蘇教版高中數(shù)學(xué)選修22第2章 推理與證明教案

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1、 精品資料 目標(biāo)定位：目標(biāo)定位： 1推理與證明是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方法和過去的教學(xué)內(nèi)容（例如函數(shù)）相比，在本章中是把基本的數(shù)學(xué)（思維）方法（而不是某個(gè)數(shù)學(xué)對象）作為正面研究對象的因此，本章的學(xué)習(xí)過程，是中學(xué)生第一次對數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的正面的系統(tǒng)的審視這就是我們對本章教學(xué)活動(dòng)的定位 2推理方法與證明方法是從思維活動(dòng)中抽象出來的，是由數(shù)學(xué)思維過程凝縮而成的“對象” 我們不能離開數(shù)學(xué)思維活動(dòng)來談?wù)摂?shù)學(xué)思維方法，不能滿足于把數(shù)學(xué)方法看成是既定的程序、步驟和規(guī)則，不能滿足于對方法做靜態(tài)的邏輯的分析（這正是過去傳統(tǒng)的教材中所強(qiáng)調(diào)的） ，而應(yīng)當(dāng)從（數(shù)學(xué)）活動(dòng)本身，特別是從數(shù)學(xué)

2、活動(dòng)的過程來考察推理方法和證明方法建構(gòu)的過程，以及這些方法是如何被運(yùn)用到數(shù)學(xué)活動(dòng)中成為“活”的方法的？應(yīng)當(dāng)著重于體會方法的特點(diǎn)、聯(lián)系和作用（這正是傳統(tǒng)教材中忽略的，而在蘇教版教材中特別強(qiáng)調(diào)的） 這樣一來，考察和研究數(shù)學(xué)思維過程就應(yīng)該成為本模塊學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)和歸宿了 3與數(shù)學(xué)知識（如概念）的建構(gòu)不同，在數(shù)學(xué)方法建構(gòu)的過程中，數(shù)學(xué)思維活動(dòng)過程本身就是被考察的對象并提供了抽象的原型例如，在本章的引言中，教材就是通過對“摸球中的思維過程”的分析，抽象出推理、證明方法的在這里，摸球中的思維過程本身就成為抽象的原型！正是這樣的特點(diǎn)，決定了在有關(guān)“方法”的教學(xué)必須建立在對數(shù)學(xué)思維活動(dòng)做“正面”考察的基礎(chǔ)之上

3、4課程標(biāo)準(zhǔn)明確指出：設(shè)置本模塊的目的是讓學(xué)生結(jié)合已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，對合情推理、演繹推理以及數(shù)學(xué)證明的方法進(jìn)行概括與總結(jié)，進(jìn)一步體會合情推理、演繹推理以及兩者之間的聯(lián)系與差異；體會數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法，感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及日常生活中的作用，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣，提高數(shù)學(xué)思維能力，形成對數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識課程標(biāo)準(zhǔn)的上述要求決定了本章中對思維過程的考察與分析應(yīng)該是系統(tǒng)的，因?yàn)橹挥羞M(jìn)行系統(tǒng)的考察才能讓學(xué)生形成對數(shù)學(xué)較為完整的認(rèn)識，才能通過對各種方法的比較，掌握各種方法的特點(diǎn)、作用以及它們之間的關(guān)系，更好地把它們運(yùn)用到數(shù)學(xué)活動(dòng)中去 5本章具體的教學(xué)目標(biāo)是： （1

4、）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解合情推理的含意，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡單的推理，體會并認(rèn)識合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用 （2）結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例，了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理 （6）通過對實(shí)例的介紹（如歐基里德幾何原本 、馬克思資本論 、杰弗遜獨(dú)立宣言 、牛頓三定律） ，體會公理化思想 （7）了解計(jì)算機(jī)在自動(dòng)推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用 教材解讀：教材解讀： 1根據(jù)對本章教學(xué)的基本定位，為了幫助學(xué)生對數(shù)學(xué)思維過程作系統(tǒng)的正面的考察，教材做了如下的工作： （1）教科書為學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)置了數(shù)學(xué)探索發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的大背景，大框架（注意

5、引言的作用），在分別闡述了歸納、類比、演繹等推理方法以后，又專門設(shè)置了一節(jié)“推理案例賞析”所有這些，都為對思維過程進(jìn)行系統(tǒng)的考察提供了條件 （2）教科書充分地利用案例，通過案例（這些案例大多是從學(xué)生學(xué)習(xí)過的材料中選取的）提供數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的素材，把案例當(dāng)成學(xué)習(xí)活動(dòng)的出發(fā)點(diǎn)和載體，把案例分析看成是教學(xué)活動(dòng)的主要形式因?yàn)槲┯腥绱?，才能使學(xué)生進(jìn)行深刻的思考（反思），對思維活動(dòng)過程做“正面的”審視 （3）教科書注意對思維活動(dòng)過程做適度的形式化概括因?yàn)槲┯腥绱?，才能把對思維過程分析的成果固定下來，形成數(shù)學(xué)方法并運(yùn)用到思維活動(dòng)中去 以上各點(diǎn)可以從第一節(jié)合情推理與演繹推理的展開框圖中看出： 2和其他模塊相比，

6、在本章中，案例分析更具有舉足輕重的作用因?yàn)槌税咐治?，我們?shí)在找不到更好的方法為學(xué)生提供“數(shù)學(xué)活動(dòng)過程”，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)活動(dòng)中來體驗(yàn)數(shù)學(xué)方法發(fā)現(xiàn)的過程，看到活生生的數(shù)學(xué)方法因此，案例分析應(yīng)該成為本模塊教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)和載體，為考察和分析數(shù)學(xué)活動(dòng)過程提供素材和討論的平臺，同時(shí)，案例分析也應(yīng)該是教學(xué)活動(dòng)的主要手段 教學(xué)方法與教學(xué)建議：教學(xué)方法與教學(xué)建議： 1在教學(xué)中不僅要重視對推理方法和證明方法的特點(diǎn)進(jìn)行（靜態(tài)）分析，更要重視這些方法被抽象出來的過程，通過對數(shù)學(xué)活動(dòng)過程的分析來認(rèn)識它們的特點(diǎn)和作用（即對它們做動(dòng)態(tài)的考察）從而正確地理解和運(yùn)用這些方法，達(dá)到從整體上提高數(shù)學(xué)思維能力的目的 2本章所學(xué)習(xí)

7、的大部分內(nèi)容如：合情推理、演繹推理、證明方法（包括反證法）都是學(xué)生熟悉的，他們早就在自覺或不自覺地把這些方法運(yùn)用于學(xué)習(xí)與生活當(dāng)中了在教學(xué)中要注意從學(xué)生已學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例出發(fā)，喚起學(xué)引言引言：對探索活動(dòng)（摸球）的分析 中心問題中心問題：我們怎樣推理？我們怎樣證明？ 提供推理案例提供推理案例：上述幾個(gè)推理各有什么特點(diǎn)？ 研究更多案例研究更多案例 概括概括：歸納推理的形式（過程） 、特點(diǎn)、作用 概括概括：類比推理的形式（過程） 、特點(diǎn)、作用 概括概括：演繹推理的形式（過程） 、特點(diǎn)、作用 概括概括：合情推理的特點(diǎn)、作用 概括概括：演繹推理的特點(diǎn)、作用 對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的考察（典型案例賞析）

8、對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的考察（典型案例賞析） 合情推理與演繹推理之間有什么聯(lián)系和差異？ 合情推理與演繹推理是怎樣推動(dòng)數(shù)學(xué)探索活動(dòng)的？ 生的經(jīng)驗(yàn)，找到知識的生長點(diǎn)，這是學(xué)生學(xué)習(xí)和理解本章內(nèi)容的基礎(chǔ) 3在教學(xué)中，要通過對學(xué)生真實(shí)的思維過程和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的典型案例的分析，讓學(xué)生形成反思的意識，養(yǎng)成反思的良好習(xí)慣 4教學(xué)的重點(diǎn)應(yīng)該是對基本的數(shù)學(xué)方法的理解和運(yùn)用.首先是對“推理”和“證明”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中的作用.這就要求學(xué)生從整體上認(rèn)識本章所介紹的數(shù)學(xué)方法. 如在“合情推理和演繹推理”的教學(xué)中，應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用合情推理去探索、猜測一些數(shù)學(xué)結(jié)論，并用演繹推理確認(rèn)所得結(jié)論的正確性，或者用反例推翻錯(cuò)誤的猜想教

9、學(xué)的重點(diǎn)在于通過具體實(shí)例理解合情推理與演繹推理（它們的作用、特點(diǎn)、關(guān)系），理解數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程，而不必追求對概念的抽象表述 在證明方法的教學(xué)中，應(yīng)通過實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識各種證明方法的特點(diǎn)，掌握這些方法的思考過程，體會證明的必要性，而對證明的技巧性不宜作過高的要求 5數(shù)學(xué)的推理方法和證明方法，不僅運(yùn)用在數(shù)學(xué)中，而且在生活中的其它領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用在教學(xué)中要引用生活中和其它學(xué)科中的例子，讓學(xué)生體會數(shù)學(xué)和生活的聯(lián)系，體會數(shù)學(xué)應(yīng)用的廣泛性，認(rèn)識數(shù)學(xué)的文化價(jià)值 6公理化思想和機(jī)器證明體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的文化價(jià)值在教學(xué)中要讓學(xué)生體會公理化思想中蘊(yùn)涵的理性精神，和機(jī)器化證明中的算法思想 下面是具體的教學(xué)建議，供參考 引

10、言引言 1 華羅庚教授 “摸球” 的例子， 為推理與證明的學(xué)習(xí)提供了一個(gè)大的背景 它具有豐富的教學(xué)意義在教學(xué)中不僅應(yīng)該讓學(xué)生體會到，“推理”與“證明”是構(gòu)成探索活動(dòng)的兩個(gè)最基本的環(huán)節(jié)，讓學(xué)生體會到，探索活動(dòng)是一個(gè)不斷的“提出猜想驗(yàn)證猜想再提出猜想再驗(yàn)證猜想”的過程，而且應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生體會到永不休止的探索精神正是理性精神的表現(xiàn)！而數(shù)學(xué)家就是通過不斷地提出猜想、證明猜想來進(jìn)行探索活動(dòng)的！ 2 引言中提出的兩個(gè)問題 （我們怎樣進(jìn)行推理？我們怎樣驗(yàn)證 （證明） 結(jié)論？）是本大節(jié)的中心問題本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容就是依據(jù)它展開的 21 合情推理與演繹推理合情推理與演繹推理 1合情推理和演繹推理是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的兩種推

11、理形式，它們具有不同的形式、特點(diǎn)和作用本節(jié)先分別研究它們的特點(diǎn)和作用，然后再通過對具體的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)過程的分析，進(jìn)一步體會它們之間的聯(lián)系，在具體的數(shù)學(xué)思維過程中感受它們的作用 2演繹、歸納、類比是學(xué)生熟悉的推理方式教材列舉了 3 個(gè)例子，開始了對這些推理形式的考察教學(xué)中可以讓學(xué)生舉出更多的例子 3通過揭示三個(gè)推理案例的共同點(diǎn)概括出“推理”的概念并根據(jù)它們在結(jié)構(gòu)上的不同特點(diǎn)，進(jìn)行分類研究，這個(gè)過程雖然簡單，卻體現(xiàn)了案例分析是本章教學(xué)的主要形式的特點(diǎn) 211 合情推理合情推理 1合情推理是由 G波利亞提出的概念他通過對數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)的分析注意到數(shù)學(xué)活動(dòng)是由“猜想”和“論證”兩個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的，相應(yīng)地在這兩個(gè)

12、不同的環(huán)節(jié)里使用著不同的思維方法，即合情推理與論證推理（教科書中稱為演繹推理）G波利亞并沒有為合情推理下定義實(shí)際上，在教學(xué)中，只要讓學(xué)生把合情推理看成是提出猜想的推理而演繹推理是可以給出證明的推理就行了據(jù)此，教科書按照 G波利亞的思路，編寫了引言，突出了對探索活動(dòng)的分析，突出了“猜想”和“證明”兩個(gè)重要的思維環(huán)節(jié)，而對合情推理的定義作淡化處理（只在閱讀材料中提了一下）（課程標(biāo)準(zhǔn)給合情推理作了如下定義：合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測某地結(jié)果的推理過程） 2歸納、類比是合情推理的兩種常用的形式，除此以外，合情推理還有其他

13、的多種形式，如：聯(lián)想、想象、直覺等等 2111 歸納推理歸納推理 1歸納推理是學(xué)生熟悉的推理方式和過去不同，在本節(jié)中，我們專注于推理的形式，而不關(guān)注推理的內(nèi)容，即專門對推理的形式進(jìn)行考察，考察的重點(diǎn)則是歸納推理的特點(diǎn)和它的作用 2歸納推理的一般模式為： S1具有 P， S2具有 P， Sn具有 P（S1，S2，Sn是 A 類事物的對象） 所以，A 類事物具有 P 教學(xué)中可以介紹給學(xué)生 3“思考”要求列舉更多的有關(guān)歸納推理的例子，下面的例子可供參考 （1）觀察： 1 = 12，1 + 3 = 22，1 + 3 + 5 = 32，1 + 3 + 5 +7 = 42， 由此猜想： 1 + 3 + 5

14、 + 7 + + (2n 1) = n2 （2）1640 年，費(fèi)馬在給友人的信中談到： 220 + 1 = 3，221 + 1 = 5，222 + 1 = 17，223 + 1 = 257，224 + 1 = 65 537 都是素?cái)?shù)，由此，他猜想：任何形如 22n + 1（n N）的數(shù)（通常稱為費(fèi)馬數(shù)，記作Fn） 都是素?cái)?shù) 此后， 一直未有人懷疑過這個(gè)結(jié)論 直到 1732 年， 歐拉發(fā)現(xiàn) F5 = 225 + 1 = 4 294 967 297 = 641 6 700 417 并不是素?cái)?shù)，才推翻費(fèi)馬的猜想 此例還說明，在歸納推理中，根據(jù)同一個(gè)前提，可以推出不同的結(jié)論：當(dāng) n 1 時(shí)，F(xiàn)n的末位

15、數(shù)字是 7（猜想） 2要讓學(xué)生體會到歸納不僅是一種方法，而且體現(xiàn)了一種態(tài)度歐拉說：把歸納看成是一種機(jī)會，“以便證明它或推翻它”，這就是我們對待歸納的態(tài)度，而歸納的價(jià)值就在于“在這兩種情況之中我們都會學(xué)到一些有用的東西”可以看出，歸納的態(tài)度就是探索的態(tài)度，這一點(diǎn)在華羅庚的“摸球”游戲中也得到了充分的體現(xiàn)要讓學(xué)生體會到，探索活動(dòng)是在猜想的推動(dòng)下進(jìn)行的，沒有猜想就沒有探索！而歸納的價(jià)值就在于它是提出猜想的一種方法！ 3在歸納推理中，根據(jù)同一個(gè)的前提，往往可以推出不同的結(jié)論例如從例4 中的推理前提出發(fā)，也可以得到當(dāng) n1 時(shí)，F(xiàn)n的末位數(shù)字是 7 的結(jié)論（猜想） 4完全歸納法（和數(shù)學(xué)歸納法類似）實(shí)質(zhì)上

16、是一種演繹推理，它是一種必然性推理，是數(shù)學(xué)證明的工具，因此它不屬于合情推理 2 21 11 12 2 類比推理類比推理 1類比推理是學(xué)生熟悉的推理方式和過去不同，在本節(jié)中，我們專注于推理的形式，而不關(guān)注推理的內(nèi)容，即專門對推理的形式進(jìn)行考察 2類比推理的一般模式為： A 類事物具有性質(zhì) a，b，c，d， B 類事物具有性質(zhì) a，b，c， （a，b，c 與 a，b，c相似或相同） 所以，B 類事物可能具有性質(zhì) d 教學(xué)中可以介紹給學(xué)生 3例 1 是根據(jù)等式的性質(zhì)類比不等式的性質(zhì) 4例 2 可以看成是系統(tǒng)間的類比用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的角度來看，類比就是兩個(gè)具有同構(gòu)關(guān)系的模型間的推理數(shù)學(xué)（科學(xué)）發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中的類

17、比絕大多數(shù)都是這類類比在教學(xué)中要注意對類比過程的分析 5類比可以看成是從已知的相似性，推斷未知的相似性的推理在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生對類比的過程進(jìn)行分析，弄清在推理中究竟是從哪些已知的“相似性”推出什么樣的未知的“相似性”的 6在運(yùn)用類比推理時(shí)，首先要找出兩類對象之間可以確切表述的相似性（或一致性）；然后，再用一類對象的性質(zhì)去推測另一類對象的性質(zhì)，從而得出一個(gè)猜想；最后，檢驗(yàn)這個(gè)猜想在教學(xué)中不要滿足于對對象相似性的模糊認(rèn)識，要堅(jiān)持把它們的相似性用語言確切地表述出來只有這樣，才能把類比和“比喻”區(qū)別開來 2 21 12 2 演繹推理演繹推理 1演繹推理是一種重要的推理形式，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)在廣泛

18、地使用它，在教學(xué)中，要讓學(xué)生體會到演繹推理是嚴(yán)格按照邏輯法則進(jìn)行的推理，是必然性推理的特點(diǎn) 2三段論是演繹推理的主要形式三段論有多種格式，教科書介紹了其中常用的一種，其用意在于讓學(xué)生體會到演繹推理是一種形式化程度相當(dāng)高的推理，而不是正面講“三段論”，因此，在教學(xué)中不必拓展補(bǔ)充 3除了三段論以外，演繹推理還有直接推理，關(guān)系推理、聯(lián)言推理、假言推理、選言推理等多種形式 4三段論也有多種形式，三段論的依據(jù)是不言自明的三段論公理：一類事物的全部是什么或不是什么，那么這類事物的部分也是什么或不是什么對此教科書中用集合論的語言和圖形作了說明，其目的是幫助學(xué)生理解三段論（教學(xué)中不必提出三段論公理） 5三段論

19、推理在數(shù)學(xué)中有重要的應(yīng)用，特別是在理論初建或概念性質(zhì)運(yùn)用的初期但是數(shù)學(xué)推理過程不全是三段論組合，直接用三段論推理的并不多，有些數(shù)學(xué)證明過程（如教科書中例 2），雖然可以歸結(jié)為三段論的組合，但卻太為繁瑣了，所以并不實(shí)用 6數(shù)學(xué)并不等同于邏輯，它已獨(dú)自發(fā)展幾千年，尤其是它的符號系統(tǒng)，使得它有自身的一套簡單的推理形式或規(guī)則，盡管它能用三段論解釋，但大可不必去追溯它的三段論本源因而在數(shù)學(xué)中，直接選定了若干演繹推理的規(guī)則如： “如果qP ，P 真，則 q 真”、“如果bc，ab，則ca”（三段論的“數(shù)學(xué)形式”）等等（如課本中例 2 的證明就使用了這些規(guī)則）應(yīng)該告訴學(xué)生，數(shù)學(xué)中的運(yùn)算也是演繹推理的一種形式

20、 7在數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)演繹推理，并不等同于學(xué)習(xí)形式邏輯或數(shù)理邏輯，課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，本小節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)是，“體會演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡單的推理”，相信注意到這些，就可以理解教科書的編寫意圖，并掌握教學(xué)的分寸了 8在敘述演繹推理的特點(diǎn)時(shí)，要和歸納、類比的特點(diǎn)對照，讓學(xué)生理解它們是兩類不同的推理 9教科書中說“演繹推理是一種收斂性的思維方法，它較少創(chuàng)造性”，這并不是說，演繹推理就完全沒有發(fā)現(xiàn)功能，更不是說演繹推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中沒有作用為了讓學(xué)生全面認(rèn)識演繹推理在發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中的作用，教科書提供了閱讀材料：“海王星的發(fā)現(xiàn)和探索性演繹法”，這個(gè)材料對全面準(zhǔn)確地理解演繹推理在

21、探索活動(dòng)中的作用是很有幫助的 213 推推理案例賞析理案例賞析 1推理案例賞析 是推理方法的綜合應(yīng)用， 是對推理方法更深層次的考察 這樣，教科書就為推理的教學(xué)提供了一個(gè)“總分總”的結(jié)構(gòu)，而本小節(jié)正是后一個(gè)“總”它引導(dǎo)學(xué)生在前面學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，對各種推理方法做綜合的動(dòng)態(tài)的考察，幫助學(xué)生體會不同推理方法的特點(diǎn)和聯(lián)系，感受它們在數(shù)學(xué)思維過程中的作用 2在教學(xué)中，要注意對思維過程的分析課本中提供的思維過程只是幾種典型的解決問題的思路面對著這些問題，學(xué)生可能會有更多的想法，應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生談?wù)勛约旱南敕?，并對課本中的思考過程做出評價(jià) 3關(guān)于例 1 的教學(xué) （1）“提出問題”是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中重要的環(huán)節(jié)教學(xué)中要注

22、意分析提出問題的過程在例 1 和例 2 中，都是通過類比提出研究課題的 （2） 課本中的思路 1 是 “歸納的方案” ， 總的說， 它是通過歸納提出猜想的 但是應(yīng)該注意到，作為歸納基礎(chǔ)的“表”中的每個(gè)數(shù)據(jù)都是由運(yùn)算提供的，也就是說，演繹提供了歸納的基礎(chǔ)所以說：在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中，演繹起到了類似“實(shí)驗(yàn)”的作用，在這里演繹為歸納提供了前提 （3）在“歸納的方案”中，解題者原本希望從表 2-1-5 中歸納出一般結(jié)論，可是卻失敗了，但是正是失敗引導(dǎo)他嘗試計(jì)算 S1（n）和 S2（n）的比，找到了通向成功的路要讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)活動(dòng)都是具有嘗試的性質(zhì)的，失敗是經(jīng)常會遇到的，所以常說“失敗是成功之母”通過教學(xué)

23、要讓學(xué)生體會到，對思維過程進(jìn)行調(diào)控的重要性對此，在“思路 2”和例 2 中，都有體現(xiàn)教學(xué)中，要讓學(xué)生體會到發(fā)現(xiàn)過程是一個(gè)曲折的艱苦的過程，認(rèn)識到思維調(diào)控的重要性 （4）嘗試計(jì)算 S1（n）和 S2（n）的比，是導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)的關(guān)鍵，這個(gè)念頭是由“聯(lián)想”激發(fā)的聯(lián)想也是合情推理的一種方法 （5）思路 2 是一個(gè)“演繹的方案”，但這并不是說，在這個(gè)方案中沒有使用合情推理的方法，相反地，應(yīng)該說合情推理在這個(gè)方案中同樣起了關(guān)鍵的作用比如，這個(gè)方案中的“初始念頭”“嘗試用直接相加的方法求出自然數(shù)的平方和”就是由合情推理提供的 （6）在思路 2 的教學(xué)中，設(shè)置了“（2）從失敗中汲取有用的信息，進(jìn)行新的嘗試”的環(huán)節(jié)

24、，是為了讓學(xué)生體會到思維調(diào)控的重要性，注意對思維過程的分析，進(jìn)而養(yǎng)成反思的習(xí)慣 （7）“既然能用上面的方法求出 S1（n），那么我們也應(yīng)該可以用類似的方法求出 S2（n）”，這也是一個(gè)猜想，它是由類比得到的 4關(guān)于例 2 的教學(xué) （1）例 2 通過具體的問題對類比推理的方法做了更深入的介紹類比在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中具有十分重要的作用，應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會自覺地科學(xué)地把類比方法運(yùn)用到發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中去 （2）把棱臺和梯形類比，開始只是模糊的念頭，通過分析，清晰地認(rèn)識到它們之間的“相似性”，這時(shí)才會有科學(xué)的“類比推理”因此，“確定類比對象”和“對類比對象的進(jìn)一步分析”都是重要的思維環(huán)節(jié)，是進(jìn)行類比推理的前提學(xué)生在使

25、用類比時(shí)，經(jīng)常忽略這些環(huán)節(jié) （3）驗(yàn)證猜想的過程也是對猜想做調(diào)整的過程在這個(gè)過程中，合情推理仍然發(fā)揮著重要的作用教學(xué)中請注意合情推理在“驗(yàn)證猜想”中的作用 （4）從美感出發(fā)做出的判斷，可以稱為審美推斷本例在“驗(yàn)證猜想”的環(huán)節(jié)中，使用了這種方法審美推斷也是一種合情推理的方法，在科學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中具有重要的價(jià)值通過案例的分析，應(yīng)該讓學(xué)生體會到審美在發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中的作用 （5）在公式（猜想）的調(diào)整過程中，實(shí)際上使用的是“探索性演繹法”（即在猜想的基礎(chǔ)上進(jìn)行的演繹推理），這可以讓學(xué)生更好地體會到“演繹推理”在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)活動(dòng)中所具有的類似于“實(shí)驗(yàn)”的功能 5關(guān)于實(shí)習(xí)作業(yè) 學(xué)生可以通過查找資料來完成實(shí)習(xí)作業(yè)例如可以

26、引用本書提到的數(shù)學(xué)史中的例子：如歐拉公式、哥德巴赫猜想等，也可以從教科書中選取案例如：“正弦定理的發(fā)現(xiàn)”、“余弦定理的發(fā)現(xiàn)”、“和差化積公式的推導(dǎo)”等等通過反思，對自己的思維活動(dòng)進(jìn)行分析（如你是怎樣解決某個(gè)問題的） 6在思考以及實(shí)習(xí)作業(yè)中，教材反復(fù)提出了相同的問題，其用意是希望為學(xué)生分析思維活動(dòng)時(shí)提供一個(gè)反思的框架 2 22 2 直接證明與間接證明直接證明與間接證明 教學(xué)的重點(diǎn)是讓學(xué)生了解直接證法與間接證法的特點(diǎn)，知道證明的一般步驟，能使用它們證明問題，在教學(xué)中不要拘泥于“概念”，在“概念”上下功夫 2 21 1 直接證明直接證明 1課本中選用的兩個(gè)例子都是學(xué)生熟知的，在數(shù)學(xué)（必修 5）的基本

27、不等式中就采用了這兩個(gè)證明現(xiàn)在教科書把它用作討論綜合法和分析法的素材，是為了讓學(xué)生能集中精力關(guān)注這兩種證明方法形式結(jié)構(gòu)上的特點(diǎn)和區(qū)別，進(jìn)而展開對證明方法的研究 2一般地，分析法和綜合法是兩種常見的思維方法，人們利用它們來尋求證明問題的思路在教科書中是把它們看成兩種證明方法的（指呈現(xiàn)出來的證明過程）思維方法和證明方法當(dāng)然有微妙的差別，但是如果把“證明”看成是思維過程，這樣做也就沒有什么不可以 3綜合法，從條件出發(fā)，“由因?qū)Ч?，分析法，緊抓證題目標(biāo)，“執(zhí)果索因”在實(shí)際的解題活動(dòng)中，總是把兩者結(jié)合起來使用的 2 22 2 間接證明間接證明 1反證法是一種重要的間接證法（同一法也是一種重要的間接證法

28、）在教學(xué)中應(yīng)先讓學(xué)生弄清直接證明和間接證明的區(qū)別，然后再轉(zhuǎn)入反證法 2學(xué)生在學(xué)習(xí)立體幾何初步時(shí)，已經(jīng)使用反證法，因此他們是有經(jīng)驗(yàn)的，但當(dāng)時(shí)并沒有正面介紹反證法 3反證法的邏輯依據(jù)是矛盾律和排中律反證法的實(shí)質(zhì)在于：若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論， 就會導(dǎo)致矛盾 具體地說， 反證法不直接證明命題 “若 p 則 q” ，而是從原題的反論題“既 p 又q”入手，由 p 與q 合乎邏輯地推出一個(gè)矛盾結(jié)果；根據(jù)矛盾律，兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同真，必有一假，斷定反論題“既 p又q”為假；進(jìn)而再根據(jù)排中律，兩個(gè)互相矛盾的判斷，不能同假，必有一真由此肯定命題“若 p 則 q”為真雖然學(xué)生沒有學(xué)過排中律和矛盾律，

29、但是由于這兩個(gè)定律的“準(zhǔn)公理性”，學(xué)生還是能理解反證法的思想的，因而在教學(xué)中沒有必要提出排中律和矛盾律 2 23 3 公理化思想公理化思想 1公理化思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的理性精神和求真意識.為了確保命題真實(shí)性,數(shù)學(xué)對命題提出了演繹證明的要求,這種要求直接導(dǎo)致公理化產(chǎn)生.教學(xué)中要讓學(xué)生體會到這一點(diǎn). 2.公理是“公認(rèn)正確而不需證明的命題”,是“證明其它一切命題的基礎(chǔ)”,是“選定”和“設(shè)置”的,都體現(xiàn)了現(xiàn)代公理法的思想,在教學(xué)中不要過多地強(qiáng)調(diào)公理是“經(jīng)過長期的實(shí)踐證明的”說法. 3.可以建議有興趣的學(xué)生閱讀數(shù)學(xué)史初步中有關(guān)非歐幾何的材料 教學(xué)案例教學(xué)案例: :歸納推理歸納推理 執(zhí)教:高建國(揚(yáng)州大學(xué)附

30、屬中學(xué)) 點(diǎn)評:張乃達(dá) (江蘇省揚(yáng)州中學(xué)) 1. .概念、技能、能力、態(tài)度概念、技能、能力、態(tài)度 我們可以從不同的層面來看歸納第一種是把它看成一個(gè)概念，這要弄清什么是推理？什么是歸納推理？這是從知識層面來看歸納的；第二種是把歸納看成是一種方法，這就要弄清怎樣進(jìn)行歸納？歸納有哪幾步？第一步怎么做？第二步又怎么做？等等， 這是從技能層面來看歸納的 第三種是把歸納看成是一種能力， 提高學(xué)生的歸納能力歸納的能力實(shí)質(zhì)上就是分析，分析到位了，思維能力提高了，歸納才能得到有價(jià)值的東西這是從能力的層面看歸納的長期以來， 我們的教師大都習(xí)慣于從上面三個(gè)層次看歸納， 并以此確定本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容和重點(diǎn)，這正是習(xí)慣于

31、從知識與能力的層面看待數(shù)學(xué)教育的體現(xiàn)！ 其實(shí)，如果從文化的視角來分析，就可以看到歸納還可以被看成是一種態(tài)度，一種對待事物的態(tài)度歸納的態(tài)度實(shí)際上就是探究的態(tài)度，它總是用探究者的眼光來看世界看到某些現(xiàn)象，總想從中歸納出某種規(guī)律！促使哥德巴赫提出那個(gè)著名的猜想的正是這種態(tài)度，向中學(xué)生介紹哥德巴赫猜想的目的也正是讓他們學(xué)習(xí)這種態(tài)度！這種態(tài)度正是理性精神的表現(xiàn)！也是這節(jié)課中最有教育價(jià)值的東西！ 通過上面的分析，對這節(jié)課應(yīng)該怎么上就清楚了通過這節(jié)課當(dāng)然應(yīng)該讓學(xué)生知道什么是推理？什么是歸納？怎樣進(jìn)行歸納？但是這并不是重點(diǎn)，其實(shí)學(xué)生早就在使用歸納的方法了，現(xiàn)在只要正面的小結(jié)一下就可以了！提高歸納的能力也不是這

32、節(jié)課能夠?qū)崿F(xiàn)的目標(biāo)，歸納的能力，是思維能力的體現(xiàn)，它不能獨(dú)立于思維能力之外，也不是通過這節(jié)課就能實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)！這節(jié)課的重點(diǎn)應(yīng)該是歸納態(tài)度的培養(yǎng)和探究精神的激發(fā)！ 在本節(jié)課中，執(zhí)教老師對課的定位是比較準(zhǔn)確的，較好地處理了概念、技能、能力和態(tài)度的關(guān)系滲透了歸納態(tài)度的培養(yǎng)，探求欲望的激發(fā)，讓學(xué)生體會到，在我們的周圍，到處都存在著值得探索的問題，到處都可以運(yùn)用歸納的方法來提出猜想，進(jìn)而展開探索的活動(dòng)，這對學(xué)生理性精神的形成是很有意義的 2用數(shù)學(xué)（家）的眼光看世界用數(shù)學(xué)（家）的眼光看世界 態(tài)度的培養(yǎng)和形成是數(shù)學(xué)文化教育所關(guān)注的問題， 而用數(shù)學(xué)的眼光看世界正是數(shù)學(xué)文化教育的主要途徑 從根本上說，數(shù)學(xué)（家）的

33、眼光就是理性探索的眼光理性表現(xiàn)了人類的自信，堅(jiān)信人類是可以認(rèn)識世界的，是可以揭開自然的奧妙的；而探索則是理性付諸于實(shí)際的行動(dòng)，是理性精神的表現(xiàn)！所以離開了探索活動(dòng)的歸納只是一種游戲，也就無法體現(xiàn)歸納態(tài)度的價(jià)值所以歸納態(tài)度的培養(yǎng)必須放在探索活動(dòng)的大背景下進(jìn)行這時(shí)歸納表現(xiàn)的則是認(rèn)識世界的欲望！ 所以歐拉是這樣評價(jià)歸納的，他說：把歸納看成是一種機(jī)會， “以便證明它或推翻它” ，這就是我們對待歸納的態(tài)度，而歸納的價(jià)值就在于“在這兩種情況之中我們都會學(xué)到一些有用的東西 ”可以看出，歸納的態(tài)度就是探索的態(tài)度，沒有猜想就沒有探索！而歸納的價(jià)值就在于它是提出猜想的一種方法！ 為了讓學(xué)生嘗試用數(shù)學(xué)的眼光看世界，

34、課本在本章的引言中，特別介紹了華羅庚教授提出的“摸球”游戲，其目的不僅僅是為了說明“猜想”和“證明”在探索活動(dòng)中的重要性而且是為了讓學(xué)生看到理性精神在探索活動(dòng)中的作用 在“摸球”游戲中，從一個(gè)布袋里摸出的第 1 個(gè)球是紅球，第 2 個(gè)是紅球，第 3 個(gè)是紅球，這時(shí)我們產(chǎn)生了一個(gè)猜想，袋中全部是紅球？然后又摸出第 4 個(gè)來，結(jié)果是白球，錯(cuò)了！錯(cuò)了是不是就結(jié)束了？不是！再摸，又猜，是不是里面都是球呢？這就是歸納的態(tài)度、探究的態(tài)度！ 這就是我們要通過數(shù)學(xué)教學(xué)倡導(dǎo)的理性精神！ 確立了這種態(tài)度， 學(xué)生就會用它來看世界，并從中進(jìn)一步體會到歸納的意義，形成自己對歸納的認(rèn)識，提高歸納的“能力” ！ 所以說，在

35、數(shù)學(xué)教學(xué)中，相對于知識與能力，精神、態(tài)度、觀念層面的東西是更值得重視的 3在探索活動(dòng)的背景下看歸納在探索活動(dòng)的背景下看歸納 在本節(jié)課中，執(zhí)教老師創(chuàng)設(shè)了很多場景，讓學(xué)生“生活”在“歸納”的氛圍之中，自覺或不自覺地使用歸納的方法，精心了安排了一個(gè)“猜信封”的活動(dòng)，這對學(xué)生理解歸納的方法和歸納態(tài)度的形成當(dāng)然都是有好處的 但是，所有這些都不能取代教科書中引言的作用！ 在前面我們已經(jīng)說過，只有在探索活動(dòng)的總體背景下，才能理解并體現(xiàn)歸納（方法和態(tài)度）的價(jià)值，教科書引言中“摸球”的作用，不僅僅在于讓學(xué)生看到歸納是一種常用的推理方法，歸納的結(jié)果可以是錯(cuò)誤的，也可能是正確的更重要的是讓學(xué)生體會到，盡管探索活動(dòng)很復(fù)雜，但是它總是由“猜想”和“驗(yàn)證”這兩個(gè)環(huán)節(jié)構(gòu)成的，因此為了研究探索活動(dòng)中的思維過程，我們就需要研究“猜想”和“證明”的方法這正是本章面臨的課題，也是研究歸納的大背景！揭示了這樣的背景，學(xué)生自然會認(rèn)識到歸納的價(jià)值就在于它可以提出有價(jià)值的猜想！可見，歸納的價(jià)值是蘊(yùn)含在“提猜想”這一活動(dòng)的價(jià)值之中的！所以我們應(yīng)該堅(jiān)持“在探索活動(dòng)的背景下談歸納” ！ 可是，執(zhí)教教師卻完全舍棄了教科書中的引言，這樣一來，本節(jié)課就陷入了“就歸納談歸納”的境地，這不能不說是教學(xué)中的失誤！所以，盡管這節(jié)課給人的印象是自然的、輕松的，師生是和諧的，但是卻缺少厚重感，不夠大氣！