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1、基于matlab在連續(xù)性系統(tǒng)中的仿真研究摘要：從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進(jìn)控制環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，最后得出結(jié)果的過(guò)程中，參考了大量的資料，通過(guò)對(duì)比整合，設(shè)計(jì)出了適合自己的一套實(shí)驗(yàn)方法：本研究的核心在于構(gòu)建相應(yīng)的倒立擺數(shù)學(xué)模型，首席按通過(guò)牛頓-歐拉法完成相關(guān)模型的基本搭建，之后通過(guò)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程來(lái)確定其系數(shù)矩陣的值，完成上述工作之后，通過(guò)MATLAB編程的方式，將構(gòu)建的數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的傳遞函數(shù)，從而獲得傳遞函數(shù)模型。此后便可在此基礎(chǔ)之上，通過(guò)Simulink軟件通過(guò)PID控制算法實(shí)現(xiàn)相應(yīng)的仿真工作，先用連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出模擬控制器，然后在滿足一定條件下，對(duì)其進(jìn)行離散化處理，
2、(采用加零階保持器的Z變換法)形成數(shù)字控制器。接著進(jìn)行PID參數(shù)整定，利用試湊法,根據(jù)PID控制器各部分組件和性能之間的聯(lián)系，在某個(gè)初始化參數(shù)的條件下重復(fù)進(jìn)行試湊工作，最終得到較好的結(jié)果。研究過(guò)程中，系統(tǒng)的控制非常穩(wěn)定，性能較好。關(guān)鍵詞：Matlab；仿真；PID；連續(xù)系統(tǒng)目錄1緒論11.1連續(xù)性系統(tǒng)簡(jiǎn)介11.2連續(xù)性系統(tǒng)基本處理方法11.2.1數(shù)值積分法11.2.2替換法21.2.3離散相似法31.3MATLAB在連續(xù)性系統(tǒng)的應(yīng)用52 MATLAB基礎(chǔ)62.1MATLAB語(yǔ)言介紹62.2MATLAB工具箱62.3MATLAB對(duì)連續(xù)性系統(tǒng)的仿真性能分析73直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)設(shè)計(jì)73.1倒立擺系
3、統(tǒng)概述73.2倒立擺系統(tǒng)工作原理83.3倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立93.3.1確定系統(tǒng)輸入輸出量及中間變量：103.3.2受力分析，列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程：103.3.3系統(tǒng)非線性方程的線性化：113.3.4零初始條件下的拉氏變換：113.3.5代入?yún)?shù)求解傳遞函數(shù)：114基于MATLAB的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)果及分析124.1校正前系統(tǒng)性能仿真分析124.1.1穩(wěn)定性分析：124.1.2階躍響應(yīng)分析：124.1.3頻率特性分析：134.2PID控制設(shè)計(jì)校正裝置144.2.1計(jì)算開(kāi)環(huán)增益K：144.2.2計(jì)算校正后的增益交界頻率c：164.2.3計(jì)算參數(shù)確定傳遞函數(shù)：164.3 控制實(shí)驗(yàn)仿真分析165總結(jié)和
4、展望21參考文獻(xiàn)2221緒論1.1連續(xù)性系統(tǒng)簡(jiǎn)介所謂連續(xù)系統(tǒng)，其實(shí)就是體系的狀態(tài)會(huì)在時(shí)間遷移的條件下產(chǎn)生光滑且連續(xù)的改變的一個(gè)系統(tǒng)。其也包含那些因離散采樣而引起非連續(xù)改變的體系。這類系統(tǒng)通常能夠通過(guò)微分方程組進(jìn)行表示。如果方程之中的相關(guān)系數(shù)皆是常數(shù)，那么可將之稱作定常系統(tǒng)，如果相關(guān)系數(shù)會(huì)因時(shí)間的改變發(fā)生改變，那么可將之稱作。除此之外，相關(guān)的數(shù)學(xué)模型也可分為多個(gè)類別，除了連續(xù)模型（即通過(guò)微分方程進(jìn)行表示）之外，還有離散模型（通過(guò)差分方程進(jìn)行表示）以及二者的混合模型。如果某個(gè)體系能夠通過(guò)非線性的常微分方程組進(jìn)行表示，那么其就屬于非線性系統(tǒng)。其中的各個(gè)方程不僅含有狀態(tài)變量及其各階導(dǎo)數(shù)的線性組合，也含
5、有非線性項(xiàng)。其非線性特性主要表現(xiàn)在：（1）線性系統(tǒng)同時(shí)滿足均勻性與疊加性。線性方程必定有解，并且其解為零輸人響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)之和。非線性系統(tǒng)則不具有這些特征，即對(duì)非線性系統(tǒng)，通常疊加性原理不成立，非線性方程通常沒(méi)有解析表達(dá)形式的解。（2）給定一個(gè)線性系統(tǒng)，對(duì)于不同的初始狀態(tài)，它只有一種類型的運(yùn)動(dòng)。但對(duì)于非線性定常自由系統(tǒng)則不然，初始狀態(tài)不同，它對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)類型可以不一樣。非線性系統(tǒng)有三種類型的運(yùn)動(dòng)，即穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)、不穩(wěn)定運(yùn)動(dòng)和周期運(yùn)動(dòng)。1.2連續(xù)性系統(tǒng)基本處理方法1.2.1數(shù)值積分法如果通過(guò)相關(guān)的狀態(tài)方程來(lái)表示被模擬的體系，其對(duì)應(yīng)的一階微分方程以及初始值可以通過(guò)下式表示： （1-1）在這之中，Y代表
6、維度為n的狀態(tài)向量，而F則代表維度為n的向量函數(shù)。對(duì)于上式，當(dāng)時(shí)其對(duì)應(yīng)的連續(xù)解可以寫(xiě)成：（1-2）設(shè) ，令（1-3）則有：也就是說(shuō)，（1-4）如果準(zhǔn)確解為近似值，是準(zhǔn)確積分值的近似值，則式（1-4）就是式（1-2）的近似公式。換句話說(shuō)，連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)值解就轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)相鄰時(shí)刻之間的積分。綜上所述，（1-1）的數(shù)值求解策略本質(zhì)上就是求得該式的實(shí)際解在相應(yīng)的離散時(shí)間點(diǎn)之中的近似值，對(duì)于處在相鄰時(shí)刻的兩個(gè)點(diǎn)，其間距，通常被命名為步長(zhǎng)，一般令，保持不變。1.2.2替換法以上使用的通過(guò)數(shù)值積分對(duì)連續(xù)體系進(jìn)行模擬的策略盡管理論上較為完善、求解精度也較為不錯(cuò)，然而過(guò)程較為繁瑣，需要進(jìn)行大量的計(jì)算，一般僅將之應(yīng)
7、用于對(duì)于效率沒(méi)有過(guò)高要求的模擬工作之中。如果對(duì)于模擬工作有著實(shí)時(shí)性的需要，要求計(jì)算速度快，以便能在一個(gè)采樣周期內(nèi)完成全部計(jì)算任務(wù)，這就必須使用其他的高效率的求解方法。通過(guò)數(shù)值積分策略實(shí)現(xiàn)對(duì)連續(xù)體系的模擬，本質(zhì)上已對(duì)其實(shí)施了離散化的操作，只是在進(jìn)行離散化的各個(gè)步驟之中都會(huì)使用連續(xù)體系的模型，每一步都是離散之后再進(jìn)行求解。因此，可以先將相關(guān)連續(xù)模型實(shí)施離散化操作，獲得等價(jià)的離散模型，在這之后的各個(gè)計(jì)算工作中可以不必再涉及最初的連續(xù)模型，而是能夠直接使用該離散模型。通過(guò)對(duì)連續(xù)模型簡(jiǎn)化得到相應(yīng)的離散模型，能夠很好地適應(yīng)計(jì)算機(jī)上的計(jì)算環(huán)境，不但能夠應(yīng)用在連續(xù)體系的數(shù)字模擬工作中，同時(shí)也能夠通過(guò)計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)
8、相應(yīng)的數(shù)字控制器。替換法的核心思路為：對(duì)某個(gè)傳遞函數(shù)G（s），尋找將s域映射至z域的策略，從而實(shí)現(xiàn)屬于S域的變量到z平面之間的映射工作，從而能夠?qū)⒑瓦B續(xù)體系相關(guān)的G（s）轉(zhuǎn)化為離散的G（z）。之后可以通過(guò)G（z）進(jìn)行相應(yīng)的z反變換，得到對(duì)應(yīng)的通過(guò)差分方程進(jìn)行表示的離散模型，從而實(shí)現(xiàn)高效率的計(jì)算工作。根據(jù)z變換理論，s域到z域的最基本的映射關(guān)系是或 如果按這一映射關(guān)系直接代入G（s），得到的G（z）是相當(dāng)復(fù)雜的，不便于算法實(shí)現(xiàn)，所以往往借助于Z變換的基本映射關(guān)系或作一些簡(jiǎn)化和近似處理。1.2.3離散相似法離散相似法能夠把某個(gè)連續(xù)的體系實(shí)施離散化操作，并獲得與之對(duì)應(yīng)的差分方程形式的離散模型。得到對(duì)
9、應(yīng)的離散模型的策略包括兩類： （1）對(duì)傳遞函數(shù)實(shí)施相應(yīng)的離散化操作，從而獲得離散化的傳遞函數(shù)這類模型通常叫做“頻域離散相似模型”；（2）對(duì)狀態(tài)方程實(shí)施相應(yīng)的離散化操作這類模型通常叫做“時(shí)域離散相似模型3”；為了實(shí)現(xiàn)連續(xù)體系的數(shù)字模擬工作，首先可向體系之中添加相應(yīng)的虛擬采樣器以及保持器，具體的架構(gòu)可以參考下圖： 圖1-1 連續(xù)系統(tǒng)離散化結(jié)構(gòu)圖附注：上圖之中給出的采樣開(kāi)關(guān)以及保持器實(shí)際上是不存在的，而是為了將(1-5)式離散化而虛構(gòu)的。然后通過(guò)z變換實(shí)現(xiàn)對(duì)應(yīng)體系脈沖傳遞函數(shù)的求解，之后可在此基礎(chǔ)之上獲得體系所對(duì)應(yīng)的差分方程。 根據(jù)上圖不難得到相應(yīng)的脈沖傳遞函數(shù)模型，其可通過(guò)下式進(jìn)行表示: （1-5
10、）在這之中，Gh(s)代表保持器的傳遞函數(shù)，并且可根據(jù)保持器的種類獲得相應(yīng)的G(z)，具體可參考下表： 表1-1不同保持器的G(z)保持器的傳遞函數(shù)Gh(s)脈沖傳遞函數(shù)G(z)零階： 一階： 三角形： 對(duì)于某個(gè)連續(xù)體系，其狀態(tài)方程可以表示成下式：（1-6）如果在體系的輸入以及輸出部分都添加相應(yīng)的采樣控制開(kāi)關(guān)，在輸入部分額外添加保持器以確保相關(guān)信號(hào)能夠良好地還原，那么此時(shí)可獲得下圖所給出的結(jié)構(gòu)： 圖1-2采樣控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖若對(duì)方程(1-6)式兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換，得： 即： 以左乘上式的兩邊可得 ：（1-7）考慮到狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：（1-8）故對(duì)(1-7)式反變換可得：（1-9）此為(1-5)式的
11、連續(xù)解，由此可推導(dǎo)出系統(tǒng)的離散解。 根據(jù)上式，n及n+1兩個(gè)相連的采樣瞬間，有： （1-10）（1-11）（1-12）將(1-10)式減去(1-10)式后乘以，得： 將(1-11)式右邊積分進(jìn)行變量代換，即令： （1-13）則得：（1-14）但由圖1-2可知：若系統(tǒng)采用零階保持器時(shí)，則兩個(gè)采樣點(diǎn)之間輸入量可看做常數(shù)，即u(nT+t)=u(nT)，這樣(1-14)式可寫(xiě)為： 式中 ：1.3MATLAB在連續(xù)性系統(tǒng)的應(yīng)用瑞典的著名高校Lunds大學(xué)曾經(jīng)開(kāi)展過(guò)時(shí)間為3個(gè)月的極地研究工作，并在這個(gè)過(guò)程中大量運(yùn)用到了MATLAB和相關(guān)工具箱，其主要用于考察北極的放射性物質(zhì)和當(dāng)?shù)丨h(huán)境之間的作用關(guān)系。相關(guān)研
12、究者通過(guò)MATLAB來(lái)完成數(shù)據(jù)處理以及分析工作，同時(shí)通過(guò)提供的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱實(shí)現(xiàn)了對(duì)北冰洋之上漂浮木材的年輪圖像識(shí)別工作，從而確定相關(guān)浮木的來(lái)源。除此之外，F(xiàn)orsmark核電站也通過(guò)MATLAB來(lái)完成對(duì)核反應(yīng)堆的功率優(yōu)化工作，相關(guān)的研究者能夠在各個(gè)堆芯之中得到海量的數(shù)據(jù)，并在此基礎(chǔ)上求解各燃料棒以及控制設(shè)備坐標(biāo)的最優(yōu)值，從而獲得最高的功率。這個(gè)數(shù)據(jù)處理過(guò)程的規(guī)模非常大，且復(fù)雜度也極高，涉及到超過(guò)1700個(gè)結(jié)點(diǎn)的處理工作，為能精簡(jiǎn)這個(gè)流程， Forsmark通過(guò)MATLAB開(kāi)發(fā)得到了相應(yīng)的GUI交互界面，其能夠讓毫無(wú)經(jīng)驗(yàn)的人員進(jìn)行數(shù)據(jù)的處理和分析工作。不僅如此，F(xiàn)orsmark還進(jìn)一步通過(guò)MA
13、TLAB對(duì)一系列失效和擾動(dòng)的場(chǎng)景進(jìn)行建模處理。一旦反應(yīng)堆出現(xiàn)了擾動(dòng)現(xiàn)象，應(yīng)當(dāng)對(duì)相關(guān)信息進(jìn)行詳實(shí)的分析，從而實(shí)現(xiàn)引發(fā)擾動(dòng)因素的定位工作，利用MATLAB的種種優(yōu)勢(shì)，上述工作所耗費(fèi)的時(shí)間已經(jīng)從原本的7天降低到15分鐘。Calspan先進(jìn)技術(shù)中心曾對(duì)相關(guān)的飛行器進(jìn)行仿真測(cè)試，并有效提高了其性能。相關(guān)的模擬軟件工作與一系列并行的浮點(diǎn)DSP中，硬件部分則使用的dSPACE。在地面階段，首先通過(guò)Simulink模塊實(shí)現(xiàn)相關(guān)飛行器及其控制系統(tǒng)的建模以及模擬工作，之后通過(guò)Workshop產(chǎn)生對(duì)應(yīng)的C語(yǔ)言代碼，并傳輸?shù)斤w行器的DSP之中。進(jìn)行試飛之時(shí)，試飛員能夠通過(guò)DSP模塊對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行考察，飛行過(guò)程之中涉及到
14、的一系列參數(shù)也能夠?qū)崟r(shí)調(diào)整，同時(shí)也可下載到硬件之中進(jìn)行測(cè)試，從而有效降低了成本，提高了效率，能夠在控制系統(tǒng)原型的實(shí)際構(gòu)建之前便將相關(guān)試驗(yàn)全部完成。2 MATLAB基礎(chǔ)2.1MATLAB語(yǔ)言介紹MATLAB誕生初期，其僅僅是用于為數(shù)據(jù)分析工具Eispack與Linpack提供接口，其最早通過(guò)Fortran實(shí)現(xiàn)，之后通過(guò)C實(shí)現(xiàn)。1975年左右，M公司將其推出面向市場(chǎng)，并且將其功能逐漸豐富，開(kāi)發(fā)了文字圖像的處理、數(shù)值的運(yùn)算以及符號(hào)的解譯等功能，將其編程語(yǔ)言升級(jí)為面向?qū)ο笳Z(yǔ)言，并以此為用戶界面的設(shè)計(jì)語(yǔ)言，從而將其打造成了一個(gè)能夠在多個(gè)領(lǐng)域、多個(gè)學(xué)科都很好地發(fā)揮功能的軟件。其版本也逐漸的更新?lián)Q代，其有效
15、綜合了各種數(shù)據(jù)處理功能，包括矩陣求解、數(shù)據(jù)可視化、非線性體系的分析等等，目前在工程領(lǐng)域以及科研工作之中都得到了普遍的應(yīng)用，其主要包括下面幾個(gè)部分： 2.2MATLAB工具箱現(xiàn)階段，MATLAB已經(jīng)擁有了超過(guò)37個(gè)工具箱，同時(shí)其主要包括兩個(gè)類別，分別是功能類以及領(lǐng)域類。后者通常依賴于較高的特定領(lǐng)域?qū)I(yè)知識(shí)，主要有信號(hào)處理、自控、邏輯分析、圖象處理、通訊、偏微分方程等等很多細(xì)化的工具箱，可應(yīng)用的領(lǐng)域涵蓋了化學(xué)、數(shù)學(xué)、工程還有經(jīng)濟(jì)等等很多的領(lǐng)域范圍。功能型的工具箱主要是增強(qiáng)其圖形文字處理能力、模型建立和仿真功能、數(shù)值符號(hào)運(yùn)算解議以及和軟硬件系統(tǒng)的通信等一系列作用。使用者可以直接對(duì)相關(guān)工具箱的源代碼進(jìn)
16、行自行定制，以滿足特定的需求。3直線一級(jí)倒立系統(tǒng)設(shè)計(jì)3.1倒立擺系統(tǒng)概述倒立擺系統(tǒng)是用于進(jìn)行控制理論分析工作的一個(gè)非常經(jīng)典的設(shè)備，其有著非常精簡(jiǎn)的構(gòu)造，十分低廉的成本，同時(shí)相關(guān)參數(shù)以及構(gòu)造可以靈活地更改。該系統(tǒng)處于非穩(wěn)態(tài)，涉及變量多、階次高、耦合高。通過(guò)該系統(tǒng)，可以有效體現(xiàn)出控制流程里面的可能問(wèn)題，包括穩(wěn)健性、可定位性等等，該系統(tǒng)能夠用于對(duì)相關(guān)的控制理論進(jìn)行檢驗(yàn)。在各類控制理論的基礎(chǔ)之上，相關(guān)研究者已經(jīng)設(shè)計(jì)了各種類型的倒立擺系統(tǒng)。3.2倒立擺系統(tǒng)工作原理倒立擺系統(tǒng)的整體構(gòu)造可以參考下圖： 圖3-1便攜式一級(jí)倒立擺試驗(yàn)系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)圖該體系總的來(lái)說(shuō)由擺桿、支架、導(dǎo)軌、驅(qū)動(dòng)設(shè)備以及小車等部分構(gòu)成。主
17、體、驅(qū)動(dòng)器、電源和數(shù)據(jù)采集卡都置于實(shí)驗(yàn)箱內(nèi)，實(shí)驗(yàn)箱通過(guò)一條USB數(shù)據(jù)線與上位機(jī)進(jìn)行數(shù)據(jù)交換，另有一條線接220v交流電源。便攜式直線一級(jí)倒立擺的工作原理如圖3-2所示：圖3-2便攜式一級(jí)倒立擺工作原理圖數(shù)據(jù)采集卡能夠獲得各個(gè)編碼器產(chǎn)生的數(shù)據(jù)，其中，旋轉(zhuǎn)編碼器和擺桿之間處在相同的軸線之上，而電動(dòng)機(jī)和車輛之間以皮帶相連，因此能夠求出擺桿的偏角和車輛的偏移，并可進(jìn)一步得到角速度以及線速度，之后就能夠利用相關(guān)的控制理論求得對(duì)應(yīng)的控制量。后者會(huì)由計(jì)算機(jī)傳輸?shù)津?qū)動(dòng)設(shè)備之中，從而能夠進(jìn)行電機(jī)的控制工作，并保證擺桿處在豎直狀態(tài)。該閉環(huán)體系擁有反饋功能，主要的控制目的是在靜止和運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下實(shí)現(xiàn)穩(wěn)擺。如果輸入g=0
18、，則此時(shí)的偏差=0，控制設(shè)備并不會(huì)執(zhí)行操作；否則，偏差不等于0，控制設(shè)備會(huì)進(jìn)行分析處理，并對(duì)電機(jī)進(jìn)行控制，引起擺桿的運(yùn)動(dòng)，獲得的擺角通過(guò)角位移傳感器作用于輸出量，達(dá)到減小偏差的目的。根據(jù)控制原理繪制出控制方框圖如圖3-3所示：圖3-3便攜式一級(jí)倒立擺控制原理方框圖3.3倒立擺系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立該體系主要包括小車以及擺桿兩個(gè)模塊。擺桿能夠在垂直的平面內(nèi)自由地?cái)[動(dòng)，小車能夠在軌道上自由移動(dòng)。忽略摩擦力以及空氣阻力，不妨將該系統(tǒng)視作均質(zhì)桿體和小車構(gòu)成的一個(gè)剛體，因此可在經(jīng)典力學(xué)的基礎(chǔ)之上得到相應(yīng)的動(dòng)力模型，對(duì)其進(jìn)行受力分析可以獲得對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，在平面坐標(biāo)系中該系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖4-1所示，規(guī)定逆時(shí)針?lè)较?/p>
19、的轉(zhuǎn)角和力矩均為正。圖4-1 便攜式倒立擺結(jié)構(gòu)圖模型參數(shù)符號(hào)如下：M: 小車質(zhì)量；m: 擺桿質(zhì)量；I: 擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；l: 擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸的距離；L: 擺桿長(zhǎng)度； F: 外加在小車上的力；N:擺桿給小車的力；P:小車給擺桿的支持力； : 轉(zhuǎn)角；x: 小車位置；b: 小車與導(dǎo)軌間的摩擦系數(shù)。3.3.1確定系統(tǒng)輸入輸出量及中間變量： 輸入量：F: 加在小車上的力輸出量：: 轉(zhuǎn)角 中間變量：x: 小車位置3.3.2受力分析，列寫(xiě)運(yùn)動(dòng)方程：在水平方向上，根據(jù)上圖可以得到小車的受力為： （1）在水平方向上，根據(jù)上圖可以得到擺桿的受力為： （2）根據(jù)式（2）有： （3）綜合以上各式，能夠獲得體系的運(yùn)動(dòng)方程
20、1： (4)在豎直方向上，根據(jù)上圖可以得到擺桿的受力為： （5）由（5）得： （6）對(duì)擺桿進(jìn)行力矩分析，有： （7）聯(lián)立式(3)、(6)以及(7)，可以獲得體系的運(yùn)動(dòng)方程2： （8）因此可以獲得體系的2個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，如下所示： 3.3.3系統(tǒng)非線性方程的線性化：對(duì)于該系統(tǒng)，擺桿通常不會(huì)產(chǎn)生較高的偏角，也就是說(shuō)1，因此能夠近似化處置。對(duì)于該體系，當(dāng)F0,0為0,0之時(shí)處在平衡態(tài)，因此： 因此可得線性化的方程： 3.3.4零初始條件下的拉氏變換：3.3.5代入?yún)?shù)求解傳遞函數(shù)：該體系的物理參數(shù)為：小車的質(zhì)量M：0.618 kg擺桿的長(zhǎng)度L：0.350m擺桿的質(zhì)量m：0.0737 kg擺桿質(zhì)心到轉(zhuǎn)軸距
21、離l：0.1225m把相關(guān)數(shù)據(jù)回代到上式之中，即可計(jì)算出擺桿的偏角和車輛偏移之間的傳遞函數(shù)：(s)X(s)=6.122s2s-604基于MATLAB的一級(jí)倒立擺系統(tǒng)仿真結(jié)果及分析4.1校正前系統(tǒng)性能仿真分析4.1.1穩(wěn)定性分析：可通過(guò)下面的代碼得到體系進(jìn)行矯正之前的Nyquist圖，具體結(jié)果可參考下圖： num=6.122;den=1 0 -60;nyquist(num,den)圖4-1校正前系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Nyquist圖由圖分析知，系統(tǒng)開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=1，N=0。此時(shí)有Z=P+N=1，所以體系處在非穩(wěn)態(tài)。4.1.2階躍響應(yīng)分析：可通過(guò)下面的代碼得到體系進(jìn)行矯正之前的階躍響應(yīng)圖，具體結(jié)果可參考下圖：
22、 s=tf(s)G=6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB)圖4-2校正前系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖根據(jù)該結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，體系的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)不會(huì)隨時(shí)間遷移而降低，并處在逐漸發(fā)散的狀態(tài)中，所以體系處在非穩(wěn)態(tài)。4.1.3頻率特性分析：可通過(guò)下面的代碼得到體系進(jìn)行矯正之前的Bode圖，具體結(jié)果可參考下圖： num=6.122;den=1 0 -60;bode(num,den);圖4-3校正前系統(tǒng)Bode圖由圖分析知，相頻特性圖中相位裕度為0，因此體系處在非穩(wěn)態(tài)，可以通過(guò)頻率控制器進(jìn)行調(diào)整。4.2PID控制設(shè)計(jì)校正裝置構(gòu)建相應(yīng)的控制器，從而讓校正之后體系的穩(wěn)態(tài)位置誤差系數(shù)Kp=10，同
23、時(shí)對(duì)應(yīng)的相位裕度(c)=50。在進(jìn)行校正工作之前，體系的傳遞函數(shù)可通過(guò)下式表示：Gcs=Ts+1Ts+1如果用K代表開(kāi)環(huán)增益，那么進(jìn)行校正之后對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)可通過(guò)下式表示： KGcsG(s)=KTs+1Ts+16.122s2-604.2.1計(jì)算開(kāi)環(huán)增益K：由于，因此：KGcsGs=KTs+1Ts+16.122s2-60=10可以求出： 因此：KGs=6.12298s2-60可通過(guò)下面的代碼得到KG(s)的Bode圖，具體結(jié)果可參考下圖： num=6.122*98;den=1 0 -60;bode(num,den)圖4-4添加增益后的便攜式倒立擺的Bode圖不難發(fā)現(xiàn)，此時(shí)體系的相位裕量依舊是0，
24、因此對(duì)于相關(guān)的矯正設(shè)備，其應(yīng)當(dāng)產(chǎn)生的最大相位超前角m可通過(guò)下式進(jìn)行計(jì)算：對(duì)本系統(tǒng)：通過(guò)m 可以得到相應(yīng)的：=1+sinm1-sinm7.554.2.2計(jì)算校正后的增益交界頻率c：為能充分顯示出相關(guān)校正設(shè)備的相位超前效果，可以把校正設(shè)備的最大超前相角確定為體系增益交界頻率c，也就是m=c，在該處，有： Lc(m)+L(c)=0 帶入可得： 20lg+L(c)=0可以計(jì)算出：c=39.5rad/s4.2.3計(jì)算參數(shù)確定傳遞函數(shù)：m=c=T=39.5rad/s得：T =0.0696s則校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：KGcsG(s)=980.0696s+10.0092s+16.122s2-604.3 控
25、制實(shí)驗(yàn)仿真分析首先確定臨界增益Ku和臨界振蕩周期Tu，只加入P控制器，令Kp=9得：可通過(guò)下面的代碼得到體系進(jìn)行增益之后的階躍響應(yīng)圖，具體結(jié)果可參考下圖： s=tf(s)G=9*6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB,10)圖4-5Kp=9時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖根據(jù)該結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，體系的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)不會(huì)隨時(shí)間遷移而降低，并處在逐漸發(fā)散的狀態(tài)中，所以體系處在非穩(wěn)態(tài)。因此提高P控制量，令Kp=100得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖如圖4-6：圖4-6Kp=100時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖根據(jù)該結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，體系的階躍響應(yīng)數(shù)據(jù)處在逐步收斂的狀態(tài)中，為讓該曲線處在震蕩狀態(tài)，應(yīng)降低Kp，故令
26、Kp=90得系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖如圖4-7：圖4-7 Kp=90時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖根據(jù)該結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，臨界的增益Ku=90，此時(shí)的周期Tu=0.4。因此可算出Kp、Ti以及Td：Kp=0.6Ku=0.690=54Ti=0.5Tu=0.2Td=0.125Tu=0.05Gks=54(1+0.05s+10.2s)6.122s2-60可通過(guò)下面的代碼得到體系進(jìn)行PID校正之后的階躍響應(yīng)圖，具體結(jié)果可參考下圖： s=tf(s)G=54*(1+0.0375*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB=G/(1+G);step(GB,4)圖4-8 Kp=90時(shí)PID校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線
27、圖根據(jù)該結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，曲線處在劇烈震蕩之中，所以要提高比例系數(shù)，取Kp=100可繪制出PID校正后系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖如圖4-9：圖4-9 Kp=100時(shí)PID校正后系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖由圖分析知，穩(wěn)態(tài)誤差較大，穩(wěn)定時(shí)間較大，故增加微分參數(shù)，加大微分作用，分別取Td=0.05、0.1、0.3。在MATLAB中輸入如下代碼，可繪制出三種情況下的系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線圖如圖4-10：s=tf(s)G1=100*(1+0.05*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB1=G1/(1+G1);G2=100*(1+0.1*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB2=G2/(1+G
28、2);G3=100*(1+0.3*s+1/0.15/s)*6.122/(s2-60);GB3=G3/(1+G3);subplot(3,1,1)step(GB1,4)subplot(3,1,2)step(GB2,4)subplot(3,1,3)step(GB3,4)圖4-10 Td=0.05、0.1、0.3時(shí)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線圖上圖之中的Td從上到下逐漸提高。根據(jù)該結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，穩(wěn)定時(shí)間隨著穩(wěn)態(tài)誤差的降低而降低，控制效果則越明顯?？赏ㄟ^(guò)下面的代碼得到體系進(jìn)行校正之后的Nyquist和Bode圖，具體結(jié)果可參考下圖： s=tf(s)G=599.956*(0.0696*s+1)/(0.0092*s+
29、1)*(s2-60);nyquist(G)bode(G)圖4-11校正后系統(tǒng)的Nyquist圖圖4-12校正后系統(tǒng)的Bode圖根據(jù)該結(jié)果不難發(fā)現(xiàn)，Nyquist曲線沿著逆時(shí)針的方向環(huán)繞-1,0一周，也就是N=-1。此時(shí)體系的開(kāi)環(huán)右極點(diǎn)數(shù)P=1。因此有Z=P+N=0，此時(shí)體系處在穩(wěn)態(tài)下；同樣，在Bode圖中，增益交界頻率c=0處對(duì)應(yīng)的相位裕度為最大值，約為50，達(dá)到校正要求。5總結(jié)和展望通過(guò)本次實(shí)驗(yàn)，筆者對(duì)倒立擺和PID控制理論擁有更為全面的認(rèn)知，并根據(jù)PID理論構(gòu)建了直線一級(jí)倒立擺的控制體系。結(jié)果顯示，通過(guò)PID進(jìn)行倒立擺的控制工作，能夠體現(xiàn)出較高的準(zhǔn)確性和可靠性，并且其系統(tǒng)成本低、安裝簡(jiǎn)單、
30、維護(hù)調(diào)試方便，更易于擴(kuò)展。本次實(shí)驗(yàn)也讓我更加了解MATLAB軟件的操作，并加深認(rèn)識(shí)信號(hào)之間的處理和圖像的處理，MATLAB的功能很強(qiáng)大，很多實(shí)驗(yàn)都可以用MATLAB仿真，表現(xiàn)了MATLAB強(qiáng)大的仿真及數(shù)據(jù)分析處理能力。MATLAB 是現(xiàn)階段工業(yè)領(lǐng)域和科研領(lǐng)域常用的技術(shù)，目前得到了廣泛的應(yīng)用。就本研究而言，對(duì)于線性控制領(lǐng)域， MATLAB擁有非常方便快捷的數(shù)據(jù)處理能力。其實(shí)我了解MATLAB只是一小部分，在今后的日子我會(huì)繼續(xù)學(xué)習(xí)MATLAB，經(jīng)過(guò)這次實(shí)驗(yàn)，我對(duì)MATLAB的認(rèn)識(shí)和應(yīng)用有了更加深刻的理解。（1）本實(shí)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進(jìn)控制環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，最后得出結(jié)果的過(guò)程中，
31、參考了大量的資料，通過(guò)對(duì)比整合，設(shè)計(jì)出了適合自己的一套實(shí)驗(yàn)方法：倒立擺數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)部分：首先用牛頓歐拉方法建立數(shù)學(xué)模型，接著用動(dòng)態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程法導(dǎo)出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，然后用MATLAB對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行從狀態(tài)空間到傳遞函數(shù)的變換（包括傳遞函數(shù)的拉氏變換與Z變換），得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。接著根據(jù)數(shù)學(xué)建模得出的傳遞函數(shù)進(jìn)行系統(tǒng)模型的搭建，在Simulink軟件上進(jìn)行系統(tǒng)仿真，采用最為廣泛的PID控制算法，先用連續(xù)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出模擬控制器，然后在滿足一定條件下，對(duì)其進(jìn)行離散化處理，(采用加零階保持器的Z變換法)形成數(shù)字控制器。接著進(jìn)行PID參數(shù)整定，利用試湊法,根據(jù)PID控制器各組成環(huán)節(jié)對(duì)系
32、統(tǒng)性能的影響，從一組初始PID參數(shù)開(kāi)始反復(fù)試湊，直至獲得，滿意的控制效果。此實(shí)驗(yàn)中，系統(tǒng)的控制非常穩(wěn)定，性能較好。（2）根據(jù)實(shí)驗(yàn)不難發(fā)現(xiàn)，倒立擺系統(tǒng)屬于非線性的非穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)，且復(fù)雜度比較大，因此要獲得良好的穩(wěn)定性，需要將之線性化處理并實(shí)施控制策略。本研究通過(guò)線性化以及相關(guān)的控制方法，讓系統(tǒng)達(dá)到了良好的穩(wěn)定狀態(tài)。當(dāng)然，這只是一個(gè)理想模型，在實(shí)際應(yīng)用中情況會(huì)更加復(fù)雜，穩(wěn)定性也更難獲得。不過(guò)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，我們至少掌握了簡(jiǎn)單控制的基本方法，同時(shí)產(chǎn)生了期望的結(jié)果。（3）本次研究讓筆者對(duì)于倒立擺模擬的各個(gè)環(huán)節(jié)擁有了更全面的認(rèn)知，也對(duì)模擬軟件Simulink更加了解，同時(shí)也深刻地掌握了系統(tǒng)控制的各個(gè)過(guò)程，無(wú)論是
33、在最初的模型搭建還是后續(xù)的模擬測(cè)試，都秉著認(rèn)真負(fù)責(zé)的態(tài)度完成了倒立擺仿真研究。（4）此外，通過(guò)仿真，再次認(rèn)識(shí)到了自動(dòng)控制在改善系統(tǒng)性能方面的重要性，并激發(fā)了良好的關(guān)于系統(tǒng)控制方面的學(xué)習(xí)興趣，在此基礎(chǔ)上，相信對(duì)以后的進(jìn)一步研究將會(huì)有較大幫助。參考文獻(xiàn)1 馬揚(yáng)龍, 陳瓊, 寧玉玲. 基于MATLAB的單級(jí)倒立擺的LQR控制研究J. 工業(yè)控制計(jì)算機(jī), 2013, 26(2):98-99.2 羅芳, 潘光輝, LUOFang,等. 基于MATLAB的模糊控制倒立擺系統(tǒng)研究J. 清遠(yuǎn)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào), 2015, 8(3):80-82.3 尹貽曉, 直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)研究D. 山東農(nóng)業(yè)大學(xué), 2015.
34、4 王惠萍, 孔慶忠. 直線一級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)建模和根軌跡控制J. 內(nèi)蒙古工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2015, 34(1):20-24.5 蒲建波, 彭曉樂(lè), 尹彥東,等. 倒立擺控制方法的比較研究J. 工業(yè)儀表與自動(dòng)化裝置, 2016(2):11-15.6 劉二林, 姜香菊. 基于雙PID的旋轉(zhuǎn)倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)J. 制造業(yè)自動(dòng)化, 2015(6):139-142.7 李永強(qiáng)，楊明忠.智能控制理論在倒立擺系統(tǒng)中應(yīng)用研究，現(xiàn)代機(jī)械，2006，2：100-1038 王衛(wèi)華，單級(jí)倒立擺的專家模糊控制J.湖北大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科版),1999,(6):117-120.9 夏德鈐，翁貽芳.自動(dòng)控制理論M.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2004:1-30.21
基于matlab在連續(xù)性系統(tǒng)中的仿真研究 計(jì)算機(jī)科學(xué)和技術(shù)專業(yè)
