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1、 學案41空間幾何體的表面積與體積導學目標： 1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺的表面積的計算公式.2.了解球、柱、錐、臺的體積的計算公式.3.培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯推理能力和計算能力，會利用所學公式進行必要的計算.4.提高認識圖、理解圖、應用圖的能力自主梳理1多面體的表面積(1)設直棱柱高為h，底面多邊形的周長為c，則S直棱柱側_.(2)設正n棱錐底面邊長為a，底面周長為c，斜高為h，則S正棱錐側_.(3)設正n棱臺下底面邊長為a，周長為c，上底面邊長為a，周長為c，斜高為h，則S正棱臺側_.(4)設球的半徑為R，則S球_.2幾何體的體積公式(1)柱體的體積V柱體_(其中S為柱體的底面面積，
2、h為高)特別地，底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積V圓柱r2h.(2)錐體的體積V錐體_(其中S為錐體的底面面積，h為高)特別地，底面半徑是r，高是h的圓錐的體積V圓錐r2h.(3)臺體的體積V臺體_(其中S，S分別是臺體上、下底面的面積，h為高)特別地，上、下底面的半徑分別是r、r，高是h的圓臺的體積V圓臺h(r2rrr2)(4)球的體積V球_(其中R為球的半徑)自我檢測1已知兩平行平面，間的距離為3，P，邊長為1的正三角形ABC在平面內(nèi)，則三棱錐PABC的體積為()A. B.C. D.2(20xx唐山月考)從一個正方體中，如圖那樣截去4個三棱錐后，得到一個正三棱錐ABCD，則它的表面積與正
3、方體表面積的比為()A.3 B.2C.6 D.63設三棱柱ABCA1B1C1的體積為V，P，Q分別是側棱AA1，CC1上的點，且PAQC1，則四棱錐BAPQC的體積為()A.V B.VC.V D.V4(20xx平頂山月考)下圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是()A9 B10C11 D125(20xx陜西)某幾何體的三視圖如下，則它的體積是()A8 B8C82 D.探究點一多面體的表面積及體積例1三棱柱的底面是邊長為4的正三角形，側棱長為3，一條側棱與底面相鄰兩邊都成60角，求此棱柱的側面積與體積變式遷移1(20xx煙臺月考)已知三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面邊長
4、都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點，則三棱柱的側面面積為_探究點二旋轉體的表面積及體積例2如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中BAC30)及其體積變式遷移2直三棱柱ABCA1B1C1的各頂點都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，則此球的表面積等于_探究點三側面展開圖中的最值問題例3如圖所示，長方體ABCDA1B1C1D1中，ABa，BCb，CC1c，并且abc0.求沿著長方體的表面自A到C1的最短線路的長變式遷移3(20xx杭州月考)如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面為直角三角形，ACB90
5、，AC6，BCCC1 .P是BC1上一動點，則CPPA1的最小值是_1有關柱、錐、臺、球的面積和體積的計算，應以公式為基礎，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關的幾何元素2當給出的幾何體比較復雜，有關的計算公式無法運用，或者雖然幾何體并不復雜，但條件中的已知元素彼此離散時，我們可采用“割”、“補”的技巧，化復雜幾何體為簡單幾何體(柱、錐、臺)，或化離散為集中，給解題提供便利(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結論的要求，分割成若干個易求體積的幾何體，進而求之(2)幾何體的“補形”：與分割一樣，有時為了計算方便，可將幾何體補成易求體積的幾何體，如長方體、正方體等另外補
6、臺成錐是常見的解決臺體側面積與體積的方法，由臺體的定義，我們在有些情況下，可以將臺體補成錐體研究體積 (滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(20xx安徽)一個空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A48 B328C488 D802已知一個球與一個正三棱柱的三個側面和兩個底面相切，若這個球的體積是，則這個三棱柱的體積是()A96 B16 C24 D483已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，長為定值的線段EF在棱AB上移動(EFbc0，abacbc0. 故最短線路的長為.變式遷移35解析將BCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示連接A1C即為CPPA1
7、的最小值，過點C作CD垂直A1C1延長線交于D，BCC1為等腰直角三角形，CD1，C1D1，A1DA1C1C1D7.A1C 5 .課后練習區(qū)1C由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長為4的正方形；上底面是長為4、寬為2的矩形；兩個梯形側面垂直于底面，上底長為2，下底長為4，高為4；另兩個側面是矩形，寬為4，長為.所以S表4224(24)4242488.2D由R3，R2.正三棱柱的高h4.設其底面邊長為a，則a2，a4.V(4)2448.3D4.B5C將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示它的四個面的面積分別為8,6,10,6，故最大的面積應為10.66解析取底面中心為O，AF
8、中點為M，連接PO、OM、PM、AO，則POOM，OMAF，PMAF，OAOP2，OM，PM.S側626.7.解析圍成圓錐筒的母線長為4 cm，設圓錐的底面半徑為r，則2r24，r1，圓錐的高h.V圓錐r2h(cm3)82R2解析方法一設圓柱的軸與球的半徑的夾角為，則圓柱高為2Rcos ，圓柱底面半徑為Rsin ，S圓柱側2Rsin 2Rcos 2R2sin 2.當sin 21時，S圓柱側最大為2R2，此時，S球表S圓柱側4R22R22R2.方法二設圓柱底面半徑為r，則其高為2.S圓柱側2r2，S圓柱側4.令S圓柱側0，得rR.當0r0；當RrR時，S0.當rR時，S圓柱側取得最大值2R2.此
9、時S球表S圓柱側4R22R22R2.方法三設圓柱底面半徑為r，則其高為2，S圓柱側2r2442R2(當且僅當r2R2r2，即rR時取“”)當rR時，S圓柱側最大為2R2.此時S球表S圓柱側4R22R22R2.9解設圓柱的底面半徑為r，母線長為h，當點C是弧的中點時，三角形ABC的面積為r2，三棱柱ABCA1B1C1的體積為r2h，三棱錐A1ABC的體積為r2h，四棱錐A1BCC1B1的體積為r2hr2hr2h，圓柱的體積為r2h，(10分)故四棱錐A1BCC1B1與圓柱的體積比為23.(12分)10(1)證明取BC的中點E，連接AE，DE，EF，ABC與DBC都是邊長為4的正三角形，AEBC，
10、DEBC.又AEDEE，BC平面AED.又AD面AED，BCAD.(6分)(2)解由已知得，AED為等腰三角形，且AEED2，設ADx，F(xiàn)為棱AD的中點，則EF，SAEDx ，(8分)VSAED(BECE) (0x4)，當x224，即x2時，Vmax8，該四面體存在最大值，最大值為8，(11分)此時棱長AD2.(12分)11(1)證明由多面體ABFEDC的三視圖知，三棱柱AEDBFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DAAE2，DA平面ABFE，面ABFE，ABCD都是邊長為2的正方形(3分)連接EB，則M是EB的中點，在EBC中，MNEC，且EC平面CDEF，MN平面CDEF，MN平面CDEF.(6分)(2)解DA平面ABFE，EF平面ABFE，EFAD.又EFAE，AEADA，EF平面ADE.又DE平面ADE，EFDE，(8分)四邊形CDEF是矩形，且平面CDEF平面DAE.取DE的中點H，連接AH，DAAE，DAAE2，AH，且AH平面CDEF.(12分)多面體ACDEF的體積VSCDEFAHDEEFAH.(14分)
高考數(shù)學 理科一輪【學案41】空間幾何體的表面積與體積含答案
