高考真題理科數(shù)學(xué) 解析分類匯編4數(shù)列

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1、 20xx年高考真題理科數(shù)學(xué)解析分類匯編4 數(shù)列一、選擇題1.【20xx高考重慶理1】在等差數(shù)列中，則的前5項(xiàng)和= A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以?shù)列的前5項(xiàng)和,選B.2.【20xx高考浙江理7】設(shè)是公差為d（d0）的無(wú)窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則下列命題錯(cuò)誤的是A.若d0，則數(shù)列Sn有最大項(xiàng)B.若數(shù)列Sn有最大項(xiàng)，則d0C.若數(shù)列Sn是遞增數(shù)列，則對(duì)任意，均有D. 若對(duì)任意，均有，則數(shù)列Sn是遞增數(shù)列【答案】C【解析】選項(xiàng)C顯然是錯(cuò)的，舉出反例：1，0，1，2，3，滿足數(shù)列S n是遞增數(shù)列，但是S n0不成立故選C。3.【20xx高考新課標(biāo)理5】已知

2、為等比數(shù)列，則（ ） 【答案】D【解析】因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，所以，又，所以或.若，解得，；若，解得，仍有，綜上選D.4.【20xx高考上海理18】設(shè)，在中，正數(shù)的個(gè)數(shù)是（ ）A25 B50 C75 D100【答案】D【解析】當(dāng)124時(shí)，0，當(dāng)2649時(shí)，0，但其絕對(duì)值要小于124時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)5174時(shí)，0，當(dāng)7699時(shí)，0，但其絕對(duì)值要小于5174時(shí)相應(yīng)的值，當(dāng)1100時(shí)，均有0?！军c(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問題主要找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來(lái)相鄰的14項(xiàng)的和為0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.5.【20xx高考遼寧理6】在等差數(shù)列an中，已知

3、a4+a8=16，則該數(shù)列前11項(xiàng)和S11=(A)58 (B)88 (C)143 (D)176【答案】B【解析】在等差數(shù)列中，答案為B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)及其前n項(xiàng)和公式，同時(shí)考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題。解答時(shí)利用等差數(shù)列的性質(zhì)快速又準(zhǔn)確。6.【20xx高考四川理12】設(shè)函數(shù)，是公差為的等差數(shù)列，則（ ）A、 B、 C、 D、 【答案】D【解析】數(shù)列an是公差為的等差數(shù)列，且，即，而是公差為的等差數(shù)列，代入，即，不是的倍數(shù)，.，故選D.點(diǎn)評(píng)本題難度較大，綜合性很強(qiáng).突出考查了等差數(shù)列性質(zhì)和三角函數(shù)性質(zhì)的綜合使用，需考生加強(qiáng)知識(shí)系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)化學(xué)習(xí). 另外，隱蔽性較強(qiáng)，需要

4、考生具備一定的觀察能力.7.【20xx高考湖北理7】定義在上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列， 仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”. 現(xiàn)有定義在上的如下函數(shù)：； ； ； .則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為 A B C D 【答案】C考點(diǎn)分析：本題考察等比數(shù)列性質(zhì)及函數(shù)計(jì)算.【解析】等比數(shù)列性質(zhì)，； ；.選C8.【20xx高考福建理2】等差數(shù)列an中，a1+a5=10,a4=7,則數(shù)列an的公差為A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B.考點(diǎn)：等差數(shù)列的定義。難度：易。分析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)為等差數(shù)列的通項(xiàng)公式。【解析】法1：由等差中項(xiàng)的性質(zhì)知，又.故選B.法2：9.【20xx高考安徽

5、理4】公比為等比數(shù)列的各項(xiàng)都是正數(shù)，且，則=（ ） 【答案】B 【解析】10.【20xx高考全國(guó)卷理5】已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a5=5，S5=15，則數(shù)列的前100項(xiàng)和為(A) (B) (C) (D) 【答案】A【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和的公式的運(yùn)用，以及裂項(xiàng)求和的綜合運(yùn)用，通過(guò)已知中兩項(xiàng)，得到公差與首項(xiàng)，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，并進(jìn)一步裂項(xiàng)求和?！窘馕觥坑?得，所以，所以，又，選A.二、填空題11.【20xx高考浙江理13】設(shè)公比為q（q0）的等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn。若S2=3a2+2，S4=3a4+2，則q=_。 【答案】【解析】將，兩個(gè)式子全部轉(zhuǎn)化

6、成用，q表示的式子即，兩式作差得：，即：，解之得：(舍去)12.【20xx高考四川理16】記為不超過(guò)實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如，。設(shè)為正整數(shù)，數(shù)列滿足，現(xiàn)有下列命題：當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前3項(xiàng)依次為5,3,2；對(duì)數(shù)列都存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)總有；當(dāng)時(shí)，；對(duì)某個(gè)正整數(shù)，若，則。其中的真命題有_。（寫出所有真命題的編號(hào)）【答案】【命題立意】本題屬于新概念問題主要考查數(shù)列知識(shí)的靈活應(yīng)用和推理論證能力，難度較大.【解析】當(dāng)時(shí)， ，故正確；同樣驗(yàn)證可得正確，錯(cuò)誤.13.【20xx高考新課標(biāo)理16】數(shù)列滿足，則的前項(xiàng)和為 【答案】1830【解析】由得，即，也有，兩式相加得，設(shè)為整數(shù)，則，于是14.【20xx高考遼寧理14】已

7、知等比數(shù)列an為遞增數(shù)列，且，則數(shù)列an的通項(xiàng)公式an =_?！敬鸢浮俊久}意圖】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及方程思想，是簡(jiǎn)單題.【解析】【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，轉(zhuǎn)化思想和邏輯推理能力，屬于中檔題。15.【20xx高考江西理12】設(shè)數(shù)列an,bn都是等差數(shù)列，若，則_。【答案】35【命題立意】本題考查等差數(shù)列的概念和運(yùn)算。考查等差中項(xiàng)的性質(zhì)及整體代換的數(shù)學(xué)思想【解析】（解法一）因?yàn)閿?shù)列都是等差數(shù)列，所以數(shù)列也是等差數(shù)列.故由等差中項(xiàng)的性質(zhì)，得，即，解得.（解法二）設(shè)數(shù)列的公差分別為,因?yàn)?所以.所以.【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于等差數(shù)列的計(jì)算問題，要注意掌握基本量法這一通法，同時(shí)要注意合理

8、使用等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行巧解. 體現(xiàn)考綱中要求理解等差數(shù)列的概念.來(lái)年需要等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，前項(xiàng)和，等差中項(xiàng)的性質(zhì)等.16.【20xx高考北京理10】已知等差數(shù)列為其前n項(xiàng)和。若，則=_?！敬鸢浮浚窘馕觥恳?yàn)?，所以，?7.【20xx高考廣東理11】已知遞增的等差數(shù)列an滿足a1=1，則an=_ 【答案】【解析】由得到，即，應(yīng)為an是遞增的等差數(shù)列，所以，故。18.【20xx高考重慶理12】 . 【答案】【解析】19.【20xx高考上海理6】有一列正方體，棱長(zhǎng)組成以1為首項(xiàng)、為公比的等比數(shù)列，體積分別記為，則 ?！敬鸢浮?。【解析】由題意可知，該列正方體的體積構(gòu)成以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，

9、+=，。【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的極限、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的定義.考查知識(shí)較綜合.20.【20xx高考福建理14】數(shù)列an的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和為Sn，則S20xx=_.【答案】3018【命題立意】本題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的概念和前項(xiàng)和的求法，以及余弦函數(shù)的周期性，同時(shí)考查了考生觀察分析發(fā)現(xiàn)數(shù)列規(guī)律的能力，難度較大【解析】因?yàn)楹瘮?shù)的周期是4，所以數(shù)列的每相鄰四項(xiàng)之和是一個(gè)常數(shù)6，所以.三、解答題21【20xx高考江蘇20】（16分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：，（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【答案】解：（1），。 。 。 數(shù)列是以1 為

10、公差的等差數(shù)列。（2），。 。（） 設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 若則，當(dāng)時(shí)，與（）矛盾。 綜上所述，。，。 又，是公比是的等比數(shù)列。 若，則，于是。 又由即，得。 中至少有兩項(xiàng)相同，與矛盾。 。 ?！究键c(diǎn)】等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本性質(zhì)，基本不等式，反證法?！窘馕觥浚?）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。 （2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出。 22.【20xx高考湖北理18】（本小題滿分12分）已知等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為，前三項(xiàng)的積為.（）求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，成等比數(shù)列

11、，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】 （）設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，由題意得 解得或 所以由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可得，或.故，或. （）當(dāng)時(shí)，分別為，不成等比數(shù)列；當(dāng)時(shí)，分別為，成等比數(shù)列，滿足條件.故 記數(shù)列的前項(xiàng)和為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， . 當(dāng)時(shí)，滿足此式.綜上， 23.【20xx高考廣東理19】（本小題滿分14分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足，nN,且a1，a2+5，a3成等差數(shù)列（1） 求a1的值；（2） 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式（3） 證明：對(duì)一切正整數(shù)n，有.【答案】本題考查由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)公式，不等式證明問題，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力與推理論證能力，難度一般.【解析】（1） 相減得：

12、成等差數(shù)列 （2）得對(duì)均成立 得： （3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 由上式得：對(duì)一切正整數(shù)，有。24.【20xx高考陜西理17】（本小題滿分12分）設(shè)的公比不為1的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且成等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的公比；（2）證明：對(duì)任意，成等差數(shù)列?！窘馕觥浚?）設(shè)數(shù)列的公比為（）。由成等差數(shù)列，得，即。由得，解得，（舍去），所以。（2）證法一：對(duì)任意，（lby lfx） ，所以，對(duì)任意，成等差數(shù)列。證法二：對(duì)任意， ，因此，對(duì)任意，成等差數(shù)列。25.【20xx高考四川理20】(本小題滿分12分) 已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且對(duì)一切正整數(shù)都成立。（）求，的值；（）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，當(dāng)為何值時(shí)，最大？并求出的

13、最大值?！敬鸢浮勘绢}主要考查等比數(shù)列、等差數(shù)列的概念和前n項(xiàng)和公式，以及對(duì)數(shù)運(yùn)算等基礎(chǔ)知識(shí)，考查邏輯推理能力，基本運(yùn)算能力，以及方程與函數(shù)、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想解析取n=1,得 取n=2,得 又-，得 （1）若a2=0, 由知a1=0, (2)若a2, 由得：5分（2）當(dāng)a10時(shí),由（I）知，當(dāng) , (2+)an-1=S2+Sn-1所以，an=所以令所以，數(shù)列bn是以為公差，且單調(diào)遞減的等差數(shù)列.則 b1b2b3b7=當(dāng)n8時(shí)，bnb8=所以，n=7時(shí)，Tn取得最大值，且Tn的最大值為T7=12分點(diǎn)評(píng)本小題主要從三個(gè)層面對(duì)考生進(jìn)行了考查. 第一，知識(shí)層面：考查等差數(shù)列、等比數(shù)列、對(duì)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)

14、；第二，能力層面：考查思維、運(yùn)算、分析問題和解決問題的能力；第三，數(shù)學(xué)思想：考查方程、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想.26.【20xx高考四川理22】(本小題滿分14分)已知為正實(shí)數(shù)，為自然數(shù)，拋物線與軸正半軸相交于點(diǎn)，設(shè)為該拋物線在點(diǎn)處的切線在軸上的截距。（）用和表示；（）求對(duì)所有都有成立的的最小值；（）當(dāng)時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由。解析（1）由已知得，交點(diǎn)A的坐標(biāo)為，對(duì)則拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為（2） 由（1）知f(n)=,則即知，對(duì)于所有的n成立，特別地，取n=2時(shí)，得到a當(dāng),2n3+1當(dāng)n=0,1,2時(shí)，顯然故當(dāng)a=時(shí)，對(duì)所有自然數(shù)都成立所以滿足條件的a的最小值是。（3）由（1）

15、知，則，下面證明：首先證明：當(dāng)0x1時(shí)，設(shè)函數(shù)當(dāng)故g(x)在區(qū)間（0,1）上的最小值g(x)min=g所以，當(dāng)0x1時(shí)，g(x)0,即得由0a1知0ak0,即，（）。上面不等式對(duì)從1到求和得，由此得綜上，當(dāng)且時(shí)，有，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立。29.【20xx高考江西理16】（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和，,且Sn的最大值為8.（1）確定常數(shù)k，求an；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn?！敬鸢浮拷? （1）當(dāng)時(shí)，取最大值，即，故，從而，又，所以（1） 因?yàn)?，所以【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，遞推、錯(cuò)位相減法求和以及二次函數(shù)的最值的綜合應(yīng)用.利用來(lái)實(shí)現(xiàn)與的相互轉(zhuǎn)化是數(shù)列問題比較常見的技巧之一，要注

16、意不能用來(lái)求解首項(xiàng)，首項(xiàng)一般通過(guò)來(lái)求解.運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和適用的情況：當(dāng)數(shù)列通項(xiàng)由兩項(xiàng)的乘積組成，其中一項(xiàng)是等差數(shù)列、另一項(xiàng)是等比數(shù)列.30.【20xx高考安徽理21】（本小題滿分13分） 數(shù)列滿足：（I）證明：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是；（II）求的取值范圍，使數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。【答案】本題考查數(shù)列的概念及其性質(zhì)，不等式及其性質(zhì)，充要條件的意義，數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)分析問題的能力，推理論證和運(yùn)算求解能力?！窘馕觥浚↖）必要條件當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列。充分條件數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，得：數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列的充分必要條件是。（II）由（I）得：，當(dāng)時(shí)，

17、不合題意；當(dāng)時(shí)，。當(dāng)時(shí)，與同號(hào)，由，。當(dāng)時(shí)，存在，使與異號(hào)，與數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列矛盾，得：當(dāng)時(shí)，數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列。31.【20xx高考天津理18】（本小題滿分13分）已知是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，是等比數(shù)列，且，.（）求數(shù)列與的通項(xiàng)公式；（）記，證明（）.【答案】（1） 設(shè)數(shù)列的公差為，數(shù)列的公比為；則 得：（2） 【點(diǎn)評(píng)】該試題命制比較直接，沒有什么隱含的條件，就是等比與等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，但方法多樣，第二問可以用錯(cuò)位相減法求解證明，也可用數(shù)學(xué)歸納法證明，給學(xué)生思維空間留有余地，符合高考命題選拔性的原則.32.【20xx高考湖南理19】（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，記

18、A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2， （1） 若a1=1，a2=5，且對(duì)任意nN，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項(xiàng)公式.（2） 證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意，三個(gè)數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.【答案】解（）對(duì)任意,三個(gè)數(shù)是等差數(shù)列，所以即亦即故數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列.于是（）（）必要性：若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，則對(duì)任意，有由知，均大于，于是即，所以三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.（）充分性：若對(duì)于任意，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列

19、，則，于是得即由有即，從而.因?yàn)椋?，故?shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對(duì)任意nN，三個(gè)數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)及充要條件的證明.第一問由等差數(shù)列定義可得；第二問要從充分性、必要性兩方面來(lái)證明，利用等比數(shù)列的定義及性質(zhì)易得證.33.【20xx高考山東理20】本小題滿分12分）在等差數(shù)列中，.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）對(duì)任意，將數(shù)列中落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】解：（）因?yàn)槭且粋€(gè)等差數(shù)列，所以，即所以，數(shù)列的公差，所以， （）對(duì)，若 ，則 ，因此 ，故得 （lb ylfx）于是

20、 34.【20xx高考全國(guó)卷理22】（本小題滿分12分）（注意：在試卷上作答無(wú)效）函數(shù)f(x)=x2-2x-3，定義數(shù)列xn如下：x1=2，xn+1是過(guò)兩點(diǎn)P（4,5）、Qn(xn,f(xn)的直線PQn與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).（）證明：2 xnxn+13；（）求數(shù)列xn的通項(xiàng)公式.解：（1）為，故點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，故由所給出的兩點(diǎn)，可知，直線斜率一定存在。故有直線的直線方程為，令，可求得所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)時(shí)，滿足假設(shè)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，由即也成立綜上可知對(duì)任意正整數(shù)恒成立。下面證明由由，故有即綜上可知恒成立。（2）由得到該數(shù)列的一個(gè)特征方程即，解得或 兩式相除可得,而故數(shù)列是以為首項(xiàng)以為公比的等比數(shù)列,故。【命題意圖】本試題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式以及函數(shù)與數(shù)列相結(jié)全的綜合運(yùn)用。先從函數(shù)入手，表示直線方程，從而得到交點(diǎn)坐標(biāo)，再運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，根據(jù)遞推公式構(gòu)造等比數(shù)列進(jìn)而求得數(shù)列的通基?！军c(diǎn)評(píng)】以函數(shù)為背景，引出點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過(guò)直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)得到數(shù)列的遞推公式。既考查了直線方程，又考查了函數(shù)解析式，以及不等式的證明，試題比較綜合，有一定的難度。做這類試題那就是根據(jù)已知條件，一步一步的翻譯為代數(shù)式，化簡(jiǎn)得到要找的關(guān)系式即可。