北師大版數(shù)學(xué)必修四課件：第1章167;4 4.14.2

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1、北 師 大 版 數(shù) 學(xué) 課 件2019 版 教 學(xué) 精 品 4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與 誘導(dǎo)公式4.1 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4.2 單位圓與周期性 1. 1. 掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義. .2.2.利用單位圓理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是周期函數(shù)利用單位圓理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是周期函數(shù), ,并知道它們的周期并知道它們的周期. .3. 3. 知道周期函數(shù)的定義知道周期函數(shù)的定義. .銳角三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)的定義sin_;cos_;aa=鄰邊斜邊對(duì)邊斜邊對(duì)邊對(duì)邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊P(u,v)xyorM 設(shè)設(shè)銳角銳角 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)的頂點(diǎn)與原點(diǎn) 重

2、合重合,始邊與始邊與 軸的非軸的非 負(fù)半軸重合負(fù)半軸重合.在在 的終邊上的終邊上任取任取一一點(diǎn)點(diǎn) ,它與原點(diǎn)的距離它與原點(diǎn)的距離Ox( , )P u v22ruvsincosMPOPOMOP銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化vrurM以原點(diǎn)以原點(diǎn)O O為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓叫作單位圓為圓心，以單位長(zhǎng)度為半徑的圓叫作單位圓x(1,0)x(1,0)OP(P(u, ,v) )yMxsin,cosMPvOPOMuOP當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)P(P(u, ,v) )就是就是 的終邊與單位圓的交點(diǎn)時(shí)的終邊與單位圓的交點(diǎn)時(shí), ,銳角銳角三角函數(shù)會(huì)有什么結(jié)果？三角函數(shù)會(huì)有什么結(jié)果？由三角形相似知識(shí)可知由三角形相似知識(shí)

3、可知, ,比值比值 與點(diǎn)與點(diǎn)P(P(u, ,v) ) 在終邊上的位置無(wú)關(guān)在終邊上的位置無(wú)關(guān), ,只與角只與角 有關(guān)有關(guān). .,vurr任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義xyOP(u,v)x(1,0)如圖，設(shè)如圖，設(shè)是一個(gè)任意角，是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(P(u, ,v) )，那么，那么：1.1.v叫作叫作的正弦函數(shù)，的正弦函數(shù)， 記作記作sinsin，即，即sinsin= =v； 2.2.u叫作叫作的余弦函數(shù)，的余弦函數(shù)， 記作記作coscos，即，即coscos= =u; ; 設(shè)設(shè)是一個(gè)任意的象限角，那么當(dāng)是一個(gè)任意的象限角，那么當(dāng)在第一、在第一、二

4、、三、四象限時(shí)，二、三、四象限時(shí)，sinsin的取值符號(hào)分別如何？的取值符號(hào)分別如何？coscos的取值符號(hào)分別如何？的取值符號(hào)分別如何？sinvcosu綜上分析，正、余弦函數(shù)在各個(gè)象限的取值符號(hào)如下表：綜上分析，正、余弦函數(shù)在各個(gè)象限的取值符號(hào)如下表： 三角函數(shù)三角函數(shù)第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限sincos+ + + + +你有什么辦法記住這些信息？你有什么辦法記住這些信息？ a例例1 1：在直角坐標(biāo)系的單位圓中，：在直角坐標(biāo)系的單位圓中，(1) (1) 畫(huà)出角畫(huà)出角 ；(2) (2) 求出角求出角 的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)；的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐

5、標(biāo)；(3) (3) 求出角求出角 的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值. .4pa= -a4pa= -例例2 2 已知角已知角 終邊上一點(diǎn)終邊上一點(diǎn)P P 求角求角 的正弦函數(shù)值、的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值余弦函數(shù)值. .解解 因?yàn)辄c(diǎn)因?yàn)辄c(diǎn)P P 在角在角 的終邊上，的終邊上，所以所以 可知可知?jiǎng)t則sin = cos =sin = cos =3(,2),23(,2)23x,y2,2 2235rOP()2.22y24,5r523x32.5r52 120 022321 132120 012-32-1-132-12-0 01 13222120 0-1-132-12-32-120 03212

6、-1 1 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，畫(huà)出下列各特殊角，求各在直角坐標(biāo)系的單位圓中，畫(huà)出下列各特殊角，求各個(gè)角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將各特殊角的正弦函數(shù)個(gè)角終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值填入下表值、余弦函數(shù)值填入下表 觀察此表格中的數(shù)據(jù)觀察此表格中的數(shù)據(jù), ,你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=sinxy=sinx和和y=cosxy=cosx的的變化有什么特點(diǎn)嗎？變化有什么特點(diǎn)嗎？ 觀察右圖，在單位圓中，由任意角觀察右圖，在單位圓中，由任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義不難得到下的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義不難得到下列事實(shí)：終邊相同的角的正弦函數(shù)值相列事實(shí)：終邊相同的角的正弦函數(shù)

7、值相等，即等，即 ；終邊相同的角的余弦值相等，終邊相同的角的余弦值相等，即即 . .cos(2 )cos ,xkx kZp+=sin(2 )sin ,xkx kZp+= 上述兩個(gè)等式說(shuō)明：對(duì)于任意一個(gè)角上述兩個(gè)等式說(shuō)明：對(duì)于任意一個(gè)角x x，每增加，每增加 的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變. .所以，正所以，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的. .我們把這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作周期我們把這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作周期函數(shù)函數(shù). .2p 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)

8、是周期函數(shù)，稱(chēng)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱(chēng) 為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.2(,0)kkZ kp喂 例如，例如， 等都是它們的周期等都是它們的周期.其中其中 是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè)，稱(chēng)為是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個(gè)，稱(chēng)為最小正最小正周期周期.4 ,2 ,2 ,4pppp-2p 一般地，對(duì)于函數(shù)一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)f(x)，如果存在非零常數(shù)，如果存在非零常數(shù)T T ，對(duì)定，對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)義域內(nèi)的任意一個(gè)x x值，都有值，都有f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x), , 那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)f(x)稱(chēng)為稱(chēng)為周期函數(shù)周期函數(shù)，

9、T T稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期稱(chēng)為這個(gè)函數(shù)的周期. .周期函數(shù)周期函數(shù)1.1.已知角的終邊過(guò)點(diǎn)已知角的終邊過(guò)點(diǎn)P P（-3-3，-4-4），求角的正弦、余弦值），求角的正弦、余弦值. . 2.2.確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)確定下列三角函數(shù)值的符號(hào). .（1 1） ; ;（2 2） ; (3); (3) ; ;cos250sin()49cos44sin5 3cos5 (1)(2)(3)1.1.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義. .2.2.知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，并知道它的最知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，并知道它的最小正周期為小正周期為 . .3.3.了解周期函數(shù)的定義了解周期函數(shù)的定義. .2p不辭艱險(xiǎn)出夔門(mén)，救國(guó)圖強(qiáng)一片心；莫謂東方皆落后，亞洲崛起有黃人。 吳玉章