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1、 絕密啟用前 試卷類型:A普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(理科)本試卷共4頁,21小題,滿分150分,考試用時(shí)120分鐘。注意事項(xiàng):1答卷前,考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)、試室號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2選擇題每小題選出答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑。如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案,答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來的答案,然后再寫上新的
2、答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無效。4作答選做題時(shí),請先用2B鉛筆填涂選做題的題號(hào)對應(yīng)的信息點(diǎn),再作答。漏涂、錯(cuò)涂、多涂的,答案無效。5考生必須保持答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,將試卷和答題卡一并交回。參考公式:臺(tái)體的體積公式,其中,分別表示臺(tái)體的上、下底面積,表示臺(tái)體的高一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的1. 設(shè)集合,則A B C D2. 定義域?yàn)榈乃膫€(gè)函數(shù),中,奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是A4 B3 C2 D13. 若復(fù)數(shù)滿足,則在復(fù)平面內(nèi),對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是A B CD4. 已知離散型隨機(jī)變量的分布列為123則的數(shù)學(xué)期望
3、A B2 C D3圖1正視圖俯視圖側(cè)視圖221115. 某四棱臺(tái)的三視圖如圖1所示,則該四棱臺(tái)的體積是A4 B C D66. 設(shè),是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面,下列命題中正確的是 A若,則B若,則 C若,則D若,則7. 已知中心在原點(diǎn)的雙曲線的右焦點(diǎn)為,離心率等于,則的方程是A B C D8. 設(shè)整數(shù),集合. 令集合且三條件,恰有一個(gè)成立. 若和都在中,則下列選項(xiàng)正確的是A, B,C, D,是圖2輸出結(jié)束否輸入開始二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分(一)必做題(9 13題)9. 不等式的解集為 .10. 若曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸,則 .11. 執(zhí)行如圖2
4、所示的程序框圖,若輸入的值為4,則輸出的值為 .12. 在等差數(shù)列中,已知,則 .13. 給定區(qū)域:. 令點(diǎn)集,是在上取得最大值或最小值的點(diǎn),則中的點(diǎn)共確定 條不同的直線.圖3(二)選做題(14 15題,考生只能從中選做一題)14.(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),在點(diǎn)(1,1)處的切線為,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,則的極坐標(biāo)方程為 .15.(幾何證明選講選做題)如圖3,是圓的直徑,點(diǎn)在圓上,延長到使,過作圓的切線交于. 若,則 . 三、解答題:本大題共6小題,滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16.(本小題滿分12分)已知函數(shù),.(
5、1)求的值;(2)若,求.17.(本小題滿分12分)圖41 7 92 0 1 53 0某車間共有12名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖4所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣本均值;(2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人. 根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人?(3)從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.18.(本小題滿分14分)如圖5,在等腰直角三角形中,分別是,上的點(diǎn),為的中點(diǎn). 將沿折起,得到如圖6所示的四棱椎,圖6圖5其中.(1)證明:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.19.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列的前
6、項(xiàng)和為,已知,. (1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:對一切正整數(shù),有.20.(本小題滿分14分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線的距離為,設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中,為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.21.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(理科)參考答案一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,滿分40分,在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的題號(hào)12345678答案DCC
7、ABDBB二、填空題:本大題共7小題,考生作答6小題,每小題5分,滿分30分(一)必做題(9 13題)9. 10. 11. 7 12. 20 13.5(二)選做題(14 15題,考生只能從中選做一題)14.(填或也得滿分) 15.三、解答題:本大題共6小題,滿分80分解答須寫出文字說明、證明過程和演算步驟16.(本小題滿分12分)已知函數(shù),.(1)求的值;(2)若,求.16. 解:(1)(2)因?yàn)?,所以所以所?7.(本小題滿分12分)圖41 7 92 0 1 53 0某車間共有12名工人,隨機(jī)抽取6名,他們某日加工零件個(gè)數(shù)的莖葉圖如圖4所示,其中莖為十位數(shù),葉為個(gè)位數(shù).(1)根據(jù)莖葉圖計(jì)算樣
8、本均值;(2)日加工零件個(gè)數(shù)大于樣本均值的工人為優(yōu)秀工人. 根據(jù)莖葉圖推斷該車間12名工人中有幾名優(yōu)秀工人?(3)從該車間12名工人中,任取2人,求恰有1名優(yōu)秀工人的概率.17. 解:(1)樣本均值為(2)抽取的6名工人中有2名為優(yōu)秀工人,所以12名工人中有4名優(yōu)秀工人 (3)設(shè)“從該車間12名工人中,任取2人,恰有1名優(yōu)秀工人”為事件,所以,即恰有1名優(yōu)秀工人的概率為18.(本小題滿分14分)如圖5,在等腰直角三角形中,分別是,上的點(diǎn),為的中點(diǎn). 將沿折起,得到如圖6所示的四棱椎,圖6圖5其中.(1)證明:平面;(2)求二面角的平面角的余弦值.18. 解:(1)連結(jié),因?yàn)樵诘妊苯侨切沃校?/p>
9、所以在中,同理得因?yàn)椋?所以, 所以 所以, 所以平面(2)方法一:過點(diǎn)作的延長線于,連接 因?yàn)槠矫?根據(jù)三垂線定理,有 所以為二面角的平面角 在中, 在中,所以所以二面角的平面角的余弦值為方法二: 取中點(diǎn),則以為坐標(biāo)原點(diǎn),、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系 則 是平面的一個(gè)法向量設(shè)平面的法向量為, 所以,令,則, 所以是平面的一個(gè)法向量設(shè)二面角的平面角為,且所以所以二面角的平面角的余弦值為19.(本小題滿分14分)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,已知,. (1)求的值;(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(3)證明:對一切正整數(shù),有.19. 解:(1)當(dāng)時(shí),解得(2) 當(dāng)時(shí), 得整理得,即,當(dāng)時(shí),所以數(shù)列是以1為首項(xiàng),1
10、為公差的等差數(shù)列所以,即所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為,(3)因?yàn)椋ǎ┧?0.(本小題滿分14分)已知拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)到直線的距離為,設(shè)為直線上的點(diǎn),過點(diǎn)作拋物線的兩條切線,其中,為切點(diǎn).(1)求拋物線的方程;(2)當(dāng)點(diǎn)為直線上的定點(diǎn)時(shí),求直線的方程;(3)當(dāng)點(diǎn)在直線上移動(dòng)時(shí),求的最小值.20. 解:(1)焦點(diǎn)到直線的距離,解得 所以拋物線的方程為(2)設(shè),由(1)得拋物線的方程為,所以切線,的斜率分別為,所以: : 聯(lián)立可得點(diǎn)的坐標(biāo)為,即,又因?yàn)榍芯€的斜率為,整理得直線的斜率所以直線的方程為整理得,即因?yàn)辄c(diǎn)為直線上的點(diǎn),所以,即所以直線的方程為(3)根據(jù)拋物線的定義,有,所以由(2)得,所以 所以當(dāng)時(shí),的最小值為21.(本小題滿分14分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.21. 解:(1)當(dāng)時(shí),令,解得,所以隨的變化情況如下表:000極大值極小值所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和,單調(diào)減區(qū)間為(2),解得,令,所以在上是增函數(shù)所以,即所以隨的變化情況如下表:0極小值,因?yàn)?,所以對任意的,的圖象恒在下方,所以所以,即所以函數(shù)在上的最大值