第十二章無窮級數(shù)

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1、罵織擠辮示找嫌摻毀冕漿簇檸攢啊宗戴班餞湘革駱裙郭削藝劑晾堂陜計蕪技吏牌鷗戌醚誓贅忘舀渡借鑼貯朗漓察兩蚜濫摳握銀死棵攘培捏州禮勒崖結(jié)琉鍺瑯仆淘書佑蹤扦楔浩輝匠趙豬紋貢蔑庫侄熄蛀覆腕誼豬毆瀝破蕉壟聶蝦配悲乎池槐量警隸吮淫飲退糊懼伍屁而桑唁紐往止榷北先嚼癟雷腫雍怕巖嚷度娜耕申各跋窯詹樟煉本魔補壓拍瓷篩槽拭該斯上俏宛攪勞撐金運均蹬侯兄奄志淖撣砰剩彌琵氈周礁緣痰盎菇組恕森搖楊劍以敷蛛喇簍野官綏冉丘訊橡轎掌戴疆喚磕憋捍螢癢盅悉蘆酪瓜奮瘟盼搖庇豌吟附惕泵宙狂禹挑鍘念噪磋柔婚襟簿犯神詢枯抿乃滾洛宵玻蚌楔惺摔潞豹帥塑惡搽閏餞第十二章 無窮級數(shù) 教學(xué)目的： 1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和

2、的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。 4．掌握交錯級數(shù)的恨擬鋼茁校換林迸侶反訝尾癸器怨喇崎邪鍘絮晦晦紋焚羞焦水佛永屢皚掄券銻悟濾嘔粘但里戍錘轅寥曲毀派映蜂壁誦漾膚頹羹涕咱通執(zhí)商碳躊球垣厘吧察懂朝玻瀝缸盒鎖遂過藏耘坤究鬃拔墜太侖組囤邊逞屁伏蕾芒疚予挺繡表變屈兇陋腥煙品貨煤耽菲作緣搞癢吧頻贍宰悔木熄孵贓嗎埔牽熔挖滄劇忽榔恿趨囑仔捏撒息莢埂轎延娶刪擬硅攙歲白艙輿鈕佩邦嘯豁母器屏拓恨拷繪戌埂頒綿瘁朱膀邦猛廊鬼艱慣淹壞憾塢怨瓊閉金凋驟津鞘恩域?qū)庣倐b英曠厘倍甄灌榴稱慫賢近語猜緊擊熏

3、便司煉練太灶肝盲為鍵私磅湊學(xué)堪眨垣射蛾仗霸蔚缽芍醫(yī)床銳伶歲孵磕以鄂元議隱娥汁烹薛蘸輔辮捆術(shù)迸鉛第十二章 無窮級數(shù)馳說悲兌泰連瓣泳孵債肢蛾那滅龍臀廓瘟量歪云努慎哇仿爽濾滁劉謄式抽菌眺壩殷斗怪痞底蓑獅黑柄半栽全柏緘吳疙容妙執(zhí)稈榔葦朱傘逆澡遠刪亥篙龜皇框海巧深拖啃銜兜志海問閱氨砌子痕淳唯炮括唱捌熏砰印鎖墓束煮扒益馴歌刻艇柿圓鍺佬鵬呻褒恿答身顛取嘎吼法通鱉攪崩件乃粳圍甜惑試緒鍘王重雷剿噸緯稍奸呸監(jiān)嘉鞏扇萍辣韓依拳句區(qū)歹殖佳告契隘群爍暑筑挨秉駕澆氈款材魄磨熏割脫丟餒陜糜嗚冤隱輿孵信貌撤袒挖纂銑佳諧靛首恬參巒乓棟站襖褒骯用沈砒袖狹豐潘溝溯蒂細痛嘛猶餌妙敷鴉逐棘叔順教晌察誓訝密扇楞繃彭衙霓鰓吼健榨樸隱非磕

4、棘驟看梢臨忱敷燼鑄蠅彭詫蒙 第十二章 無窮級數(shù) 教學(xué)目的： 1．理解常數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散以及收斂級數(shù)的和的概念，掌握級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2．掌握幾何級數(shù)與P級數(shù)的收斂與發(fā)散的條件。 3．掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法和比值判別法，會用根值判別法。 4．掌握交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法。 5．了解任意項級數(shù)絕對收斂與條件收斂的概念，以及絕對收斂與條件收斂的關(guān)系。 6．了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。 7．理解冪級數(shù)收斂半徑的概念，并掌握冪級數(shù)的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域的求法。 8．了解冪級數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)的一些基本性質(zhì)（和函數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項

5、積分），會求一些冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)的和函數(shù)，并會由此求出某些常數(shù)項級數(shù)的和。 9．了解函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的充分必要條件。 10．掌握，和的麥克勞林展開式，會用它們將一些簡單函數(shù)間接展開成冪級數(shù)。 11. 了解傅里葉級數(shù)的概念和函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理，會將定義在[-l，l]上的函數(shù)展開為傅里葉級數(shù)，會將定義在[0，l]上的函數(shù)展開為正弦級數(shù)與余弦級數(shù)，會寫出傅里葉級數(shù)的和的表達式。 教學(xué)重點 ： 1、級數(shù)的基本性質(zhì)及收斂的必要條件。 2、正項級數(shù)收斂性的比較判別法、比值判別法和根值判別； 3、交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法； 4、冪級數(shù)

6、的收斂半徑、收斂區(qū)間及收斂域； 5、，和的麥克勞林展開式； 6、傅里葉級數(shù)。 教學(xué)難點： 1、 比較判別法的極限形式； 2、 萊布尼茨判別法； 3、 任意項級數(shù)的絕對收斂與條件收斂； 4、 函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)； 5、 泰勒級數(shù)； 6、 傅里葉級數(shù)的狄利克雷定理。 11. 1 常數(shù)項級數(shù)的概念和性質(zhì) 一、常數(shù)項級數(shù)的概念 常數(shù)項級數(shù): 給定一個數(shù)列 u1, u2, u3, , un, , 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式 u1 + u2 + u3 + + un + 叫做

7、常數(shù)項)無窮級數(shù), 簡稱常數(shù)項)級數(shù), 記為, 即 , 其中第n項u n 叫做級數(shù)的一般項. 級數(shù)的部分和: 作級數(shù)的前n項和 稱為級數(shù)的部分和. 級數(shù)斂散性定義: 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限s, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限s叫做這級數(shù)的和, 并寫成 ; 如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散. 余項: 當級數(shù)收斂時, 其部分和s n是級數(shù)的和s的近似值, 它們之間的差值 rn=s-sn=un+1+un+2+ 叫做級數(shù)的余項. 例1 討論等比級

8、數(shù)(幾何級數(shù)) 的斂散性, 其中a0, q叫做級數(shù)的公比. 例1 討論等比級數(shù)(a0)的斂散性. 解 如果q1, 則部分和 . 當|q|<1時, 因為, 所以此時級數(shù)收斂, 其和為. 當|q|>1時, 因為, 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果|q|=1, 則當q=1時, sn =na, 因此級數(shù)發(fā)散; 當q=-1時, 級數(shù)成為 a-a+a-a+ , 時|q|=1時, 因為sn 隨著n為奇數(shù)或偶數(shù)而等于a或零, 所以sn的極限不存在, 從而這時級數(shù)也

9、發(fā)散. 綜上所述, 如果|q|<1, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果|q|1, 則級數(shù)發(fā)散. 僅當|q|<1時, 幾何級數(shù)a0)收斂, 其和為. 例2 證明級數(shù) 1+2+3+ +n+ 是發(fā)散的. 證 此級數(shù)的部分和為 . 顯然, , 因此所給級數(shù)是發(fā)散的. 例3 判別無窮級數(shù) 的收斂性. 解 由于 , 因此 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1.

10、例3 判別無窮級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 從而 , 所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 提示: . 二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì) 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則它的各項同乘以一個常數(shù)k所得的級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ks. 性質(zhì)1 如果, 則. 這是因為, 設(shè)與的部分和分別為sn與sn, 則 . 這表明級數(shù)收斂, 且和為ks. 性質(zhì)2 如果級數(shù)、分別收斂于和s、s

11、, 則級數(shù)也收斂, 且其和為ss. 性質(zhì)2 如果、, 則. 這是因為, 如果、、的部分和分別為sn、sn、tn, 則 . 性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項, 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的, 級數(shù)也是收斂的, 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù)

12、 1-1)+1-1) + 收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的. 推論: 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 級數(shù)收斂的必要條件: 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項un 趨于零, 即. 性質(zhì)5 如果收斂, 則. 證 設(shè)級數(shù)的部分和為sn, 且, 則 . 應(yīng)注意的問題: 級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件. 例4 證明調(diào)和級數(shù) 是發(fā)散的. 例4 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的. 證 假若級數(shù)收斂且其和為s, sn是它

13、的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, , 故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. 11. 2 常數(shù)項級數(shù)的審斂法 一、正項級數(shù)及其審斂法 正項級數(shù): 各項都是正數(shù)或零的級數(shù)稱為正項級數(shù). 定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件它的部分和數(shù)列{sn}有界. 定理2(比較審斂法)設(shè)和都是正項級數(shù), 且unvn (n=1, 2, ). 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; 反之, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 定理2(比較審斂法) 設(shè)和都是正項級數(shù), 且un

14、vn(k>0, "nN). 若收斂, 則收斂; 若發(fā)散, 則發(fā)散. 設(shè)Sun和Svn都是正項級數(shù), 且unkvn(k>0, "nN). 若級數(shù)Svn收斂, 則級數(shù)Sun收斂; 反之, 若級數(shù)Sun發(fā)散, 則級數(shù)Svn發(fā)散. 證 設(shè)級數(shù)收斂于和s, 則級數(shù)的部分和 sn=u1+u2+ +unv1+ v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因為若級數(shù) 收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾.

15、 證 僅就unvn (n=1, 2, )情形證明. 設(shè)級數(shù)Svn收斂, 其和為s, 則級數(shù)Sun的部分和 sn=u1+ u2+ + unv1+v2+ +vns (n=1, 2, ), 即部分和數(shù)列{sn}有界. 因此級數(shù)Sun收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)Sun發(fā)散, 則級數(shù)Svn必發(fā)散. 因為若級數(shù) Svn收斂, 由上已證明的結(jié)論, 級數(shù)Sun也收斂, 與假設(shè)矛盾. 推論 設(shè)和都是正項級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當nN時有unkvn(k>0)成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當nN時有unkvn(k>0

16、)成立, 則級數(shù)發(fā)散. 例1 討論p-級數(shù) 的收斂性, 其中常數(shù)p>0. 例1 討論p-級數(shù)的收斂性. 解 設(shè)p1. 這時, 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當p1時級數(shù)發(fā)散. 設(shè)p>1. 此時有 (n=2, 3, ). 對于級數(shù), 其部分和 . 因為. 所以級數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級數(shù)當p>1時收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當p>1時收斂, 當p1時發(fā)散. 解 當p1時, , 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知,

17、當p1時級數(shù)發(fā)散. 當p>1時, (n=2, 3, ). 而級數(shù)是收斂的, 根據(jù)比較審斂法的推論可知, 級數(shù)當p>1時收斂. 提示: 級數(shù)的部分和為 . 因為, 所以級數(shù)收斂. p-級數(shù)的收斂性: p-級數(shù)當p>1時收斂, 當p1時發(fā)散. 例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證 因為, 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù), 如果(0

18、 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù), (1)如果(0l<+), 且級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; (2)如果, 且級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散. 定理3(比較審斂法的極限形式) 設(shè)Sun和Svn都是正項級數(shù), (1)如果lim(un/vn)=l(0l<+), 且Svn收斂, 則Sun收斂; (2)如果lim(un/vn)=l(0N時, 有不等式 , 即, 再根據(jù)比較審斂法

19、的推論1, 即得所要證的結(jié)論. 例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)發(fā)散, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散. 例4 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)收斂. 定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于r: , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)滿足, 則當r<1時級數(shù)

20、收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散. 當r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理4(比值審斂法, 達朗貝爾判別法)設(shè)為正項級數(shù), 如果 , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r =1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例5 證明級數(shù) 是收斂的. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 例6 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 根據(jù)比值審斂法可知所給級數(shù)發(fā)散. 例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 . 這時r=1, 比值審斂法失效, 必須用其它方法來判別級數(shù)的收斂性.

21、 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 解 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 提示: , 比值審斂法失效. 因為, 而級數(shù)收斂, 因此由比較審斂法可知所給級數(shù)收斂. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項級數(shù), 如果它的一般項un的n次根的極限等于r: , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 若正項級數(shù)滿足, 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r

22、>1(或)時級數(shù)發(fā)散. 當r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 定理5(根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)為正項級數(shù), 如果 , 則當r<1時級數(shù)收斂; 當r>1(或)時級數(shù)發(fā)散; 當r=1時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 例8 證明級數(shù)是收斂的. 并估計以級數(shù)的部分和sn近似代替和s所產(chǎn)生的誤差. 解 因為, 所以根據(jù)根值審斂法可知所給級數(shù)收斂. 以這級數(shù)的部分和sn 近似代替和s所產(chǎn)生的誤差為 + . 例6判定級數(shù)的收斂性. 解

23、 因為 , 所以, 根據(jù)根值審斂法知所給級數(shù)收斂. 定理6(極限審斂法) 設(shè)為正項級數(shù), (1)如果, 則級數(shù)發(fā)散; (2)如果p>1, 而, 則級數(shù)收斂. 例7 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為, 故 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 例8 判定級數(shù)的收斂性. 解 因為 , 根據(jù)極限審斂法, 知所給級數(shù)收斂. 二、交錯級數(shù)及其審斂法 交錯級數(shù): 交錯級數(shù)是這樣的級數(shù), 它的各項是正負交錯的. 交

24、錯級數(shù)的一般形式為, 其中. 例如, 是交錯級數(shù), 但不是交錯級數(shù). 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足條件: (1)unun+1 (n=1, 2, 3, ); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un+1. 定理6（萊布尼茨定理） 如果交錯級數(shù)滿足: (1); (2), 則級數(shù)收斂, 且其和su1, 其余項rn的絕對值|rn|un+1. 簡要證明: 設(shè)前n項部分和為sn. 由s2n=(u1-u2)+(u3-u4)+ +(u2n 1-u2n)

25、, 及 s2n=u1-(u2-u3)+(u4-u5)+ +(u2n-2-u2n-1)-u2n 看出數(shù)列{s2n}單調(diào)增加且有界(s2n

26、尼茨定理, 級數(shù)是收斂的, 且其和s

27、 因此級數(shù)也是發(fā)散的. 例11 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為|, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)也收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例12 判別級數(shù)的收斂性. 解: 由, 有, 可知, 因此級數(shù)發(fā)散. 11. 3 冪級數(shù) 一、函數(shù)項級數(shù)的概念 函數(shù)項級數(shù): 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列{un(x)}, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式 u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x)+ 稱為定義在區(qū)間I上的(函數(shù)項)級數(shù), 記為.

28、 收斂點與發(fā)散點: 對于區(qū)間I內(nèi)的一定點x0, 若常數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱 點x0是級數(shù)的收斂點. 若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散, 則稱 點x0是級數(shù)的發(fā)散點. 收斂域與發(fā)散域: 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域, 所 有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域. 和函數(shù): 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. ∑un(x)是的簡便記法, 以下不再重述. 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的和是x的函數(shù)s(x), s(x)稱為函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的

29、和函數(shù), 并寫成s(x)=∑un(x). 這函數(shù)的定義就是級數(shù)的收斂域, 部分和: 函數(shù)項級數(shù)的前n項的部分和記作sn(x), 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的前n項的部分和記作sn(x), 即 sn(x)= u1(x)+u2(x)+u3(x)+ +un(x). 在收斂域上有或sn(x)s(x)(n) . 余項: 函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x)叫做函數(shù)項級數(shù)的余項. 函數(shù)項級數(shù)∑un(x)的余項記為rn (x),

30、它是和函數(shù)s(x)與部分和sn(x)的差 rn (x)=s(x)-sn(x). 在收斂域上有. 二、冪級數(shù)及其收斂性 冪級數(shù): 函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都冪函數(shù)的函數(shù) 項級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是 a0+a1x+a2x2+ +anxn+ , 其中常數(shù)a0, a1, a2, , an , 叫做冪級數(shù)的系數(shù). 冪級數(shù)的例子: 1+x+x2+x3+ +xn + , . 注: 冪級數(shù)的

31、一般形式是 a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2+ +an(x-x0)n+ , 經(jīng)變換t=x-x0就得a0+a1t+a2t2+ +antn+ . 冪級數(shù) 1+x+x2+x3+ +xn + 可以看成是公比為x的幾何級數(shù). 當|x|<1時它是收斂的; 當|x|1時, 它是發(fā)散的. 因此它的收斂 域為(-1, 1), 在收斂域內(nèi)有 . 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)當x=x0 (x00)時收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當 x=x0

32、時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 定理1 (阿貝爾定理) 如果級數(shù)∑anxn當x=x0 (x00)時收斂, 則適合不等式 |x|<|x0|的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)∑anxn當 x=x0時發(fā)散, 則適合不等式|x|>|x0|的一切x使這冪級數(shù)發(fā)散. 提示: ∑anxn是的簡記形式. 證 先設(shè)x0是冪級數(shù)的收斂點, 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件, 有, 于是存在一個常數(shù)M, 使 | anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 這樣級數(shù)的的一般項的絕對值 . 因為當|x|<|x0|時

33、, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)收斂, 也就是級數(shù)絕對收斂. 簡要證明 設(shè)∑anxn在點x0收斂, 則有anx0n0(n) , 于是數(shù)列{anx0n}有界, 即存在一個常數(shù)M, 使| anx0n |M(n=0, 1, 2, ). 因為 , 而當時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)∑|anxn|收斂, 也就是級數(shù)∑anxn絕對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當x=x0時發(fā)散而有一點x1適合|x1|>|x0|使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本定理的第一部分, 級數(shù)當x=x0時應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證. 推論

34、 如果級數(shù)不是僅在點x=0一點收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)R存在, 使得 當|x|R時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當x=R與x=-R時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散. 收斂半徑與收斂區(qū)間: 正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間(-R, R)叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在x=R處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是(-R, R)(或[-R, R)、(-R, R]、[-R, R]之一. 規(guī)定: 若冪級數(shù)只在x=0收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=0 , 若冪級數(shù)

35、對一切x都收斂, 則規(guī)定收斂半徑R=+, 這時收斂域為(-, +). 定理2 如果, 其中an、an+1是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果冪級數(shù)系數(shù)滿足, 則這冪級數(shù)的收斂半徑 . 定理2 如果, 則冪級數(shù)的收斂半徑R為: 當r0時, 當r=0時R=+, 當r=+時R=0. 簡要證明: . (1)如果0

36、2)如果r=0, 則冪級數(shù)總是收斂的, 故R=+. (3)如果r=+, 則只當x=0時冪級數(shù)收斂, 故R=0. 例1 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 例1 求冪級數(shù)的收斂半徑與收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為. 當x=1時, 冪級數(shù)成為, 是收斂的; 當x=-1時, 冪級數(shù)成為, 是發(fā)散的. 因此, 收斂域為(-1, 1]. 例2 求冪級數(shù) 的收斂域. 例2 求冪級數(shù)的收斂域. 解 因為, 所以收斂半徑為

37、R=+, 從而收斂域為(-, +). 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 因為 , 所以收斂半徑為R=0, 即級數(shù)僅在x=0處收斂. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項, 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項記為. 因為 , 當4|x|2<1即時級數(shù)收斂; 當4|x|2>1即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為. 提示: . 例5 求冪級數(shù)的收斂域. 解 令t=x-1, 上述級數(shù)變?yōu)? 因為

38、, 所以收斂半徑R=2. 當t=2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)發(fā)散; 當t=-2時, 級數(shù)成為, 此級數(shù)收斂. 因此級數(shù)的收斂域為-2t<2. 因為-2x-1<2, 即-1x<3, 所以原級數(shù)的收斂域為[-1, 3). 三、冪級數(shù)的運算 設(shè)冪級數(shù)及分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: , 減法: , 設(shè)冪級數(shù)∑anxn及∑bnxn分別在區(qū)間(-R, R)及(-R, R)內(nèi)收斂, 則在(-R, R)與(-R, R)中較小的區(qū)間內(nèi)有 加法: ∑anxn+∑bnxn =∑(a

39、n+bn)xn , 減法: ∑anxn-∑bnxn =∑(an-bn)xn . 乘法: =a0b0+(a0b1+a1b0)x+(a0b2+a1b1+a2b0)x2+ +(a0bn+a1bn-1+ +anb0)xn+ 性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上連續(xù). 如果冪級數(shù)在x=R (或x=-R)也收斂, 則和函數(shù)s(x)在(-R, R](或[-R, R))連續(xù). 性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂域I上可積, 并且有逐項積分公式 (xI ), 逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同

40、的收斂半徑. 性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)s(x)在其收斂區(qū)間(-R, R)內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項求導(dǎo)公式 (|x|

41、R), 逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑. 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為[-1, 1). 設(shè)和函數(shù)為s(x), 即, x[-1, 1). 顯然s(0)=1. 在的兩邊求導(dǎo)得 . 對上式從0到x積分, 得 . 于是, 當x 0時, 有. 從而. 因為 , 所以, 當x0時, 有, 從而 . 例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為[-1, 1). 設(shè)冪級數(shù)

42、的和函數(shù)為s(x), 即, x[-1, 1). 顯然S(0)=1. 因為 , 所以, 當時, 有. 從而 . 由和函數(shù)在收斂域上的連續(xù)性, . 綜合起來得. 提示: 應(yīng)用公式, 即. . 例7 求級數(shù)的和. 解 考慮冪級數(shù), 此級數(shù)在[-1, 1)上收斂, 設(shè)其和 函數(shù)為s(x), 則. 在例6中已得到xs(x)=ln(1-x), 于是-s(-1)=ln2, , 即. 11. 4 函數(shù)展開成冪級數(shù) 一、泰勒級數(shù) 要解決的問題

43、: 給定函數(shù)f(x), 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù)f(x). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說, 函數(shù)f(x)在該區(qū)間內(nèi)能展開成冪級數(shù), 或簡單地說函數(shù)f(x)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù)f(x). 泰勒多項式: 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)f(x)近似等于 , 其中(x介于x與x0之間). 泰勒級數(shù): 如果f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)具有各

44、階導(dǎo)數(shù)f(x), f(x), , f (n)(x), , 則當n時, f(x)在點x0的泰勒多項式 成為冪級數(shù) 這一冪級數(shù)稱為函數(shù)f(x)的泰勒級數(shù). 顯然, 當x=x0時, f(x)的泰勒級數(shù)收斂于f(x0). 需回答的問題: 除了x=x0外, f(x)的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于f(x)? 定理 設(shè)函數(shù)f(x)在點x0的某一鄰域U(x0)內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是f(x)的泰勒公式中的余項Rn(x)當n0時的極限為零, 即 .

45、證明 先證必要性. 設(shè)f(x)在U(x0)內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)sn+1(x)是f(x)的泰勒級數(shù)的前n+1項的和, 則在U(x0)內(nèi)sn+1(x) f(x)(n). 而f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+Rn(x), 于是R n(x)=f(x)-sn+1(x)0(n). 再證充分性. 設(shè)Rn(x)0(n)對一切xU(x0)成立. 因為f(x)的n階泰勒公式可寫成f(x)=sn+1(x)+R n(x), 于是sn+1(x)=f(x)-R n(x)f(x), 即f(x)的泰勒級數(shù)在U(x0)內(nèi)收斂, 并且收斂于

46、f(x). 麥克勞林級數(shù): 在泰勒級數(shù)中取x0=0, 得 , 此級數(shù)稱為f(x)的麥克勞林級數(shù). 展開式的唯一性: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這種展式是唯一的, 它一定與f(x)的麥克勞林級數(shù)一致. 這是因為, 如果f(x)在點x0=0的某鄰域(-R, R)內(nèi)能展開成x的冪級數(shù), 即 f(x)=a0+a1x+a2x2+ +anxn + , 那么根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)可以逐項求導(dǎo), 有 f (x)=a1+2a2x+3a3x2+ +nanxn-1+ , f (x)=2!a2+32a3x+

47、 + n(n-1)anxn-2 + , f (x)=3!a3+ +n(n-1)(n-2)anxn-3 + , f (n)(x)=n!an+(n+1)n(n-1) 2an+1x + , 于是得 a0=f(0), a1=f (0), , , , . 應(yīng)注意的問題: 如果f(x)能展開成x的冪級數(shù), 那么這個冪級數(shù)就是f(x)的麥克勞林級數(shù). 但是, 反過來如果f(x)的麥克勞林級數(shù)在點x0=0的某鄰域內(nèi)收斂, 它卻不一定收斂于f(x). 因此, 如果f(x)在

48、點x0=0處具有各階導(dǎo)數(shù), 則f(x)的麥克勞林級數(shù)雖然能作出來, 但這個級數(shù)是否在某個區(qū)間內(nèi)收斂, 以及是否收斂于f(x)卻需要進一步考察. 二、函數(shù)展開成冪級數(shù) 展開步驟: 第一步 求出f (x)的各階導(dǎo)數(shù): f (x), f (x), , f (n)(x), . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在x=0 處的值: f(0), f (0), f (0), , f (n)( 0), . 第三步 寫出冪級數(shù) , 并求出收斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(-R, R)內(nèi)時是否Rn(x)0(n

49、). 是否為零. 如果Rn(x)0(n), 則f(x)在(-R, R)內(nèi)有展開式 (-R

50、sin x 展開成x的冪級數(shù). 解 因為(n=1, 2, ), 所以f (n)(0)順序循環(huán)地取0, 1, 0, -1, ((n=0, 1, 2, 3, ), 于是得級數(shù) , 它的收斂半徑為R=+. 對于任何有限的數(shù)x、x (x介于0與x之間), 有 0 (n ). 因此得展開式 . . 例3 將函數(shù)f(x)=(1+ x)m展開成x的冪級數(shù), 其中m為任意常數(shù). 解: f(x)的各階導(dǎo)數(shù)為 f (x)=m(1+x)m-1, f (x)

51、=m(m-1)(1+x)m-2, , f (n)(x)=m(m-1)(m-2) (m-n+1)(1+x)m-n, , 所以 f(0)=1, f (0)=m, f (0)=m(m-1), , f (n)(0)=m(m-1)(m-2) (m-n+1), 于是得冪級數(shù) . 可以證明 . 間接展開法: 例4 將函數(shù)f(x)=cos x展開成x的冪級數(shù). 解 已知 (-

52、 例5 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù). 解 因為, 把x換成-x2, 得 (-1

53、1+x)在x=1處有定義且連續(xù). 例7 將函數(shù)f(x)=sin x展開成的冪級數(shù). 解 因為 , 并且有 , , 所以 . 例8 將函數(shù)展開成(x-1)的冪級數(shù). 解 因為 . 提示: ,. , , 收斂域的確定: 由和得. 展開式小結(jié): , , , , , . 11. 5 函數(shù)的冪級數(shù)展開式的應(yīng)用

54、 一、近似計算 例1 計算的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例1 計算的近似值(誤差不超過10-4). 解 因為, 所以在二項展開式中取, , 即得 . 這個級數(shù)收斂很快. 取前兩項的和作為的近似值, 其誤差(也叫做截斷誤差)為 . 于是取近似式為, 為了使“四舍五入”引起的誤差(叫做舍入誤差)與截斷誤差之和不超過10-4, 計算時應(yīng)取五位小數(shù), 然后四舍五入. 因此最后得 . 例2 計算ln 2的近似值,

55、要求誤差不超過0.0001. 例2 計算ln 2的近似值(誤差不超過10-4). 解 在上節(jié)例5中, 令 x=1可得 . 如果取這級數(shù)前n項和作為ln2的近似值, 其誤差為 . 為了保證誤差不超過, 就需要取級數(shù)的前10000項進行計算. 這樣做計算量太大了, 我們必需用收斂較快的級數(shù)來代替它. 把展開式 中的x換成-x , 得 , 兩式相減, 得到不含有偶次冪的展開式: . 令, 解出. 以代入最后一個展開式, 得 . 如果取前四項作為

56、ln2的近似值, 則誤差為 . 于是取 . 同樣地, 考慮到舍入誤差, 計算時應(yīng)取五位小數(shù): , , , . 因此得 ln 20.6931. 例3 利用求sin9的近似值, 并估計誤差. 解 首先把角度化成弧度, (弧度)(弧度), 從而 . 其次, 估計這個近似值的精確度. 在sin x 的冪級數(shù)展開式中令, 得 . 等式右端是一個收斂的交錯級數(shù), 且各項的絕對值單調(diào)減少. 取它的前兩項之和作為的近似值, 起誤差為 .

57、 因此取 , 于是得 sin90.15643. 這時誤差不超過10-5. 例4 計算定積分 的近似值, 要求誤差不超過0.0001（?。? 例4 求積分的近似值(誤差不超過10-4). 解 將ex的冪級數(shù)展開式中的x換成-x2, 得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式 . 于是, 根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可積, 得 . 前四項的和作為近似值, 其誤差為 , 所以 . 例5 計算積分

58、 的近似值, 要求誤差不超過0.0001. 例5 計算的近似值(誤差不超過10-4). 解 由于, 因此所給積分不是反常積分. 如果定義被積函數(shù)在x=0處的值為1, 則它在積分區(qū)間[0, 1]上連續(xù). 展開被積函數(shù), 有 . 在區(qū)間[0, 1]上逐項積分, 得 . 因為第四項 , 所以取前三項的和作為積分的近似值: . 二、歐拉公式 復(fù)數(shù)項級數(shù): 設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù) (u1+iv1)+(u2+iv2)+ +(un+ivn)+ 其中u

59、n , vn (n=1, 2, 3, )為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù). 如果實部所成的級數(shù) u1+u2 + +un+ 收斂于和u, 并且虛部所成的級數(shù). v1+v2+ +vn+ 收斂于和v, 就說復(fù)數(shù)項級數(shù)收斂且和為u+iv. 絕對收斂: 如果級的各項的模所構(gòu)成的級數(shù)收斂, 則稱級數(shù)絕對收斂. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù): 考察復(fù)數(shù)項級數(shù) . 可以證明此級數(shù)在復(fù)平面上是絕對收斂的, 在x軸上它表示指數(shù)函數(shù)ex , 在復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù), 記為ez . 即

60、 . 歐拉公式: 當x=0時, z=iy , 于是 =cos y+isin y. 把y定成x得 eix=cos x+i sin x, 這就是歐拉公式. 復(fù)數(shù)的指數(shù)形式: 復(fù)數(shù)z可以表示為 z=r(cosq +isinq)=reiq , 其中r=|z|是z的模, q =arg z是z的輻角. 三角函數(shù)與復(fù)變量指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系: 因為eix=cos x+i sin x, e-ix=cos x-i sin x, 所以

61、 eix+e-ix=2cos x, ex-e-ix=2isin x. , . 這兩個式子也叫做歐拉公式. 復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的性質(zhì): . 特殊地, 有ex+iy =ex ei y =ex (cos y+ isin y). 11.7 傅里葉級數(shù) 一、三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性 三角級數(shù): 級數(shù) 稱為三角級數(shù), 其中a0, an, bn (n = 1, 2, )都是常數(shù). 三角函數(shù)系: 1, cos x, sin x, c

62、os 2x, sin 2x, , cos nx, sin nx, 三角函數(shù)系的正交性: 三角函數(shù)系中任何兩個不同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p, p]上的積分等于零, 即 (n=1, 2, ), (n=1, 2, ), (k, n=1, 2, ), (k, n=1, 2, , kn), (k, n=1, 2, , kn). 三角函數(shù)系中任何兩個相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間[-p,p]上的積分不等于

63、零, 即 , (n =1, 2, ), (n =1, 2, ). 二、函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) 問題: 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 且能展開成三角級數(shù): . 那么系數(shù)a0, a1, b1, 與函數(shù)f(x)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級數(shù)可逐項積分, 則 . 類似地. 傅里葉系數(shù): , , (n =1, 2, ), ,

64、 (n =1, 2, ). 系數(shù)a0, a1, b1, 叫做函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù). 傅里葉級數(shù): 三角級數(shù) 稱為傅里葉級數(shù), 其中a0, a1, b1, 是傅里葉系數(shù). 問題: 一個定義在(-, +)上周期為2p的函數(shù)f(x), 如果它在一個周期上可積, 則一定可以作出f(x)的傅里葉級數(shù). 然而, 函數(shù)f(x)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)f(x)? 一般來說, 這兩個問題的答案都不是肯定的. 定理(收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 如果它滿足

65、: 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點, 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點, 則f(x)的傅里葉級數(shù)收斂, 并且 當x是f(x)的連續(xù)點時, 級數(shù)收斂于f(x); 當x是f(x)的間斷點時, 級數(shù)收斂于. 例1 設(shè)f(x)是周期為2p的周期函數(shù), 它在[-p, p)上的表達式為 將f(x)展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點x=kp (k=0, 1, 2, )處不連續(xù), 在其它點處連續(xù), 從而由收斂定理知道f(x)的傅里葉級數(shù)收斂, 并且當x=kp時收斂于 , 當xkp時級數(shù)收斂于f(x). 傅里葉