高三數(shù)學(xué)文一輪備考 第6章第4節(jié)基本不等式

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1、 精品資料 高考真題備選題庫(kù) 第6章 不等式、推理與證明 第4節(jié) 基本不等式 考點(diǎn)一 基本不等式及其應(yīng)用 1．（2013福建，5分）若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是(　　) A．[0,2]　　　　　　　　　　 B．[－2,0] C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2] 解析：本題主要考查基本不等式，意在考查考生的數(shù)形結(jié)合能力、轉(zhuǎn)化和化歸能力、運(yùn)算求解能力．∵2x＋2y≥2＝2(當(dāng)且僅當(dāng)2x＝2y時(shí)等號(hào)成立)，∴≤，∴2x＋y≤，得x＋y≤－2，故選D. 答案：D 2．（2013山東，5分）設(shè)正實(shí)數(shù)x，y，z

2、滿(mǎn)足x2－3xy＋4y2－z＝0.則當(dāng)取得最小值時(shí)，x＋2y－z的最大值為(　　) A．0 B. C．2 D. 解析：本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)和方程思想． ＝＝＋－3≥2 －3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以x＋2y－z＝4y－2y2＝－2(y－1)2＋2≤2. 答案：C 3．（2013四川，5分）已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x＞0，a＞0)在x＝3時(shí)取得最小值，則a＝________. 解析：本題主要考查基本不等式，意在考查考生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握．f(x)＝4x＋≥2＝4，當(dāng)且

3、僅當(dāng)4x＝，即a＝4x2時(shí)取等號(hào)，則由題意知a＝432＝36. 答案：36 4．（2012浙江，5分）若正數(shù)x，y滿(mǎn)足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C．5 D．6 解析：∵x＋3y＝5xy，∴＋＝5， ∵x>0，y>0，∴(3x＋4y)(＋)＝＋＋9＋4≥2 ＋13＝25，∴5(3x＋4y)≥25，∴3x＋4y≥5，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)取等號(hào)． ∴3x＋4y的最小值是5. 答案：C 5．（2011浙江，4分）若實(shí)數(shù)x、y滿(mǎn)足x2＋y2＋ xy＝1，則x＋y的最大值是________． 解析：∵xy≤(x＋y)2，∴1

4、＝x2＋y2＋xy＝ (x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(x＋y)2＝(x＋y)2，∴(x＋y)2≤.∴－≤x＋y≤.當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)，x＋y取得最大值. 答案： 6．（2010浙江，4分）若正實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是________． 解析：由基本不等式得xy≥2＋6，令＝t得不等式t2－2t－6≥0，解得t≤－(舍去)或者t≥3，故xy的最小值為18. 答案：18 7．（2010天津，4分）設(shè)函數(shù)f(x)＝x2－1，對(duì)任意x∈[，＋∞]，f()－4m2f(x)≤f(x－1)＋4f(m)恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________． 解析：由題意得：()2

5、－1－4m2(x2－1)≤(x－1)2－1＋4(m2－1)恒成立， 即(－4m2－1)x2＋2x＋3≤0恒成立， 即－4m2－1≤恒成立， g(x)＝＝－－在[，＋∞)上是增函數(shù)， 故當(dāng)且僅當(dāng)－4m2－1≤g()即可． 解得m≤－或m≥， 即m的取值范圍是(－∞，－]∪[，＋∞)． 答案：(－∞，－]∪[，＋∞) 考點(diǎn)二 不等式的實(shí)際應(yīng)用 1．（2011陜西，5分）植樹(shù)節(jié)某班20名同學(xué)在一段直線(xiàn)公路一側(cè)植樹(shù)，每人植一棵，相鄰兩棵樹(shù)相距10米．開(kāi)始時(shí)需將樹(shù)苗集中放置在某一樹(shù)坑旁邊．現(xiàn)將樹(shù)坑從1到20依次編號(hào)，為使各位同學(xué)從各自樹(shù)坑前來(lái)領(lǐng)取樹(shù)苗所走的路程總和最小，樹(shù)苗可以放置的

6、兩個(gè)最佳坑位的編號(hào)為(　　) A．①和? B．⑨和⑩ C．⑨和? D．⑩和? 解析：當(dāng)放在最左側(cè)坑時(shí)，路程和為0＋10＋20＋…＋190；當(dāng)放在左側(cè)第2個(gè)坑時(shí)，路程和為10＋0＋10＋20＋…＋180(減少了180米)；當(dāng)放在左側(cè)第3個(gè)坑時(shí)，路程和為20＋10＋0＋10＋20＋…＋170(減少了160米)；依次進(jìn)行，顯然當(dāng)放在中間的第10或11個(gè)坑時(shí)，路程和最小，為90＋80＋…＋0＋10＋20＋…＋100＝1000米． 答案：D 2．（2010江蘇，5分）將邊長(zhǎng)為1 m的正三角形薄鐵皮，沿一條平行于某邊的直線(xiàn)剪成兩塊，其中一塊是梯形，記s＝，則s的最小值

7、是________． 解析：如圖，設(shè)AD＝x(00，s遞增； 故當(dāng)x＝時(shí)，s的最小值是. 答案： 3．（2010浙江，4分）某商家一月份至五月份累計(jì)銷(xiāo)售額達(dá)3 860萬(wàn)元，預(yù)測(cè)六月份銷(xiāo)售額為500萬(wàn)元，七月份銷(xiāo)售額比六月份遞增x%，八月份銷(xiāo)售額比七月份遞增x%，九、十月份銷(xiāo)售總額與七、八月份銷(xiāo)售總額相等．若一月份至十月份銷(xiāo)售

8、總額至少達(dá)7 000萬(wàn)元，則x的最小值是________． 解析：七月份的銷(xiāo)售額為500(1＋x%)，八月份的銷(xiāo)售額為500(1＋x%)2，則一月份到十月份的銷(xiāo)售總額是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根據(jù)題意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20. 答案：20 4．（2012江蘇，14分）如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，x軸在地平面上，y軸垂直于地平面，單位長(zhǎng)度為

9、1千米，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)．已知炮彈發(fā)射后的軌跡在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k>0)表示的曲線(xiàn)上，其中k與發(fā)射方向有關(guān)．炮的射程是指炮彈落地點(diǎn)的橫坐標(biāo)． (1)求炮的最大射程； (2)設(shè)在第一象限有一飛行物(忽略其大小)，其飛行高度為3.2千米，試問(wèn)它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少時(shí)，炮彈可以擊中它？請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0，由實(shí)際意義和題設(shè)條件知x>0，k>0， 故x＝＝≤＝10，當(dāng)且僅當(dāng)k＝1時(shí)取等號(hào)． 所以炮的最大射程為10千米． (2)因?yàn)閍>0，所以炮彈可擊中目標(biāo)? 存在k>0，使3.2＝ka－(1＋k2)a2成立 ?關(guān)于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根 ?判別式Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0 ?a≤6. 所以當(dāng)a不超過(guò)6(千米)時(shí)，可擊中目標(biāo)．