2011年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講解 函數(shù)與方程思想

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1、2011年中考數(shù)學(xué)專項(xiàng)講解 函數(shù)與方程思想 知識(shí)梳理 方程是研究數(shù)量關(guān)系的重要工具，在處理生活中實(shí)際問題時(shí)，根據(jù)已知與未知量之間的聯(lián)系及相等關(guān)系建立方程或方程組，從而使問題獲得解決的思想方法稱為方程思想．而函數(shù)的思想是用運(yùn)動(dòng)、變化的觀點(diǎn)，研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，再用函數(shù)的形式把變量之間的關(guān)系表示出來．函數(shù)與方程思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，也是中考必考的內(nèi)容． 典型例題 【例1】 如圖：在△ABC中，BA=BC=20 cm，AC=30 cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB以每秒4 cm的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)；同時(shí)Q點(diǎn)從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3 cm的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x秒．

2、 (1)當(dāng)x為何值時(shí)，PQ∥BC? (2)△APQ能否與△CQB相似? (3)若能．求出AP的長(zhǎng)；若不能．請(qǐng)說明理由． 【解】(1)根據(jù)題意AP=4xcm，AQ=AC－QC=(30－30x)cm，若PQ∥BC，則． 則，解得．所以當(dāng)s時(shí)，PQ∥BC． (2)因?yàn)椤螦=∠C，所以當(dāng)或時(shí)，△APQ能與△CQB棚以． ①當(dāng)時(shí)，，解得． ②當(dāng)時(shí)，，解得x1=5，x2=－10(舍去)．所以AP=4x=20． 所以當(dāng)cm或20 cm時(shí)，△APQ與△CQB相似． 【解題反思】 由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可列出分式方程，從

3、而求解；在已知一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的前提下考慮兩個(gè)三角形相似時(shí)，有兩種情況，不可遺漏． 【例2】某企業(yè)投資100萬元引進(jìn)一條農(nóng)產(chǎn)品加工生產(chǎn)線，若不計(jì)維修、保養(yǎng)費(fèi)用，預(yù)計(jì)投產(chǎn)后每年可創(chuàng)利33萬元，該生產(chǎn)線投產(chǎn)后，從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用累計(jì)為y(萬元)，且y=x2+bx，若第1年的維修、保養(yǎng)費(fèi)為2萬元，第2年的維修、保養(yǎng)費(fèi)為4萬元． (1)求y的解析式； (2)投產(chǎn)后，這個(gè)企業(yè)在第幾年就能收回投資? 【解】 (1)由題意，把x=1時(shí)，y=2和x=2時(shí)，y=2+4=6，代入y=x2+bx，得 ，解得，所以y=x2+x (2)設(shè)y′=33x－100－x2－x

4、，則y′=－x2+32x－100=－(x－16) 2+156． 由于當(dāng)1≤x≤16時(shí)，y′隨x的增大而增大，且當(dāng)x=1、2、3時(shí)，y′的值均小于0，當(dāng)x=4時(shí)，y′=－12 2+156>0，已知投產(chǎn)后該企業(yè)在第4年就能收回成本． 【解題反思】 用函數(shù)思想解決實(shí)際問題，要關(guān)注自變量與函數(shù)之間的關(guān)系，注意：本題中的y是從第1年到第x年的維修、保養(yǎng)費(fèi)用總和． 【例3】某村響應(yīng)黨中央“減輕農(nóng)民負(fù)擔(dān)，提高農(nóng)民生活水平”的號(hào)召，該村實(shí)行合作醫(yī)療制度，村委會(huì)規(guī)定： (一)每位村民年初交納合作醫(yī)療基金元； (二)村民個(gè)人當(dāng)年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)(以醫(yī)院的收據(jù)為準(zhǔn))，年底按

5、下列辦法處理． 村民個(gè)人當(dāng)年花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi) 醫(yī)療費(fèi)的處理辦法 不超過b元的部分 全部由村集體承擔(dān)(即全部報(bào)銷) 超過b元不超過5000元的部分 個(gè)人承擔(dān)c％，其余部分由村集體承擔(dān) 超過5000元的部分 全部由村集體承擔(dān) 設(shè)一位村民當(dāng)年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)用為x元，他個(gè)人實(shí)際承擔(dān)的醫(yī)療費(fèi)用(包括醫(yī)療費(fèi)中個(gè)人承擔(dān)的部分和繳納的合作醫(yī)療基金)為y元． (1)當(dāng)0≤x≤b時(shí)，y=________；當(dāng)b<x≤5000時(shí)，y=_______(用含、b、c、x的代數(shù)式表示) (2)下表是該村3位村民2008年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)和個(gè)人實(shí)際承擔(dān)的費(fèi)用，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)

6、，求、b、c的值；寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；并計(jì)算村民個(gè)人一年最多承擔(dān)醫(yī)療費(fèi)為多少元． 村民 治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)x(元) 個(gè)人實(shí)際承擔(dān)的費(fèi)用y(元) 甲 40 30 乙 90 50 丙 150 80 (3)下表是小強(qiáng)同學(xué)一家2006年治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)用： 家庭成員 爺爺 奶奶 爸爸 媽媽 小強(qiáng) 治療花費(fèi)的醫(yī)療費(fèi)(元) 200 100 10 30 20 請(qǐng)你幫助小強(qiáng)計(jì)算參加合作醫(yī)療保險(xiǎn)后村集體為他們家所承擔(dān)的費(fèi)用． 【解】(1) +(x－b)c％ (2)假設(shè)b≤40，則 ②－①得，c=40，③－②得，c=50，結(jié)

7、果矛盾，b>40，這樣①不成立，應(yīng)為=30，代入②和③中，解得c=50，b=50．當(dāng)0≤x≤50時(shí)，y=30；當(dāng)50<x≤5000時(shí)，y=30+(x－50)50％=0．5x+5；當(dāng)x>5000時(shí)，y=2505，村民個(gè)人一年最多承擔(dān)醫(yī)療費(fèi)為2505元； (3)全家醫(yī)藥費(fèi)合計(jì)200+100+10+30+20=360，個(gè)人應(yīng)該承擔(dān)的藥費(fèi)之和(0．5×200+5) +(0．5×100+5)+30+30+30=250，集體為他們家承擔(dān)的藥費(fèi)360－250=110(元)． 【解題反思】 本題的關(guān)鍵是確定的范圍，這里采用了反證法來說明b>40．

8、 綜合訓(xùn)練 1．如果關(guān)于x的方程無解，則的值為__________． 2．如圖，已知矩形ABCD中，E是AD上一點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4 cm，矩形ABCD的周長(zhǎng)為32 cm，求AE的長(zhǎng)． 3．如圖，△ABC中，AC=4，AB=5，D是線段AC上一點(diǎn)(點(diǎn)D不與點(diǎn)A重合，可與點(diǎn)C重合)，E是線段AB上一點(diǎn)，且∠ADE=∠B．設(shè)AD=x，BE=y． (1)寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)寫出y的取值范圍． 4．如圖，某農(nóng)場(chǎng)要用總長(zhǎng)24 m的木欄建一個(gè)長(zhǎng)方形的養(yǎng)雞場(chǎng)，雞場(chǎng)的一邊靠墻(墻長(zhǎng)12m)，且中間隔有一道木欄，

9、設(shè)雞場(chǎng)的寬AB為xm，面積為S m2； (1)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； (2)若雞場(chǎng)的面積為45 m2，試求出雞場(chǎng)的寬AB的長(zhǎng)； (3)雞場(chǎng)的面積能否達(dá)到50 m2? 若能，請(qǐng)給出設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說明理由． 5．某空軍加油飛機(jī)接到命令，立即給另一架正在飛行的運(yùn)輸飛機(jī)進(jìn)行空中加油．在加油過程中，設(shè)運(yùn)輸飛機(jī)的油箱余油量為Q1噸，加油飛機(jī)的加油油箱余油量為Q2噸，加油時(shí)間為t分鐘，Q1、Q2與t之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，結(jié)合圖象回答下列問題： (1)加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了多少噸油?將這些油全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需多少分鐘? (2)

10、求加油過程中，運(yùn)輸飛機(jī)的余油量Q1(噸)與時(shí)間t(分鐘)的函數(shù)關(guān)系式； (3)運(yùn)輸飛機(jī)加完油后，以原速繼續(xù)飛行，需10小時(shí)到達(dá)目的地，油料是否夠用?說明理由． 6．近幾年我省高速公路的建設(shè)有了較大的發(fā)展，有力的促進(jìn)了我省的經(jīng)濟(jì)建設(shè)，正在修建中的某段高速公路要招標(biāo)，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)，若甲、乙兩隊(duì)合作，24天可以完成，需費(fèi)用120萬元；若甲隊(duì)單獨(dú)做20天后，剩下的工程由乙隊(duì)做，還需40天才能完成，這樣需要費(fèi)用110萬元．問： (1)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需多少天? (2)甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，各需要費(fèi)用多少萬元?

11、7．已知，關(guān)于x的一元二次方程mx2－(3m+2)x+2m+2=0(m>0)． (1)求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根； (2)設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x1、x2(其中x1<x2)，若y是關(guān)于m的函數(shù)，且y=x2－2x1，求這個(gè)函數(shù)的解析式； (3)在(2)的條件下，結(jié)合函數(shù)的圖象回答：當(dāng)m滿足什么條件時(shí)，y≤－m+3? 8．已知：△ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別是、b、c，若關(guān)于x的方程x2－2(b+c)x+2bc+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，且△ABC的面積為8，． (1)試判斷△ABC的形狀并求b、c的長(zhǎng)； (

12、2)若點(diǎn)P為線段AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PQ∥AC交BC于點(diǎn)Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點(diǎn)B與線段MN不在線段PQ的同側(cè)，設(shè)正方形PQMN與△ABC的公共部分的面積為S，BP的長(zhǎng)為x． ①試寫出S與x之間的函數(shù)關(guān)系式； ②當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，S的值為3． 9．(02鎮(zhèn)江)已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)三點(diǎn)． (1)求此拋物線的解析式和頂點(diǎn)M的坐標(biāo)，并在給定的直角坐標(biāo)系中畫出這條拋物線． (2)若點(diǎn)(x0，y0)在拋物線上，且0≤x0≤4，試寫出y0的取值范圍． (3)設(shè)平行于y軸

13、的直線x=t交線段BM于點(diǎn)P(點(diǎn)P能與點(diǎn)M重合，不能與點(diǎn)B重合)，交x軸于點(diǎn)Q，四邊形AQPC的面積為S． ①求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式以及自變量t的取值范圍． ②求S取得最大值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)． ③設(shè)四邊形OBMC的面積為S′，判斷是否存在點(diǎn)P，使得S=S′． 若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由． 10．已知?jiǎng)狱c(diǎn)P(2m－1，－2m+3)和反比例函數(shù)(k<0)． (1)若對(duì)一切實(shí)數(shù)m，動(dòng)點(diǎn)P始終在一條直線上，試求的解析式． (2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與x軸相交于點(diǎn)M，與y軸相交于點(diǎn)N，與反比例函數(shù)的圖象相交于A，B兩點(diǎn)(

14、點(diǎn)A在第四象限)． ①證明：△OAM≌△OBN； ②如果△AOB的面積為6，求反比例函數(shù)解析式． 參考答案 1．2和3 2．6cm 3．(1) (2) 4．(1)S=x(24－3x)=－3x2+24x(x≥4)； （2）－3x2+24x=45，解得：x1=3(舍去)，x2=5，雞場(chǎng)的寬AB的長(zhǎng)為5米． (3)－3x2+24x=50，3x2－24x+50=0，△=242－4×3×50<0此方程無實(shí)數(shù)解，雞場(chǎng)的面積不能達(dá)到50米2． 5．(1)由圖象知，加油飛機(jī)的加油油箱中裝載了30噸的油，全部加給運(yùn)輸飛機(jī)需10分

15、鐘． (2)設(shè)Q1=kt+b，則，，Q=2．9t+40(0≤t≤10)． (3)根據(jù)圖象可知運(yùn)輸飛機(jī)的耗油量為每分鐘0．1噸， 10小時(shí)的耗油量為10×60×0．1=60(噸)<69(噸)，油料夠用． 6．(1)30 120 (2)135 60 7．(1)△=(3m+2) 2－4×m×(2m+2)=m2+4m+4=(m+2) 2 m>0， (m+2) 2>0，即A>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根． (2)x1=1，， ． (3)在直角坐標(biāo)系中的第一象限內(nèi)分別畫出和

16、y=－m+3的圖象，觀察圖象得： 當(dāng)1≤m≤2時(shí)，y≤－m+3． 8．(1)△ABC是等腰直角三角形，b=c=4； (2)①當(dāng)0<x≤2時(shí)，S=x2；當(dāng)2<x≤4時(shí)，S=－x2+4x．②、3． 9．(1)y=－x2+2x+3，M(1，4)，圖略． (2)－5≤y0≤4 (3)①(1≤t<3) ② ③不存在．，若S=S′， 則，整理得． ，此方程沒有實(shí)數(shù)根，不存在點(diǎn)P，使得S=S′． 10．(1)設(shè)：y=k′x+b，當(dāng)m=0時(shí)，P1 (－1，3)，當(dāng)m=1時(shí)，P2(1，1)，帶入：y=k′x+b得，，解得，：y=－x+2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足條件． (2)①解方程組，得x2－2x+k=0，解得，，代入求得，，，，．OA=OB，∠OAB=∠OBA；M(2，0)，N(0，2)，OM=ON，∠OMN=∠ONM=45°，∠ONB=∠OMA=135°，△OAM≌△OBN． ②，又，，代入得：，，k=－8，反比例函數(shù)的解析式為．