)果： A配方的頻數(shù)分布表 指標值分組 [90

27、,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 B配方的頻數(shù)分布表 指標值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (1)分別估計用A配方，B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率； (2)已知用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤y(單位：元)與其質(zhì)量指標值t的關系式為y＝估計用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率，并求用B配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤． 解　(1)由試驗結(jié)果知，用A配方生產(chǎn)的

28、產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.3，所以用A配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.3. 由試驗結(jié)果知，用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為＝0.42，所以用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計值為0.42. (2)由條件知，用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0，當且僅當其質(zhì)量指標值t≥94，由試驗結(jié)果知，質(zhì)量指標值t≥94的頻率為0.96.所以用B配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率估計值為0.96.用B配方生產(chǎn)的產(chǎn)品平均一件的利潤為[4(－2)＋542＋424]＝2.68(元)． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．(2014大連模擬)某城市2013年的空氣質(zhì)量狀況如下表：

29、 污染指數(shù)T 30 60 100 110 130 140 概率P 其中污染指數(shù)T≤50時，空氣質(zhì)量為優(yōu)；50＜T≤100時，空氣質(zhì)量為良；100＜T≤150時，空氣質(zhì)量為輕微污染，則該城市2013年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為________． 解析　由題意可知2013年空氣質(zhì)量達到良或優(yōu)的概率為P＝＋＋＝. 答案　 2．一只袋子中裝有7個紅玻璃球，3個綠玻璃球，從中無放回地任意抽取兩次，每次只取一個，取得兩個紅球的概率為，取得兩個綠球的概率為，則取得兩個同顏色的球的概率為________；至少取得一個紅球的概率為________． 解析　(1)由

30、于“取得兩個紅球”與“取得兩個綠球”是互斥事件，取得兩個同色球，只需兩互斥事件有一個發(fā)生即可，因而取得兩個同色球的概率為P＝＋＝. (2)由于事件A“至少取得一個紅球”與事件B“取得兩個綠球”是對立事件，則至少取得一個紅球的概率為P(A)＝1－P(B)＝1－＝. 答案　　 3．某中學部分學生參加全國高中數(shù)學競賽取得了優(yōu)異成績，指導老師統(tǒng)計了所有參賽同學的成績(成績都為整數(shù)，試題滿分120分)，并且繪制了條形統(tǒng)計圖(如下圖所示)，則該中學參加本次數(shù)學競賽的人數(shù)為________，如果90分以上(含90分)獲獎，那么獲獎的概率大約是________． 解析　由題圖可知，參加本次競賽的人

31、數(shù)為4＋6＋8＋7＋5＋2＝32；90分以上的人數(shù)為7＋5＋2＝14，所以獲獎的頻率為＝0.437 5，即本次競賽獲獎的概率大約是0.437 5. 答案　32　0.437 5 二、解答題 4.如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機抽取100位從A地到達火車站的人進行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下： 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 選擇L1的人數(shù) 6 12 18 12 12 選擇L2的人數(shù) 0 4 16 16 4 (1)試估計40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率； (2)分別求通過路徑L1和L2所用時間落在上表

32、中各時間段內(nèi)的頻率； (3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時間內(nèi)趕到火車站，試通過計算說明，他們應如何選擇各自的路徑． 解　(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)， ∴用頻率估計相應的概率為0.44. (2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為： 所用時間/分鐘 10～20 20～30 30～40 40～50 50～60 L1的頻率 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 L2的頻率 0 0.1 0.4 0.4 0.1 (

33、3)設A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時，在50分鐘內(nèi)趕到火車站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)＞P(A2)，∴甲應選擇L1； 同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8， P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)，∴乙應選擇L2. 第2講　古典概型 知 識 梳 理 1．古典概型 (1)我們把具有：①試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；②每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等，以上兩個特點的概率模型稱

34、為古典概率模型，簡稱古典模型． (2)古典概率模型的概率求法 如果一次試驗中基本事件共有n個，那么每一個基本事件發(fā)生的概率都是，如果某個事件A包含了其中的m個基本事件，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝. 2．古典概型的概率公式 P(A)＝. 辨 析 感 悟 1．古典概型的意義 (1)“在適宜條件下，種下一粒種子觀察它是否發(fā)芽”屬于古典概型，其基本事件是“發(fā)芽與不發(fā)芽”．() (2)擲一枚硬幣兩次，出現(xiàn)“兩個正面”“一正一反”“兩個反面”，這三個結(jié)果是等可能事件．() (3)(教材習題改編)有3個興趣小組，甲、乙兩位同學各自參加其中一個小組，每位同學參加各個小組的可能性相同

35、，則這兩位同學參加同一個興趣小組的概率為.(√) 2．古典概型的計算 (4)在古典概型中，如果事件A中基本事件構(gòu)成集合A，所有的基本事件構(gòu)成集合I，則事件A的概率為.(√) (5)(教材習題改編)任意投擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)和為奇數(shù)的概率為.() (6)(2013重慶卷改編)若甲、乙、丙三人隨機地站成一排，則甲、乙兩人相鄰而站的概率為.() [感悟提升] 1．一點提醒　一個試驗是否為古典概型，在于這個試驗是否具有古典概型的兩個特點——有限性和等可能性，只有同時具備這兩個特點的概型才是古典概型，如(1)、(2)． 2．一種思想　從集合的角度去看待概率，在一次試驗中，等可能出現(xiàn)的全部結(jié)

36、果組成一個集合I，基本事件的個數(shù)n就是集合I的元素個數(shù)，事件A是集合I的一個包含m個元素的子集，故P(A)＝＝，如(4)；根據(jù)古典概型概率公式計算，如(5)、(6)． 考點一　簡單古典概型的概率 【例1】 (2013新課標全國Ⅰ卷改編)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是________． 解析　從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共有6種取法．構(gòu)成“取出的2個數(shù)之差的絕對值為2”這個事件的基本事件的個數(shù)為2. 所以，所求概率P＝＝. 答案　 規(guī)律方法 列舉法列出所有基

37、本事件的個數(shù)n和所求事件包含的基本事件的個數(shù)m，利用公式P＝可求． 【訓練1】 (2013浙江卷)從3男3女共6名同學中任選2名(每名同學被選中的機會均等)，這2名都是女同學的概率等于________． 解析　設3名男同學分別為a1，a2，a3,3名女同學分別為b1，b2，b3，則從6名同學中任選2名的結(jié)果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2, b1b3，b2b3，共15種，其中都是女同學的有3種，所以概率P＝＝. 答案　 考點二　復雜古典概型的概率 【例2】 (2013遼寧卷)現(xiàn)有6道

38、題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學從中任取2道題解答．試求： (1)所取的2道題都是甲類題的概率； (2)所取的2道題不是同一類題的概率． 解　(1)將4道甲類題依次編號為1,2,3,4；2道乙類題依次編號為5,6.任取2道題，基本事件為：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的． 用A表示“都是甲類題”這一事件，則A包含的基本事件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}

39、，共6個，所以P(A)＝＝. (2)基本事件同(1)，用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個，所以P(B)＝. 規(guī)律方法 求古典概型的概率的關鍵是求試驗的基本事件的總數(shù)和事件A包含的基本事件的個數(shù)，這就需要正確列出基本事件，基本事件的表示方法有列舉法、列表法和樹形圖法，具體應用時可根據(jù)需要靈活選擇. 【訓練2】 (2014濱州一模)甲、乙兩名考生在填報志愿時都選中了A，B，C，D四所需要面試的院校，這四所院校的面試安排在同一時間．因此甲、乙都只能在這四所院校中選擇一所做志

40、愿，假設每位同學選擇各個院校是等可能的，試求： (1)甲、乙選擇同一所院校的概率； (2)院校A，B至少有一所被選擇的概率． 解　由題意可得，甲、乙都只能在這四所院校中選擇一個做志愿的所有可能結(jié)果為： (甲A，乙A)，(甲A，乙B)，(甲A，乙C)，(甲A，乙D)，(甲B，乙A)，(甲B，乙B)，(甲B，乙C)，(甲B，乙D)，(甲C，乙A)，(甲C，乙B)，(甲C，乙C)，(甲C，乙D)，(甲D，乙A)，(甲D，乙B)，(甲D，乙C)，(甲D，乙D)，共16種． (1)設“甲、乙選擇同一所院?！睘槭录﨓，則事件E包含4個基本事件，故概率P(E)＝＝. (2)設“院校A，B至少有一

41、所被選擇”為事件F，則事件F包含12個基本事件，故概率P(F)＝＝. 1．古典概型計算三步曲 第一，本試驗是否是等可能的；第二，本試驗的基本事件有多少個；第三，事件A是什么，它包含的基本事物有多少個． 2．確定基本事件的方法 列舉法、列表法、樹形圖法．　　 　　　　　　　 答題模板12——古典概型的概率求解 【典例】 (12分)(2013山東卷)某小組共有A，B，C，D，E五位同學，他們的身高(單位：米)及體重指標(單位：千克/米2)如下表所示： A B C D E 身高 1.69 1.73 1.75 1.79 1.82 體重指標 19.2 2

42、5.1 18.5 23.3 20.9 (1)從該小組身高低于1.80的同學中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率； (2)從該小組同學中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的概率． [規(guī)范解答]　(1)從身高低于1.80的同學中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6個．(3分) 由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．選到的2人身高都在1.78以下的事件有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3個．因此選到的2人身高都在1

43、.78以下的概率為P＝＝.(6分) (2)從該小組同學中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)，共10個．(9分) 由于每個人被選到的機會均等，因此這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．選到的2人身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5,23.9)中的事件有(C，D)，(C，E)，(D，E)，共3個． 因此選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標都在[18.5，23.9)中的概率為P1＝.(12分) [反思感悟] (1)列舉基本事件時要分清兩個問題： ①是否有順序

44、，有序的和無序的是有區(qū)別的； ②是否允許重復，如在取球問題中無放回地取球就是元素不允許重復，有放回地取球就是元素允許重復． (2)本題易錯點就是列舉事件的個數(shù)易出錯． 【自主體驗】 (2014棗莊一模)有編號為A1，A2，A3，A4，A5，A6的6位同學，進行100米賽跑，得到下面的成績： 編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 成績(秒) 12.2 12.4 11.8 12.6 11.8 13.3 其中成績在13秒內(nèi)的同學記為優(yōu)秀． (1)從上述6名同學中，隨機抽取一名，求這名同學成績優(yōu)秀的概率； (2)從成績優(yōu)秀的同學中，隨機抽取2名，用同學

45、的編號列出所有可能的抽取結(jié)果，并求這2名同學的成績都在12.3秒內(nèi)的概率． 解　(1)由所給成績可知，優(yōu)秀同學共有5名．設“從6名同學中，隨機抽取一名為優(yōu)秀”為事件A，則P(A)＝. (2)成績優(yōu)秀同學的編號為A1，A2，A3，A4，A5，從這5名同學中隨機抽取2名，所有可能的結(jié)果為： {A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A4，A5}，共有10種． 設“這2名同學的成績都在12.3秒內(nèi)”為事件B，則B中所有可能結(jié)果為{A1，A3}，{A1，A5}，{A3，A5}，共有3種．所以

46、P(B)＝. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、填空題 1．一枚硬幣連擲2次，恰有一次正面朝上的概率為______． 解析　一枚硬幣連擲2次，基本事件有(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，而只有一次出現(xiàn)正面的基本事件有(正，反)，(反，正)，故其概率為＝. 答案　 2．(2013新課標全國Ⅱ卷)從1,2,3,4,5中任意取出兩個不同的數(shù)，其和為5的概率是________． 解析　任取兩個不同的數(shù)的情況有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，其中和為5的有2種，所

47、以所求概率為＝. 答案　 3．(2014金華模擬)從1,2,3,4,5,6六個數(shù)中任取2個數(shù)，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率是________． 解析　取出的兩個數(shù)是連續(xù)自然數(shù)有5種情況，則取出的兩個數(shù)不是連續(xù)自然數(shù)的概率P＝1－＝. 答案　 4．(2014鹽城一模)從{1,2,3,4,5}中隨機選取一個數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機選取一個數(shù)為b，則b＞a的概率是________． 解析　基本事件的個數(shù)有15種，其中滿足b＞a的有3種，所以b＞a的概率為＝. 答案　 5．(2012安徽卷改編)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球、2個白球和3個黑球，從袋中任

48、取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于________． 解析　1個紅球，2個白球和3個黑球分別記為a1，b1，b2，c1，c2，c3.從袋中任取兩球有(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a1，c2)，(a1，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15種；滿足兩球顏色為一白一黑的有6種，概率等于＝. 答案　 6．一根繩子長為6米，繩子上有5個節(jié)點將繩子6等分，現(xiàn)從5個節(jié)點中隨機選一個將繩子剪斷，則所得的兩段繩長均不小于2米的概率為________

49、． 解析　隨機選一個節(jié)點將繩子剪斷共有5種情況，分別為(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)．滿足兩段繩長均不小于2米的為(2,4)，(3,3)，(4,2)，共3種情況．所以所求概率為. 答案　 7．(2013安徽卷)若某公司從五位大學畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為________． 解析　記事件A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種可能，而

50、A的對立事件僅有(丙，丁，戊)一種可能，∴A的對立事件的概率為P()＝，∴P(A)＝1－P()＝. 答案　 8．從長度分別為2,3,4,5的四條線段中任意取出三條，則以這三條線段為邊可以構(gòu)成三角形的概率是________． 解析　從四條線段中任取三條有4種取法：(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中能構(gòu)成三角形的取法有3種：(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)，故所求的概率為. 答案　 二、解答題 9．(2013天津卷)某產(chǎn)品的三個質(zhì)量指標分別為x，y，z，用綜合指標S＝x＋y＋z評價該產(chǎn)品的等級．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中

51、，隨機抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標列表如下： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 質(zhì)量指標(x，y，z) (1,1,2) (2,1,1) (2,2,2) (1,1,1) (1,2,1) 產(chǎn)品編號 A6 A7 A8 A9 A10 質(zhì)量指標(x，y，z) (1,2,2) (2,1,1) (2,2,1) (1,1,1) (2,1,2) (1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計該批產(chǎn)品的一等品率； (2)在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品． ①用產(chǎn)品編號列出所有可能的結(jié)果； ②設事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的

52、綜合指標S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率． 解　(1)計算10件產(chǎn)品的綜合指標S，如下表： 產(chǎn)品編號 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 S 4 4 6 3 4 5 4 5 3 5 其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為＝0.6，從而可估計該批產(chǎn)品的一等品率為0.6. (2)①在該樣本的一等品中，隨機抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A

53、5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種． ②在該樣本的一等品中，綜合指標S等于4的產(chǎn)品編號分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝＝. 10．現(xiàn)有8名奧運會志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通曉日語，B1，B2，B3通曉俄語，C1，C2通曉韓語．從中選出通曉日語、俄語和韓語的志愿者各1名，組成一個小組． (1)求A1被選中的概率； (2)求B1和C1不全被選中的概率． 解　(1)從8人中選出日語

54、、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件共18個： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)． 由18個基本事件組成．由于每一個基本事件被抽取的機會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“A1恰被選中”這一事件，

55、則包含的結(jié)果為： (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2) 事件M由6個基本事件組成， 因而P(M)＝＝. (2)用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于包含(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)3個結(jié)果，事件有3個基本事件組成，所以P()＝＝，由對立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝. 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 一、填空題 1．在長方體ABCDA1B1C1D1的八個頂點任兩點連線中，

56、隨機取一直線，則該直線與平面AB1D1平行的概率為________． 解析　畫出該長方體的直觀圖，可知與平面AB1D1平行的直線有BD，BC1，DC1，故該直線與平面AB1D1平行的概率為P＝＝. 答案　 2．(2014麗水一模)設集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分別從集合A和B中隨機取一個數(shù)a和b，確定平面上的一個點P(a，b)，記“點P(a，b)落在直線x＋y＝n上”為事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為________． 解析　分別從集合A和B中隨機取出一個數(shù)，確定平面上的一個點P(a，b)，則有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2

57、,1)，(2,2)，(2,3)，共6種情況，a＋b＝2的有1種情況，a＋b＝3的有2種情況，a＋b＝4的有2種情況，a＋b＝5的有1種情況，所以可知若事件Cn的概率最大，則n的所有可能值為3和4. 答案　3和4 3．(2014南京模擬)在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________． 解析　由題意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6個，在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部的點有(2,1)，(2,2)，所以概率為＝. 答案　 二、

58、解答題 4．一汽車廠生產(chǎn)A，B，C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)： 轎車A 轎車B 轎車C 舒適型 100 150 z 標準型 300 450 600 按類用分層抽樣的方法在這個月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛． (1)求z的值； (2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率； (3)用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下： 9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛

59、轎車的得分看成一個總體，從中任取一個數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率． 解　(1)設該廠這個月共生產(chǎn)轎車n輛， 由題意得＝，所以n＝2 000， 則z＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)設所抽樣本中有a輛舒適型轎車， 由題意得＝，則a＝2. 因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準型轎車，用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本事件空間包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)

60、，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個． 事件E包含的基本事件有： (A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共7個． 故P(E)＝，即所求概率為. (3)樣本平均數(shù)＝(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9. 設D表示事件“從樣本中任取一個數(shù)，該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”，則基本事件空間中有8個基本事件，事件D包含的基本事件有9.4,8.6,9.2,8.7,9.3，9.0，共6個，所以P(D)＝＝，即所

61、求概率為. 第3講　幾何概型 知 識 梳 理 1．幾何概型 若隨機事件A的發(fā)生可以視為恰好取到區(qū)域D內(nèi)的某個指定區(qū)域d中的點，這時，事件A發(fā)生的概率與d的測度(長度、面積、體積等)成正比，與d的形狀和位置無關，則稱這樣的概率模型為幾何概型． 2．幾何概型的兩個特點 幾何概型的兩個特點：一是無限性，即在一次試驗中，基本事件的個數(shù)可以是無限的；二是等可能性，即每一個基本事件發(fā)生的可能性是均等的． 3．幾何概型的概率計算公式 在幾何概型中，事件A的概率的計算公式如下： P(A)＝. 辨 析 感 悟 1．對幾何概型的理解 (1)(教材習題改編)幾何概型中，每一個基本事

62、件就是從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中的每一點被取到的機會相等．(√) (2)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形．(√) (3)與面積有關的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關．() 2．幾何概型的計算 (4)從區(qū)間[1,10]內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是P＝.() (5)(2013福建卷改編)利用計算機產(chǎn)生0～1之間的均勻隨機數(shù)a，則事件“3a－1＜0”發(fā)生的概率為.(√) [感悟提升] 1．一個區(qū)別　“幾何概型”與“古典概型”的區(qū)別：基本事件的個數(shù)前者是無限的，后者是有限的． 2．一點提醒　幾何概型的試驗中，事件A的概率P(A)只與子區(qū)域A的測度

63、(長度、面積或體積)成正比，而與A的位置和形狀無關，如(3). 考點一　與長度、角度有關的幾何概型 【例1】 (1)(2013湖北卷)在區(qū)間[－2,4]上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|≤m的概率為，則m＝________. (2) 如圖，在△ABC中，∠B＝60，∠C＝45，高AD＝，在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，則BM<1的概率為________． 解析　(1)由題意知m＞0， 當m≤2時，滿足|x|≤m的概率為＝＝， 解得m＝(舍去)． 當2＜m≤4時，所求概率為＝，∴m＝3. (2)∵∠B＝60，∠C＝45， ∴∠BAC＝75， 在Rt△ADB中，A

64、D＝，∠B＝60， ∴BD＝＝1，∠BAD＝30. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M，使BM<1”，則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生． 由幾何概型的概率公式得P(N)＝＝. 答案　(1)3　(2) 規(guī)律方法 解答幾何概型問題的關鍵在于弄清題中的考察對象和對象的活動范圍．當考察對象為點，點的活動范圍在線段上時，用線段長度比計算；當考察對象為線時，一 般用角度比計算，即當半徑一定時，由于弧長之比等于其所對應的圓心角的度數(shù)之比，所以角度之比實際上是所對的弧長(曲線長)之比． 【訓練1】 (1)(2014淄博二模)設P在[0,5]上隨機地取值，則關于x的方程x2＋px＋

65、1＝0有實數(shù)根的概率為________． (2) 如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝，BC＝1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧DE，在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為________． 解析　(1)方程有實根，則Δ＝p2－4≥0， 解得p≥2或p≤－2(舍去)． 所以所求概率為＝. (2)因為在∠DAB內(nèi)任作射線AP，則等可能基本事件為“∠DAB內(nèi)作射線AP”，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是∠DAB，當射線AP與線段BC有公共點時，射線AP落在∠CAB內(nèi)，區(qū)域h為∠CAB，所以射線AP與線段BC有公共點的概率為＝＝. 答案　(1)　(2

66、) 考點二　與面積有關的幾何概型 【例2】 (1)如圖，EFGH是以O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形．將一顆豆子隨機地扔到該圓內(nèi)，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(A)________． (2)(2012北京卷改編)設不等式組表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是________． 解析　(1)豆子落在正方形EFGH內(nèi)是隨機的，故可以認為豆子落在正方形EFGH內(nèi)任一點是等可能的，屬于幾何概型．因為圓的半徑為1，所以正方形EFGH的邊長是，則正方形EFGH的面積是2，又圓的面積是π，所以P(A)＝. (2) 如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到原點距離大于2的區(qū)域，易知該陰影部分的面積為4－π，因此滿足條件的概率是. 答案　(1)　(2) 規(guī)律方法 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法．用圖解題的關鍵：用圖形準確表示