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綜合法與分析法
教學目的：
1掌握綜合法、分析法證明不等式；
2熟練掌握已學的重要不等式；
3增強學生的邏輯推理能力
教學重點：綜合法、分析法
教學難點：不等式性質的綜合運用
一、復習引入：
1．重要不等式：
如果
2．定理：如果a,b是正數(shù)，那么
3公式的等價變形：ab≤，ab≤（）2
4． ≥2（ab＞0），當且僅當a＝b時取“＝”號；
5．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關系——結論
比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關系——結論
二、講解新課：
（一）1．綜合法：
2、利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法
2．用綜合法證明不等式的邏輯關系是：
3．綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發(fā)，利用已知的數(shù)學定理、性質和公式，推出結論的一種證明方法
（二）1分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法
2．用分析法證明不等式的邏輯關系是：
3．分析法的思維特點是：執(zhí)果索因
4．分析法的書寫格式：
3、 要證明命題B為真，
只需要證明命題為真，從而有……
這只需要證明命題為真，從而又有……
這只需要證明命題A為真
而已知A為真，故命題B必為真
例1：已知是正數(shù)，且，求證：
轉化嘗試，就是不斷尋找并簡化欲證不等式成立的充分條件，到一個明顯或易證其成立的充分條件為止. 其邏輯關系是：
證明：∵
∴要證,只要證,
只要證,只要證.
∵,∴即得證.
注：分析法的思維特點是：執(zhí)果索因.對于思路不明顯,感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質告訴我們可以對不等式做這樣或那樣的變形,分析時貴在變形,不通思變,變則通
聯(lián)想嘗試，就是
4、由已知的不等式及題設條件出發(fā)產生聯(lián)想,大膽嘗試,巧用已知不等式及不等式性質做適當變形，推導出要求證明的不等式.其邏輯關系是：
法二：證明：∵
法三
注：綜合法的思維特點是：執(zhí)因索果. 基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想往往能啟發(fā)我們證明的方向.嘗試時貴在聯(lián)想，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。
例2.（P23例1）已知是不全相等的正數(shù),求證
證明：∵≥2bc,a＞0,
∴≥2abc ①
同理 ≥2abc ②
≥2abc ③
因為a，b，c不全相等，所以≥2bc,
5、≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”號，從而①、②、③三式也不能全取“=”號
法二：
法三：
法四：
法五：
例3（P23例2）.已知，且，求證
改變:同樣的條件,怎樣證明:
證明：即
，同理……
因為，由不等式的性質，得
因為時，取等號，所以原式在時取等號
變式：已知，且，求證
例4、（P24例3）求證
證（略）
四、課堂練習：
1． 設a, b, c R，
1求證：
2求證：
3若a + b = 1, 求證：
證：1∵ ∴
2同理：，
三式相加：
3由冪平均不等式：
2．已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤
分析一:用
6、分析法
證法一:(1)當ac+bd≤0時,顯然成立
(2)當ac+bd>0時,欲證原不等式成立,
只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2)
即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
即證2abcd≤b2c2+a2d2
即證0≤(bc-ad)2
因為a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,
綜合(1)、(2)可知:原不等式成立
分析二:用綜合法
證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2)
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2
∴≥|ac+bd|≥ac+bd
故命題得證
五、課后作業(yè)
P25習題
【精品文檔】第 4 頁
《綜合法與分析法》參考教案
