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1、北 師 大 版 數(shù) 學(xué) 課 件2019 版 教 學(xué) 精 品 4 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的定義與 誘導(dǎo)公式4.1 任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義4.2 單位圓與周期性 1. 1. 掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義. .2.2.利用單位圓理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是周期函數(shù)利用單位圓理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)都是周期函數(shù), ,并知道它們的周期并知道它們的周期. .3. 3. 知道周期函數(shù)的定義知道周期函數(shù)的定義. .銳角三角函數(shù)的定義銳角三角函數(shù)的定義sin_;cos_;aa=鄰邊斜邊對邊斜邊對邊對邊鄰邊鄰邊斜邊斜邊P(u,v)xyorM 設(shè)設(shè)銳角銳角 的頂點與原點的頂點與原點 重
2、合重合,始邊與始邊與 軸的非軸的非 負(fù)半軸重合負(fù)半軸重合.在在 的終邊上的終邊上任取任取一一點點 ,它與原點的距離它與原點的距離Ox( , )P u v22ruvsincosMPOPOMOP銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化銳角三角函數(shù)坐標(biāo)化vrurM以原點以原點O O為圓心，以單位長度為半徑的圓叫作單位圓為圓心，以單位長度為半徑的圓叫作單位圓x(1,0)x(1,0)OP(P(u, ,v) )yMxsin,cosMPvOPOMuOP當(dāng)點當(dāng)點P(P(u, ,v) )就是就是 的終邊與單位圓的交點時的終邊與單位圓的交點時, ,銳角銳角三角函數(shù)會有什么結(jié)果？三角函數(shù)會有什么結(jié)果？由三角形相似知識可知由三角形相似知識
3、可知, ,比值比值 與點與點P(P(u, ,v) ) 在終邊上的位置無關(guān)在終邊上的位置無關(guān), ,只與角只與角 有關(guān)有關(guān). .,vurr任意角的三角函數(shù)定義任意角的三角函數(shù)定義xyOP(u,v)x(1,0)如圖，設(shè)如圖，設(shè)是一個任意角，是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點它的終邊與單位圓交于點P(P(u, ,v) )，那么，那么：1.1.v叫作叫作的正弦函數(shù)，的正弦函數(shù)， 記作記作sinsin，即，即sinsin= =v； 2.2.u叫作叫作的余弦函數(shù)，的余弦函數(shù)， 記作記作coscos，即，即coscos= =u; ; 設(shè)設(shè)是一個任意的象限角，那么當(dāng)是一個任意的象限角，那么當(dāng)在第一、在第一、二
4、、三、四象限時，二、三、四象限時，sinsin的取值符號分別如何？的取值符號分別如何？coscos的取值符號分別如何？的取值符號分別如何？sinvcosu綜上分析，正、余弦函數(shù)在各個象限的取值符號如下表：綜上分析，正、余弦函數(shù)在各個象限的取值符號如下表： 三角函數(shù)三角函數(shù)第一象限第一象限 第二象限第二象限 第三象限第三象限 第四象限第四象限sincos+ + + + +你有什么辦法記住這些信息？你有什么辦法記住這些信息？ a例例1 1：在直角坐標(biāo)系的單位圓中，：在直角坐標(biāo)系的單位圓中，(1) (1) 畫出角畫出角 ；(2) (2) 求出角求出角 的終邊與單位圓的交點坐標(biāo)；的終邊與單位圓的交點坐
5、標(biāo)；(3) (3) 求出角求出角 的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值. .4pa= -a4pa= -例例2 2 已知角已知角 終邊上一點終邊上一點P P 求角求角 的正弦函數(shù)值、的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值余弦函數(shù)值. .解解 因為點因為點P P 在角在角 的終邊上，的終邊上，所以所以 可知可知則則sin = cos =sin = cos =3(,2),23(,2)23x,y2,2 2235rOP()2.22y24,5r523x32.5r52 120 022321 132120 012-32-1-132-12-0 01 13222120 0-1-132-12-32-120 03212
6、-1 1 在直角坐標(biāo)系的單位圓中，畫出下列各特殊角，求各在直角坐標(biāo)系的單位圓中，畫出下列各特殊角，求各個角終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，并將各特殊角的正弦函數(shù)個角終邊與單位圓的交點坐標(biāo)，并將各特殊角的正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值填入下表值、余弦函數(shù)值填入下表 觀察此表格中的數(shù)據(jù)觀察此表格中的數(shù)據(jù), ,你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)你能發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=sinxy=sinx和和y=cosxy=cosx的的變化有什么特點嗎？變化有什么特點嗎？ 觀察右圖，在單位圓中，由任意角觀察右圖，在單位圓中，由任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義不難得到下的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)定義不難得到下列事實：終邊相同的角的正弦函數(shù)值相列事實：終邊相同的角的正弦函數(shù)
7、值相等，即等，即 ；終邊相同的角的余弦值相等，終邊相同的角的余弦值相等，即即 . .cos(2 )cos ,xkx kZp+=sin(2 )sin ,xkx kZp+= 上述兩個等式說明：對于任意一個角上述兩個等式說明：對于任意一個角x x，每增加，每增加 的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變的整數(shù)倍，其正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均不變. .所以，正所以，正弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的弦函數(shù)值、余弦函數(shù)值均是隨角的變化呈周期性變化的. .我們把這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作周期我們把這種隨自變量的變化呈周期性變化的函數(shù)叫作周期函數(shù)函數(shù). .2p 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)
8、是周期函數(shù)，稱正弦函數(shù)、余弦函數(shù)是周期函數(shù)，稱 為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期.2(,0)kkZ kp喂 例如，例如， 等都是它們的周期等都是它們的周期.其中其中 是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個，稱為是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)正周期中最小的一個，稱為最小正最小正周期周期.4 ,2 ,2 ,4pppp-2p 一般地，對于函數(shù)一般地，對于函數(shù)f(x)f(x)，如果存在非零常數(shù)，如果存在非零常數(shù)T T ，對定，對定義域內(nèi)的任意一個義域內(nèi)的任意一個x x值，都有值，都有f(x+T)=f(x)f(x+T)=f(x), , 那么函數(shù)那么函數(shù)f(x)f(x)稱為稱為周期函數(shù)周期函數(shù)，
9、T T稱為這個函數(shù)的周期稱為這個函數(shù)的周期. .周期函數(shù)周期函數(shù)1.1.已知角的終邊過點已知角的終邊過點P P（-3-3，-4-4），求角的正弦、余弦值），求角的正弦、余弦值. . 2.2.確定下列三角函數(shù)值的符號確定下列三角函數(shù)值的符號. .（1 1） ; ;（2 2） ; (3); (3) ; ;cos250sin()49cos44sin5 3cos5 (1)(2)(3)1.1.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義. .2.2.知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，并知道它的最知道正弦函數(shù)、余弦函數(shù)都是周期函數(shù)，并知道它的最小正周期為小正周期為 . .3.3.了解周期函數(shù)的定義了解周期函數(shù)的定義. .2p不辭艱險出夔門，救國圖強一片心；莫謂東方皆落后，亞洲崛起有黃人。 吳玉章
北師大版數(shù)學(xué)必修四課件：第1章167;4 4.14.2
