高考文科數(shù)學 題型秘籍【23】正弦定理和余弦定理的應用解析版

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1、 專題二十三 正弦定理和余弦定理的應用 【高頻考點解讀】 能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題. 【熱點題型】 題型一 考查測量距離 例1、如圖所示，有兩座建筑物AB和CD都在河的對岸(不知道它們的高度，且不能到達對岸)，某人想測量兩座建筑物尖頂A、C之間的距離，但只有卷尺和測量儀兩種工具．若此人在地面上選一條基線EF，用卷尺測得EF的長度為a，并用測角儀測量了一些角度：∠AEF＝α，∠AFE＝β，∠CEF＝θ，∠CFE＝φ，∠AEC＝γ.請你用文字和公式寫出計算A、C之間距離的步驟和結果． 【提分秘籍】求距離問

2、題時要注意 (1)選定或確定要創(chuàng)建的三角形，要首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知則直接解；若有未知量，則把未知量放在另一確定三角形中求解； (2)確定用正弦定理還是余弦定理，如果都可用，就選擇更便于計算的定理． 【舉一反三】 隔河看兩目標A與B，但不能到達，在岸邊選取相距 km的C，D兩點，同時，測得∠ACB＝75，∠BCD＝45，∠ADC＝30，∠ADB＝45(A，B，C，D在同一平面內(nèi))，求兩目標A，B之間的距離． 【熱點題型】 題型二 考查高度問題 例2、如圖，在湖面上高為10 m處測得天空中一朵云的仰角為30，測得湖中之影的俯角為45，則云距湖面的高度為(

3、精確到0.1 m)(　　) A．2.7 m　　　　　　B．17.3 m C．37.3 m D．373 m 【提分秘籍】求解高度問題首先應分清 (1)在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一鉛垂面內(nèi)視線與水平線的夾角； (2)準確理解題意，分清已知條件與所求，畫出示意圖； (3)運用正、余弦定理，有序地解相關的三角形，逐步求解問題的答案，注意方程思想的運用． 【舉一反三】 如圖，為測得河對岸塔AB的高，先在河岸上選一點C，使C在塔底B的正東方向上，測得點A的仰角為60，再由點C沿北偏東15方向走10米到位置D，測得∠BDC＝45，

4、則塔AB的高是________米． 【熱點題型】 題型三 考查方位角 例3、如圖，我國的海監(jiān)船在D島海域例行維權巡航，某時刻航行至A處，此時測得其東北方向與它相距16海里的B處里一外國船只，且D島位于海監(jiān)船正東14海里處． (1)求此時該外國船只與D島的距離； (2)觀測中發(fā)現(xiàn)，此外國船只正以每小時4海里的速度沿正南方向航行．為了將該船攔截在離D島12海里處，不讓其進入D島12海里內(nèi)的海域，試確定海監(jiān)船的航向，并求其速度的最小值． (參考數(shù)據(jù)：sin 3652′≈0.6，sin 5308′≈0.8) 故海監(jiān)船的航向為北偏東約90－3652′＝5308′

5、，速度的最小值為每小時20海里． 【提分秘籍】 解決方位角問題其關鍵是弄清方位角概念．結合圖形恰當選擇正、余弦定理解三角形，同時注意平面圖形的幾何性質的應用． 【舉一反三】 如圖，一船在海上自西向東航行，在A處測得某島M的方位角為北偏東α角，前進m km后在B處測量該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當α與β滿足條件________時，該船沒有觸礁危險． 【熱點題型】 題型四 考查函數(shù)思想在解三角形中的應用 例4、如圖所示，一輛汽車從O點出發(fā)沿一條直線公路以50公里/小時的速度勻速行駛(圖中的箭頭方向為汽車行駛

6、方向)，汽車開動的同時，在距汽車出發(fā)點O點的距離為5公里、距離公路線的垂直距離為3公里的M點的地方有一個人騎摩托車出發(fā)想把一件東西送給汽車司機．問騎摩托車的人至少以多大的速度勻速行駛才能實現(xiàn)他的愿望，此時他駕駛摩托車行駛了多少公里？ 【提分秘籍】 函數(shù)思想在解三角形中常與余弦定理應用及函數(shù)最值求法相綜合，此類問題綜合性較強，能力要求較高，要求考生要有一定的分析問題解決問題的能力． 解答本題利用了函數(shù)思想，求解時把速度表示為時間的函數(shù)，利用函數(shù)最值求法完成解答，注意函數(shù)中以為整體構造二次函數(shù)，求最值． 【舉一反三】 如圖所示，已知樹頂A離地面米，樹上另一點B離地面米，某人

7、在離地面米的C處看此樹，則該人離此樹________米時，看A，B的視角最大． 【高考風向標】 1．(20xx江蘇卷) 如圖16所示，為保護河上古橋OA，規(guī)劃建一座新橋BC，同時設立一個圓形保護區(qū)．規(guī)劃要求：新橋BC與河岸AB垂直；保護區(qū)的邊界為圓心M在線段OA上并與BC相切的圓，且古橋兩端O和A到該圓上任意一點的距離均不少于80 m．經(jīng)測量，點A位于點O正北方向60 m處，點C位于點O正東方向170 m處(OC為河岸)，tan∠BCO＝. (1)求新橋BC的長． (2)當OM多長時，圓形保護區(qū)的面積最大？ 圖16 2．(20xx全國新課標卷Ⅰ] 如圖1

8、3，為測量山高MN，選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點．從A點測得M點的仰角∠MAN＝60，C點的仰角∠CAB＝45，以及∠MAC＝75，從C點測得∠MCA＝60.已知山高BC＝100 m，則山高MN＝________m. 圖13 3．(20xx四川卷) 如圖13所示，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75，30，此時氣球的高度是60 m，則河流的寬度BC等于(　　) 圖13 A．240(－1)m B．180(－1)m C．120(－1)m D．30(＋1)m 4．(20xx福建卷) 如圖1－6，在等腰直角△OPQ中，∠POQ＝90，OP＝2 ，點

9、M在線段PQ上． (1)若OM＝，求PM的長； (2)若點N在線段MQ上，且∠MON＝30，問：當∠POM取何值時，△OMN的面積最小？并求出面積的最小值． 圖1－6 5．(20xx江蘇卷) 如圖1－4，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C. 現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B勻速步行到C.假設纜車勻速直線運動的速度為130 m/min，山路AC長為1 260 m，經(jīng)測

10、量，cos A＝，cos C＝. (1)求索道AB的長； (2)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？ 圖1－4 【隨堂鞏固】 1．有一長為10 m的斜坡，傾斜角為75，在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^加長坡面的方法將它的傾斜角改為30，則坡底要延長(　　) A．5 m　　　　　　　　　　 B．10 m C．10 m D．10 m 2．一船自西向東勻速航行，上午10時到達一座燈塔P的南偏西75，距燈塔68海里的M處，下午2時到達這座燈塔的東南方向N處，則該船航行

11、的速度為(　　) A.海里/小時 B．34海里/小時 C.海里/小時 D．34海里/小時 3．甲船在島A的正南B處，以每小時4千米的速度向正北航行，AB＝10千米，同時乙船自島A出發(fā)以每小時6千米的速度向北偏東60的方向駛去，當甲、乙兩船相距最近時，它們所航行的時間為(　　) A.分鐘 B.小時 C．21.5分鐘 D．2.15小時 4.如圖，設A，B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50 m，∠ACB＝45，∠CAB＝105后，就可以計算出A，B兩點間的距離為(　　) A．50 m B．50 m C．25

12、 m D. m 5．地上畫了一個角∠BDA＝60，某人從角的頂點D出發(fā)，沿角的一邊DA行走10米后，拐彎往另一邊的方向行走14米正好到達∠BDA的另一邊BD上的一點，我們將該點記為點N，則N與D之間的距離為(　　) A．14米　　　B．15米　　　C． 16米　　　D．17米 6．已知等腰三角形的面積為，頂角的正弦值是底角的正弦值的倍，則該三角形的一腰長為(　　) A. B. C．2 D. 7.如圖，在某災區(qū)的搜救現(xiàn)場，一條搜救犬從A點出發(fā)沿正北方向行進x m到達B處發(fā)現(xiàn)生命跡象，然后向右轉105，行進10 m到達C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時它向右轉135回到出

13、發(fā)點，那么x＝________. 8．一船以每小時15 km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60方向，行駛4 h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15方向，這時船與燈塔的距離為________km. 9．一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱，為了測量噴水柱噴出的水柱的高度，某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45，沿點A向北偏東30前進100 m到達點B，在B點測得水柱頂端的仰角為30，則水柱的高度是________ m. 10．如圖，在某平原地區(qū)一條河的彼岸有一建筑物，現(xiàn)在需要測量其高度AB.由于雨季河寬水急不能涉水，只能在此岸測量．現(xiàn)有的測

14、量器材只有測角儀和皮尺．現(xiàn)在選定了一條水平基線HG，使得H，G，B三點在同一條直線上． 請你設計一種測量方法測出建筑物的高度，并說明理由．(測角儀的高為h) 11.如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船立即前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里的C處的乙船． (1)求處于C處的乙船和遇險漁船間的距離； (2)設乙船沿直線CB方向前往B處救援，其方向向成θ角，求f(x)＝sin2θsin x＋cos2θcos x(x∈R)的值域． 12．A，B，C是一條直線上的三個點，AB＝BC＝1 km，從這三點分別遙望一座電視塔P，A處看塔，塔在東北方向，B處看塔，塔在正東方向，C處看塔，塔在南偏東60方向．求塔到直線AC的距離． 13.某單位設計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，設計一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根長為5米的材料彎折而成，邊BA，AD用一根長為9米的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC. (1)設AB＝x米，cos A＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的取值范圍； (2)求四邊形ABCD面積的最大值．