高考數(shù)學(xué) 理科一輪【學(xué)案41】空間幾何體的表面積與體積含答案

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1、 學(xué)案41　空間幾何體的表面積與體積 導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.了解球、棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積的計(jì)算公式.2.了解球、柱、錐、臺(tái)的體積的計(jì)算公式.3.培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和計(jì)算能力，會(huì)利用所學(xué)公式進(jìn)行必要的計(jì)算.4.提高認(rèn)識(shí)圖、理解圖、應(yīng)用圖的能力． 自主梳理 1．多面體的表面積 (1)設(shè)直棱柱高為h，底面多邊形的周長(zhǎng)為c，則S直棱柱側(cè)＝______. (2)設(shè)正n棱錐底面邊長(zhǎng)為a，底面周長(zhǎng)為c，斜高為h′，則S正棱錐側(cè)＝____________＝____________. (3)設(shè)正n棱臺(tái)下底面邊長(zhǎng)為a，周長(zhǎng)為c，上底面邊長(zhǎng)為a′，周長(zhǎng)為c′，斜高為h′，

2、則 S正棱臺(tái)側(cè)＝__________＝____________. (4)設(shè)球的半徑為R，則S球＝____________. 2．幾何體的體積公式 (1)柱體的體積V柱體＝______(其中S為柱體的底面面積，h為高)． 特別地，底面半徑是r，高是h的圓柱體的體積V圓柱＝πr2h. (2)錐體的體積V錐體＝________(其中S為錐體的底面面積，h為高)． 特別地，底面半徑是r，高是h的圓錐的體積V圓錐＝πr2h. (3)臺(tái)體的體積V臺(tái)體＝______________(其中S′，S分別是臺(tái)體上、下底面的面積，h為高)． 特別地，上、下底面的半徑分別是r′、r，高是h的圓臺(tái)的體

3、積V圓臺(tái)＝πh(r2＋rr′＋r′2)． (4)球的體積V球＝__________(其中R為球的半徑)． 自我檢測(cè) 1．已知兩平行平面α，β間的距離為3，P∈α，邊長(zhǎng)為1的正三角形ABC在平面β內(nèi)，則三棱錐P—ABC的體積為(　　) A. B. C. D. 2．(20xx唐山月考) 從一個(gè)正方體中，如圖那樣截去4個(gè)三棱錐后，得到一個(gè)正三棱錐A—BCD，則它的表面積與正方體表面積的比為(　　) A.∶3 B.∶2 C.∶6 D.∶6 3．設(shè)三棱柱ABC—A1B1C1的體積為V，P，Q分別是側(cè)棱AA1，CC1上的點(diǎn)，且PA＝QC1，則四棱

4、錐B—APQC的體積為(　　) A.V B.V C.V D.V 4．(20xx平頂山月考)下圖是一個(gè)幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何體的表面積是(　　) A．9π B．10π C．11π D．12π 5．(20xx陜西)某幾何體的三視圖如下，則它的體積是(　　) A．8－ B．8－ C．8－2π D. 探究點(diǎn)一　多面體的表面積及體積 例1　三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為4的正三角形，側(cè)棱長(zhǎng)為3，一條側(cè)棱與底面相鄰兩邊都成60角，求此棱柱的側(cè)面積與體積． 變式遷移1　

5、(20xx煙臺(tái)月考)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)都等于2，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則三棱柱的側(cè)面面積為_(kāi)_______． 探究點(diǎn)二　旋轉(zhuǎn)體的表面積及體積 例2　 如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積(其中∠BAC＝30)及其體積． 變式遷移2　直三棱柱ABC—A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上．若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝120，則此球的表面積等于________． 探究點(diǎn)三　側(cè)面展開(kāi)圖中的最值問(wèn)題 例3　如圖所示，長(zhǎng)方體ABCD－

6、A1B1C1D1中，AB＝a，BC＝b，CC1＝c，并且a>b>c>0.求沿著長(zhǎng)方體的表面自A到C1的最短線路的長(zhǎng)． 變式遷移3　 (20xx杭州月考)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面為直角三角形，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝CC1＝ .P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，則CP＋PA1的最小值是________． 1．有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． 2．當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們

7、可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利．(1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之．(2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積． (滿分：75分) 一、選擇題(每小題5分，共25分) 1．(20xx安徽)一個(gè)空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．48

8、 B．32＋8 C．48＋8 D．80 2．已知一個(gè)球與一個(gè)正三棱柱的三個(gè)側(cè)面和兩個(gè)底面相切，若這個(gè)球的體積是，則這個(gè)三棱柱的體積是(　　) A．96 B．16 C．24 D．48 3．已知正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，長(zhǎng)為定值的線段EF在棱AB上移動(dòng)(EF

9、 A．πa2 B.πa2 C.πa2 D．5πa2 5．(20xx北京)某四面體的三視圖如圖所示，該四面體四個(gè)面的面積中最大的是(　　) A．8 B．6 C．10 D．8 二、填空題(每小題4分，共12分) 6．(20xx馬鞍山月考)如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐P—ABCDEF，則此正六棱錐的側(cè)面積是________． 7．(20xx淄博模擬)一塊正方形薄鐵片的邊長(zhǎng)為4 cm，以它的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，一邊長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，沿弧剪下一個(gè)扇形(如圖)，用這塊扇形鐵片圍成一個(gè)圓錐筒，則這個(gè)圓錐筒的容積等于________cm3.

10、 8．(20xx四川)如圖，半徑為R的球O中有一內(nèi)接圓柱．當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時(shí)，球的表面積與該圓柱的側(cè)面積之差是________． 三、解答題(共38分) 9．(12分)(20xx佛山模擬)如圖組合體中，三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面ABB1A1是圓柱的軸截面， C是圓柱底面圓周上不與A、B重合的一個(gè)點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)C是弧AB的中點(diǎn)時(shí)，求四棱錐A1—BCC1B1與圓柱的體積比． 10．(12分) (20xx撫順模擬)如圖，四面體ABCD中，△ABC與△DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形． (1)求證：BC⊥AD； (2)試問(wèn)該四

11、面體的體積是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值及此時(shí)棱長(zhǎng)AD的大小；若不存在，說(shuō)明理由． 11．(14分)(20xx錦州期末)如圖，多面體ABFEDC的直觀圖及三視圖如圖所示，M，N分別為AF，BC的中點(diǎn)． (1)求證：MN∥平面CDEF； (2)求多面體A—CDEF的體積． 學(xué)案41　空間幾何體的表面積與體積 自主梳理 1．(1)ch　(2)nah′　ch′　(3)n(a＋a′)h′　(c＋c′)h′　(4)4πR2　2.(1)Sh　(2)Sh　(3)h(S＋＋S′)　(4)πR3 自我檢測(cè) 1．D　[

12、由題意，S△ABC＝，三棱錐的高h(yuǎn)＝3， ∴V三棱錐P—ABC＝Sh＝.] 2．A　[設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，則正四面體棱長(zhǎng)AB＝a， ∴S正四面體表＝4(a)2＝2a2. ∵S正方體表＝6a2，∴四面體的表面積與正方體表面積的比為∶3.] 3．C 4. D　[據(jù)三視圖可知該幾何體由球和圓柱體組成，如圖所示， 故該幾何體的表面積為S＝S圓柱＋S球＝2π＋6π＋4π＝12π.] 5．A　[由三視圖可知該幾何體是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體內(nèi)部挖去一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓錐，所以V＝23－π2＝8－，故選A.] 課堂活動(dòng)區(qū) 例1　解題導(dǎo)引　對(duì)于斜棱柱表面積及體積的求解必須求各個(gè)側(cè)面

13、的面積和棱柱的高． 解決此類斜棱柱側(cè)面積問(wèn)題的關(guān)鍵：在已知棱柱高的條件下，用線面垂直?線線垂直的方法作出各個(gè)側(cè)面的高，并在相應(yīng)的直角三角形中求解側(cè)面的高． 解　 如圖，過(guò)點(diǎn)A1作A1O⊥面ABC于點(diǎn)O，連接AO. 過(guò)點(diǎn)A1作A1E⊥AB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)A1作A1F⊥AC于點(diǎn)F，連接EO，F(xiàn)O，易得OE⊥AB，OF⊥AC， ∵AA1和AB與AC都成60角， ∴△A1AE≌△A1AF，∴A1E＝A1F. ∵A1O⊥面ABC，∴EO＝FO. ∴點(diǎn)O在∠BAC的角平分線上，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D， ∵△ABC是正三角形， ∴BC⊥AD.∴BC⊥AA1. ∵AA1∥BB1，∴側(cè)面BB

14、1C1C是矩形， ∴三棱柱的側(cè)面積為S＝234sin 60＋34＝12＋12. ∵AA1＝3，AA1與AB和AC都成60角， ∴AE＝.∵∠BAO＝30， ∴AO＝，A1O＝. ∴三棱柱的體積為V＝16＝12. 變式遷移1　2＋4 解析　 如圖所示，設(shè)D為BC的中點(diǎn)，連接A1D，AD. ∵△ABC為等邊三角形，∴AD⊥BC，∴BC⊥平面A1AD， ∴BC⊥A1A， 又∵A1A∥B1B，∴BC⊥B1B， 又∵側(cè)面與底面邊長(zhǎng)都等于2， ∴四邊形BB1C1C是正方形，其面積為4. 作DE⊥AB于E，連接A1E，則AB⊥A1E， 又∵AD＝＝，DE＝＝， ∴AE＝＝

15、， ∴A1E＝＝， ∴S四邊形ABB1A1＝，∴S三棱柱側(cè)＝2＋4. 例2　解題導(dǎo)引　解決這類題的關(guān)鍵是弄清楚旋轉(zhuǎn)后所形成的圖形的形狀，再將圖形進(jìn)行合理的分割，然后利用有關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算．求全面積時(shí)不要忘記“內(nèi)表面”． 解　如圖所示，過(guò)C作CO1⊥AB于O1， 在半圓中可得∠BCA＝90， ∠BAC＝30， AB＝2R， ∴AC＝R，BC＝R，CO1＝R， ∴S球＝4πR2， S圓錐AO1側(cè)＝πRR ＝πR2， S圓錐BO1側(cè)＝πRR＝πR2， ∴S幾何體表＝S球＋S圓錐AO1側(cè)＋S圓錐BO1側(cè) ＝πR2＋πR2＝πR2， ∴旋轉(zhuǎn)所得到的幾何體的表面積為πR2.

16、 又V球＝πR3，V圓錐AO1＝AO1πCO ＝πR2AO1， V圓錐BO1＝BO1πCO＝πR2BO1， ∴V幾何體＝V球－(V圓錐AO1＋V圓錐BO1) ＝πR3－πR3＝πR3. 變式遷移2　20π 解析　在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120，可得BC＝2，由正弦定理，可得△ABC外接圓的半徑r＝2，設(shè)此圓圓心為O′，球心為O，在Rt△OBO′中，易得球半徑R＝，故此球的表面積為4πR2＝20π. 例3　解題導(dǎo)引　本題可將長(zhǎng)方體表面展開(kāi)，利用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)是兩點(diǎn)間的最短距離來(lái)解答． 解　將長(zhǎng)方體相鄰兩個(gè)面展開(kāi)有下列三種可能， 如圖所示． 三個(gè)圖形

17、甲、乙、丙中AC1的長(zhǎng)分別為： ＝， ＝， ＝， ∵a>b>c>0，∴ab>ac>bc>0. 故最短線路的長(zhǎng)為. 變式遷移3　5 解析　將△BCC1沿BC1線折到面A1C1B上，如圖所示． 連接A1C即為CP＋PA1的最小值，過(guò)點(diǎn)C作CD垂直A1C1延長(zhǎng)線交于D，△BCC1為等腰直角三角形， ∴CD＝1，C1D＝1，A1D＝A1C1＋C1D＝7. ∴A1C＝＝ ＝5 . 課后練習(xí)區(qū) 1．C　[ 由三視圖知該幾何體的直觀圖如圖所示，該幾何體的下底面是邊長(zhǎng)為4的正方形；上底面是長(zhǎng)為4、寬為2的矩形；兩個(gè)梯形側(cè)面垂直于底面，上底長(zhǎng)為2，下底長(zhǎng)為4，高為4；另兩個(gè)側(cè)

18、面是矩形，寬為4，長(zhǎng)為＝.所以S表＝42＋24＋(2＋4)42＋42＝48＋8.] 2．D　[由πR3＝，∴R＝2.∴正三棱柱的高h(yuǎn)＝4.設(shè)其底面邊長(zhǎng)為a，則a＝2，∴a＝4. ∴V＝(4)24＝48.] 3．D　4.B 5．C　[將三視圖還原成幾何體的直觀圖如圖所示． 它的四個(gè)面的面積分別為8,6,10,6，故最大的面積應(yīng)為10. 6．6 解析　取底面中心為O，AF中點(diǎn)為M，連接PO、OM、PM、AO，則PO⊥OM， OM⊥AF，PM⊥AF， ∵OA＝OP＝2，∴OM＝， PM＝＝. ∴S側(cè)＝62＝6. 7.π 解析　圍成圓錐筒的母線長(zhǎng)為4 cm， 設(shè)圓錐

19、的底面半徑為r，則2πr＝2π4， ∴r＝1，∴圓錐的高h(yuǎn)＝＝. ∴V圓錐＝πr2h＝π(cm3)． 8．2πR2 解析　方法一　設(shè)圓柱的軸與球的半徑的夾角為α，則圓柱高為2Rcos α，圓柱底面半徑為Rsin α，∴S圓柱側(cè)＝2πRsin α2Rcos α＝2πR2sin 2α.當(dāng)sin 2α＝1時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2πR2，此時(shí)，S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 方法二　設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2. ∴S圓柱側(cè)＝2πr2， S′圓柱側(cè)＝4π－. 令S′圓柱側(cè)＝0，得r＝R. 當(dāng)00； 當(dāng)R

20、側(cè)取得最大值2πR2. 此時(shí)S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 方法三　設(shè)圓柱底面半徑為r，則其高為2， ∴S圓柱側(cè)＝2πr2＝4π ≤4π＝2πR2(當(dāng)且僅當(dāng)r2＝R2－r2，即r＝R時(shí)取“＝”)． ∴當(dāng)r＝R時(shí)，S圓柱側(cè)最大為2πR2. 此時(shí)S球表－S圓柱側(cè)＝4πR2－2πR2＝2πR2. 9．解　設(shè)圓柱的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為h， 當(dāng)點(diǎn)C是弧的中點(diǎn)時(shí)，三角形ABC的面積為r2，三棱柱ABC—A1B1C1的體積為r2h，三棱錐A1—ABC的體積為r2h，四棱錐A1—BCC1B1的體積為r2h－r2h＝r2h，圓柱的體積為πr2h，(10分) 故四棱錐A1—B

21、CC1B1與圓柱的體積比為2∶3π. (12分) 10．(1)證明　取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，EF， ∵△ABC與△DBC都是邊長(zhǎng)為4的正三角形， ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又AE∩DE＝E， ∴BC⊥平面AED.又AD?面AED， ∴BC⊥AD.(6分) (2)解　由已知得，△AED為等腰三角形，且AE＝ED＝2，設(shè)AD＝x，F(xiàn)為棱AD的中點(diǎn)， 則EF＝， S△AED＝x ＝，(8分) V＝S△AED(BE＋CE)＝ (0

22、 11．(1)證明　由多面體ABFEDC的三視圖知，三棱柱AED—BFC中，底面DAE是等腰直角三角形，DA＝AE＝2，DA⊥平面ABFE，面ABFE，ABCD都是邊長(zhǎng)為2的正方形．(3分) 連接EB，則M是EB的中點(diǎn)， 在△EBC中，MN∥EC， 且EC?平面CDEF， MN?平面CDEF， ∴MN∥平面CDEF.(6分) (2)解　∵DA⊥平面ABFE， EF?平面ABFE， ∴EF⊥AD.又EF⊥AE，AE∩AD＝A，∴EF⊥平面ADE. 又DE?平面ADE，∴EF⊥DE，(8分) ∴四邊形CDEF是矩形，且平面CDEF⊥平面DAE. 取DE的中點(diǎn)H，連接AH，∵DA⊥AE，DA＝AE＝2， ∴AH＝，且AH⊥平面CDEF.(12分) ∴多面體A—CDEF的體積V＝SCDEFAH ＝DEEFAH＝.(14分)