《綜合法與分析法》參考教案

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1、精品文檔，僅供學(xué)習(xí)與交流，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 綜合法與分析法 教學(xué)目的： 1掌握綜合法、分析法證明不等式； 2熟練掌握已學(xué)的重要不等式； 3增強(qiáng)學(xué)生的邏輯推理能力 教學(xué)重點(diǎn)：綜合法、分析法 教學(xué)難點(diǎn)：不等式性質(zhì)的綜合運(yùn)用 一、復(fù)習(xí)引入： 1．重要不等式： 如果 2．定理：如果a,b是正數(shù)，那么 3公式的等價(jià)變形：ab≤，ab≤（）2 4． ≥2（ab＞0），當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)； 5．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷與0的關(guān)系——結(jié)論 比較法之二（作商法）步驟：作商——變形——判斷與1的關(guān)系——結(jié)論 二、講解新課： （一）1．綜合法：

2、利用某些已經(jīng)證明過的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)定理）和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法 2．用綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 3．綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論的一種證明方法 （二）1分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法 2．用分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是： 3．分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因 4．分析法的書寫格式：

3、 要證明命題B為真， 只需要證明命題為真，從而有…… 這只需要證明命題為真，從而又有…… 這只需要證明命題A為真 而已知A為真，故命題B必為真 例1：已知是正數(shù)，且，求證： 轉(zhuǎn)化嘗試，就是不斷尋找并簡(jiǎn)化欲證不等式成立的充分條件，到一個(gè)明顯或易證其成立的充分條件為止. 其邏輯關(guān)系是： 證明：∵ ∴要證,只要證, 只要證,只要證. ∵,∴即得證. 注：分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因.對(duì)于思路不明顯,感到無從下手的問題宜用分析法探究證明途徑.另外,不等式的基本性質(zhì)告訴我們可以對(duì)不等式做這樣或那樣的變形,分析時(shí)貴在變形,不通思變,變則通 聯(lián)想嘗試，就是

4、由已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā)產(chǎn)生聯(lián)想,大膽嘗試,巧用已知不等式及不等式性質(zhì)做適當(dāng)變形，推導(dǎo)出要求證明的不等式.其邏輯關(guān)系是： 法二：證明：∵ 法三 注：綜合法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)因索果. 基本不等式以及一些已經(jīng)得證的不等式往往與待證的不等式有著這樣或那樣的聯(lián)系,作由此及彼的聯(lián)想往往能啟發(fā)我們證明的方向.嘗試時(shí)貴在聯(lián)想，浮想聯(lián)翩，思潮如涌。 例2.（P23例1）已知是不全相等的正數(shù),求證 證明：∵≥2bc,a＞0, ∴≥2abc ① 同理 ≥2abc ② ≥2abc ③ 因?yàn)閍，b，c不全相等，所以≥2bc,

5、≥2ca, ≥2ab三式不能全取“=”號(hào)，從而①、②、③三式也不能全取“=”號(hào) 法二： 法三： 法四： 法五： 例3（P23例2）.已知，且，求證 改變:同樣的條件,怎樣證明: 證明：即 ，同理…… 因?yàn)?，由不等式的性質(zhì)，得 因?yàn)闀r(shí)，取等號(hào)，所以原式在時(shí)取等號(hào) 變式：已知，且，求證 例4、（P24例3）求證 證（略） 四、課堂練習(xí)： 1． 設(shè)a, b, c R， 1求證： 2求證： 3若a + b = 1, 求證： 證：1∵ ∴ 2同理：， 三式相加： 3由冪平均不等式： 2．已知a,b,c,d∈R,求證:ac+bd≤ 分析一:用

6、分析法 證法一:(1)當(dāng)ac+bd≤0時(shí),顯然成立 (2)當(dāng)ac+bd>0時(shí),欲證原不等式成立, 只需證(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 即證a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2 即證2abcd≤b2c2+a2d2 即證0≤(bc-ad)2 因?yàn)閍,b,c,d∈R,所以上式恒成立, 綜合(1)、(2)可知:原不等式成立 分析二:用綜合法 證法二:(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(a2c2+2abcd+b2d2)+(b2c2-2abcd+a2d2) =(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2 ∴≥|ac+bd|≥ac+bd 故命題得證 五、課后作業(yè) P25習(xí)題 【精品文檔】第 4 頁(yè)