全向輪運(yùn)動(dòng)平臺(tái)分析

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1、全輪轉(zhuǎn)向式小車 一、坐標(biāo)系與位置表示 ? Yi Yr Xi 圖1地理坐標(biāo)系與體坐標(biāo)系 定義如圖所示的坐標(biāo)系，地理坐標(biāo)系｛&,嶺｝,體坐標(biāo)系｛Xr, ?｝,坐標(biāo)之間 夾角為e , p點(diǎn)位置描述為 由地理坐標(biāo)轉(zhuǎn)為體坐標(biāo)的映射由正交旋轉(zhuǎn)矩陣完成 sinO cosO 0 cosO 環(huán)=R(0)￡/ = —sinG 0 反方向變換矩陣如下 cosO —sinO 0 sin6 cosO 0 0 1J 二、運(yùn)動(dòng)學(xué)模型與控制律 2.1全向輪直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 圖2軌跡跟蹤

2、示意圖 坐標(biāo)系參照?qǐng)D2,對(duì)于地理坐標(biāo)中的位置指令p/ = (xryr0r)和速度指令 ql =(血3?)將對(duì)應(yīng)的誤差在體坐標(biāo)系中表示出來 xe = (xr — x)cosO — (xr — x)sin60 + (yr — y^sinO + (yr —y)cosOO =yea)— (xcosO + ysinO) + vrcosOr cosO + vrsinOrsin0 =yea)— vx +vr cos(0r 一 0) = yea)— vx +vr cos0e ? ? ye = - (xr — x)sin6 — (xr — x)cos60 + 6V — y)cosO — (yr —

3、 y)sinOO =—xea)+ (xsin3 — ycosO) - vrcosOrsinO + vrsinOrcosO =—xea)— U), + ur sin Oe 將上式合并寫出得到位置誤差微分方程 yeoo - vx + vr cos 0e —xea)— Vy + vr sinOe (A)r 一 CO 2.1.1全向輪直角坐標(biāo)下控制律設(shè)計(jì) 設(shè)李雅普諾夫函數(shù)為 % =扌(好+必+處) 求其導(dǎo)數(shù)如下，當(dāng)漸進(jìn)穩(wěn)定時(shí)導(dǎo)數(shù)小于0； % = xexe + yeye + 0e0e Xe = ~kxXe^e =—kyye、?€ = — 上式系數(shù)為正時(shí)，李雅普諾夫函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

4、小于零，系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定 代入微分方程得到控制律如下： vx = yea)+ vr cosOe + kxxe vy = —xea)+ vr sin 0e + kyye o)= a)r + kQ0e 2.2差動(dòng)輪直角坐標(biāo)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程 差動(dòng)輪與全向輪的區(qū)別是，全向輪小車速度方向與四個(gè)輪子的共同朝向相同 可為任意方向，而差動(dòng)輪小車的切向速度方向與x軸重合，故方程中◎嚴(yán)o,微分 方程如下： xeye4 /^l\\ - yea)— v + vr cos0e —xeu)+ vr sinOe (A)r 一 3 2.2.1差動(dòng)輪直角坐標(biāo)下控制律設(shè)計(jì) 選擇Lyapiuiov函數(shù)如下： 冬=

5、#(好 + 必)+ 半(1 一 COSBe) 對(duì)上式沿求導(dǎo)： , 1 ? V2 = xexe +yeye + ￡直 sin0e ?V =xe(yea)— v + vr cos0e) + ye(—xea)+ vr sin0e) 1 + 17 3 _ 3)sinQ K 1 1 = —xev + xevr cos&e + yevr sin0e + -a)r sin0e — -o)sin0e K K 1 1 = —xev + xevr cos 0e + yevr sin+ — a)r sin0e — —o)sin0e 選擇如下速度控制輸入： v = vr cos 0e +

6、kxxe co = a)r + vr(kye + kQsinOe) 將上式代入Lyapunov函數(shù)導(dǎo)數(shù)得到： V2 = —kxxj — 加咳 當(dāng)上式系數(shù)為正時(shí)，V2 < 0,故以上Lyapimov函數(shù)選擇正確。 v oo. 由此得到基于運(yùn)動(dòng)學(xué)模型的軌跡跟蹤速度控制律為口: vr cos 0e + kxxe + vr(kye + kdsin6ey 其中.k.k—嗆為控制器參數(shù)。 222控制器參數(shù)選取 將控制律代入微分方程得下式: Ve@r + (kye + kesinee}) 一 kxxe —xe (a)r + vr(kye +k°sin&e)) + ur sin 0e

7、-vr(kye + kdsin0e) 上式在零點(diǎn)附近線性化，忽略高次項(xiàng)得 系數(shù)值與角速度和速度指令值共同決定系統(tǒng)根，當(dāng)系數(shù)為正是所有根為負(fù)數(shù)。 2?3對(duì)比仿真與結(jié)果 仿真系統(tǒng)結(jié)果圖如下： 圖3軌跡跟蹤結(jié)構(gòu)圖 圖中q=(v 3)t, V、3分別為移動(dòng)機(jī)器人的線速度和角速度，E/ = (x y 9 對(duì)于差動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為： .%?y?& = ?dr Jq = r ■ V3 ■ ■ 0 0 1. ；Qc = COS0 0 I Vy = R(&) 一 1 Vy 0 17 L 3」 L 3 COS0 圖中J二sinG .0

8、 對(duì)于全向輪機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為： cosO —sinO 0\「耳］ sitiO 0 對(duì)角速度為0. 2利線速度為5的圓形軌跡進(jìn)行跟蹤，仿真結(jié)果如下圖: 圖4圓形軌跡跟蹤仿真圖 圖中X點(diǎn)線為差動(dòng)輪跟蹤軌跡，O點(diǎn)線為全向輪跟蹤軌跡。 三、全向輪平臺(tái)的設(shè)計(jì) 對(duì)全向輪采用如下圖所示的結(jié)構(gòu)時(shí)，進(jìn)行系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì) 圖5互補(bǔ)塑全向輪(omni wheels) 3?1運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 2 圖6全向輪式移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 移動(dòng)坐標(biāo)Xe-Ye固定在機(jī)器人重心上，而質(zhì)心正好位于幾何中心上。機(jī)器人 P點(diǎn)在全局坐標(biāo)系的位置坐標(biāo)為：(x ,y,6 ),三個(gè)全向輪以3號(hào)輪

9、中心轉(zhuǎn)動(dòng)軸反 方向所為機(jī)器人的X軸。假設(shè)三個(gè)全向輪完全相同，三個(gè)全向輪中心到車體中 心位置的距離L。在移動(dòng)坐標(biāo)Xe-h的速度用以e%表示。 由文獻(xiàn)［3］可得三個(gè)全向輪的速度與其在移動(dòng)坐標(biāo)和全局坐標(biāo)系下的速度分 量之間的關(guān)系分別為以下二式： /人\ ( s誠?0) cos(60) T V3 ~~ 0 (% =Ta3X3 \ vye \ 0) si 世(60— 0) -siri^bO + 0) ?l s cos(60 — 0) cos(60 + 0) -X ?y ?& L I ^2 ) = I — sirifiJfeO) cos(60) w3/ v 0 -I 3?

10、2動(dòng)力學(xué)模型 在移動(dòng)坐標(biāo)Xe -汗中，設(shè)機(jī)器人在沿軸Xe和汗方向上收到的力分別為Fxe和 Fy°第1、2、3號(hào)驅(qū)動(dòng)輪提供給機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力分別為fl、￡2、D,機(jī)器人慣性 轉(zhuǎn)矩為M,根據(jù)牛頓第二定律可得到如下的動(dòng)力學(xué)方程： mxe Pxe m)>e = Pye = ie J [m \ cos(30) sin(30) L -cos (30) sin(30) 厶 V321 一2 厶 - V3-2 1 -2 L /f \\ = [/11I/2IL/3I 0-1厶 1 // o-1厶 fl =Tb3X3 人 ［創(chuàng) 在地理

11、坐標(biāo)系X-Y下的方程如下: mx my ? 10? \Fx] Fy costfj^O + 0) siiifjJSO + 0) L —cosr^SO — 0) sirtf(30 — O') L A介人 厶 ?1 S 3.3基于動(dòng)力學(xué)模型的控制器設(shè)計(jì) 如上式所示，基于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的控制方案，直接根據(jù)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué) 模型設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)控制器，控制器的輸出為機(jī)器人上驅(qū)動(dòng)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電斥?；趧?dòng)力 學(xué)模型的控制方案，不需對(duì)驅(qū)動(dòng)電機(jī)進(jìn)行底層的速度控制，消除了底層速度控制 帶來的延時(shí)。 由動(dòng)力學(xué)方程： mxe 誠 16? 2 1 V3 T 1 2

12、L 可知在體坐標(biāo)系中各個(gè)方向上的控制輸入輸出是獨(dú)立的并且相互之間無耦 合：于是可在體坐標(biāo)中對(duì)各個(gè)控制量分別進(jìn)行控制。 當(dāng)以各個(gè)電機(jī)電斥作為控制最U時(shí)，對(duì)控制量U進(jìn)行矩陣變換Tb3X3(/后可 得到各個(gè)方向控制量Fu=Tb3 Z3［/o先對(duì)系統(tǒng)參數(shù)［m /］進(jìn)行辨識(shí)，得到由控制 最Fu到速度V的傳遞函數(shù)；然后設(shè)計(jì)Fu的控制器，進(jìn)過變換Ta3X3Fii后得到 各個(gè)電機(jī)的控制量U= Ta3X3Fu o速度控制指令vxe vye co由第2節(jié)控制律求得。 3.4基于編碼器的位姿推算 圓弧模型在文獻(xiàn)［4］中介紹機(jī)器人里程計(jì)圓弧模型是把移動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過 程中的實(shí)際軌跡通過惻弧去逼近。

13、圖7平臺(tái)樣品示意圖卩］ O< 圖8采樣期間的圓弧運(yùn)動(dòng)軌跡 圖中A（“％,為）和B（&+i，y“+i，&n+i）分別為在采樣時(shí)間間隔內(nèi)起始點(diǎn)與終 點(diǎn)的位姿坐標(biāo)，AB為采樣期間的圓弧軌跡，利用圖中兒何關(guān)系可以得到運(yùn)動(dòng)軌 跡為圓弧時(shí)的推算公式如下： 厶(g+g) 2(g—g) COS 他+斗月-述可 LQSr + ASJ 7n+1 = % _ 2(ASr — AS J 當(dāng)ASr - AS厶較小時(shí)可采用直線模型 ?Sr + ASt) / ASr 一 ASl\ &+1 = & + 2 “os ? + ——-——丿 (ASr+ASl) .( ASr — 陋、 y?+

14、i = yn + 2 sin(弘 + —1—) ASd — AS； %+i=%+—4—- 隨著移動(dòng)距離的增加，誤差逐漸加大，其誤差的來源主要包括系統(tǒng)誤差和非 系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差跟實(shí)際采用的器件的精度和測量上的誤差等方面產(chǎn)生的；非 系統(tǒng)誤差是在移動(dòng)過程中隨機(jī)發(fā)生的誤差，主要包括：測位輪子的打滑、路況等。 由于非系統(tǒng)誤差不容易消除，因此，這里將通過實(shí)驗(yàn)的方法來校準(zhǔn)機(jī)構(gòu)的安 裝精度，減小因系統(tǒng)誤差對(duì)定位精度產(chǎn)生較大影響。 影響測量誤差的主要參數(shù)是編碼器輸出一個(gè)脈沖對(duì)應(yīng)輪子運(yùn)動(dòng)的距離廠和兩 個(gè)定位輪之間的距離L,廠和L精度校正的具體方法和實(shí)現(xiàn)步驟如下： 編碼器一個(gè)脈沖代表定位輪運(yùn)行的距離廠

15、校正方法：使兩個(gè)定位輪在室內(nèi)平 面上沿著一條5米長度的直線運(yùn)行，編寫軟件程序，對(duì)與定位輪同軸相連的兩 個(gè)自由編碼器的輸出脈沖進(jìn)行計(jì)數(shù)，將該數(shù)值記錄左右自由編碼器輸出脈沖個(gè)數(shù) NL和NR,根據(jù)公式 5000 r= (NL + NR)/2mrn 求出每次測星計(jì)算得到廠的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試實(shí)驗(yàn)結(jié)果列 表。 定位輪之間的距離L校正方法:在平地上，使測位裝置從某一起始位置出發(fā)， 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n周后再回到該出發(fā)位置，記下在該過程與左右定位輪相連 的編碼器輸出的脈沖數(shù)分別為NL, NR,根據(jù)公式 (Nl — Nr)” 2nn 求出每次測量計(jì)算得到L的值，再取半均值即可。經(jīng)過

16、多次測試兩定位輪之 間距離L校正實(shí)驗(yàn)列表。 四、Mecanum輪平臺(tái)的設(shè)計(jì) Mecanum輪采用滾輪與軸線成45夾角的結(jié)構(gòu)，如下圖所示: 圖9麥克納姆輪(Mecanum wheels) 假設(shè)圖中小轆子可沿徑向自由滾動(dòng)，而沿軸向與地面無滑動(dòng)。 4J運(yùn)動(dòng)學(xué)模型 1 1 1 1 1 -1 1 -1 FnJ3X4/><\rI^4X3=

17、I 圖10麥克納姆輪移動(dòng)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)原理圖 由文獻(xiàn)［6］可得四個(gè)輪的速度與其在移動(dòng)坐標(biāo)系下的速度分星之間的關(guān)系為 以下式，其中w為車半寬，L為車半長： L + “ \ -L-W\ -L-W L + “丿 其逆變換如下: mxe my'e ie i 4 r/ll/2l/3l/4 4 X 3 b T = /11E6/4J a^e/4 ? ? -1 1 \\Pxe] Fxe Fye =Ta4X3 P?e /Im J [Ml 厶+ IV _厶_ W _厶_0 4?2動(dòng)力學(xué)模型 在移動(dòng)坐標(biāo)Xe-Ye中，設(shè)機(jī)器人在沿軸

18、厶和汗方向上收到的力分別為Fxe和 FYe第1、2、3和4號(hào)驅(qū)動(dòng)輪提供給機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)力分別為fl、￡2、￡3和f4,機(jī) 器人慣性轉(zhuǎn)矩為M,根據(jù)牛頓第二定律可得到如下的動(dòng)力學(xué)方程： -1 1 -1 -1 L + W L + W 上式驅(qū)動(dòng)力逆變換為 4.3基于動(dòng)力學(xué)模型的控制器設(shè)計(jì) 如上式所示，基于機(jī)器人動(dòng)力學(xué)模型的控制方案，直接根據(jù)機(jī)器人的動(dòng)力學(xué) 模型設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)控制器，控制器的輸出為機(jī)器人上驅(qū)動(dòng)電機(jī)的驅(qū)動(dòng)電壓?；趧?dòng)力 學(xué)模型的控制方案，不需對(duì)驅(qū)動(dòng)電機(jī)進(jìn)行底層的速度控制，消除了底層速度控制 帶來的延時(shí)。 由動(dòng)力學(xué)方程： 1 1 1 1 \ rq 1 -1 1 -1

19、)/2 1 /3 + W 厶+ W 厶+ " L + W/ lf4\ 可知在體坐標(biāo)系中各個(gè)方向上的控制輸入輸出是獨(dú)立的并且相互之間無耦 合；于是可在體坐標(biāo)中對(duì)各個(gè)控制量分別進(jìn)行控制。 當(dāng)以各個(gè)電機(jī)電壓作為控制量U時(shí)，對(duì)控制S U進(jìn)行矩陣變換Tb3 ,4i/后可得到在體坐標(biāo)系中的各個(gè)方向控制3 Fu=Tb3 4(/o先對(duì)系統(tǒng)參數(shù)［m /］進(jìn)行辨 識(shí)，得到由控制量Fu到體坐標(biāo)速度V的傳遞函數(shù)；然后設(shè)計(jì)Fu的控制器，進(jìn) 過變換3Fu后得到各個(gè)電機(jī)的控制量U= T% . 3F11。速度控制指令％哄3由 第2節(jié)控制律求得。 4.4基于三全向輪編碼器的位姿推算 圓弧模型在文獻(xiàn)［5］中介紹機(jī)

20、器人里程計(jì)圓弧模型是把移動(dòng)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)過 程中的實(shí)際軌跡通過圓弧去逼近。 圖7平臺(tái)樣品示意圖〔6】  圖8采樣期間的圓弧運(yùn)動(dòng)軌跡 由于三輪全向機(jī)器人具有完整約束動(dòng)力學(xué)特性［23-25］,因此采用三個(gè)編碼 器才可以得到機(jī)器人平面運(yùn)動(dòng)的三自由 度信息，即機(jī)器人的坐標(biāo)信息PcOccycA) o 圖中和B(&+b%+i,%+i)分別為在采樣時(shí)間間隔內(nèi)起始點(diǎn)與終 點(diǎn)的位姿坐標(biāo)，AB為采樣期間的圓弧軌跡，利用圖中幾何關(guān)系可以得到運(yùn)動(dòng)軌 跡為圓弧時(shí)的推算公式如下： 4- —sinOn ■ 厶(ASr + AS；) / ASr — AS； \ 曲=% 2(4-g

21、)隔(色+ L ) COS0A ASd — AS； 気+i =務(wù)+ l 當(dāng)S -AS］較小時(shí)可采用直線模型 L(ASr + AS" 2(ASr—ASJ (ASr + ASl) ( ASr - ASl\ &+1 = & + 2 cos (弘 + 1 丿 (ASr+ASJ .( ASr — ASl、 < %+i = % + 2 sin (弘 + 1 ) ASd — AS； 色+1 =給+ —- 隨著移動(dòng)距離的增加，誤差逐漸加大，其誤差的來源主要包括系統(tǒng)誤差和非 系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差跟實(shí)際采用的器件的精度和測最上的誤差等方面產(chǎn)生的：非 系統(tǒng)誤差是在移動(dòng)過程中隨機(jī)發(fā)生的

22、誤差，主要包括：測位輪子的打滑、路況等。 由于非系統(tǒng)誤差不容易消除，因此，這里將通過實(shí)驗(yàn)的方法來校準(zhǔn)機(jī)構(gòu)的安 裝精度，減小因系統(tǒng)誤差對(duì)定位精度產(chǎn)生較大影響。 影響測量誤差的主要參數(shù)是編碼器輸出一個(gè)脈沖對(duì)應(yīng)輪子運(yùn)動(dòng)的距離廠和兩 個(gè)定位輪之間的距離L,廠和L精度校正的具體方法和實(shí)現(xiàn)步驟如下： 編碼器一個(gè)脈沖代表定位輪運(yùn)行的距離廠校正方法：使兩個(gè)定位輪在室內(nèi)平 而上沿著一條5米長度的直線運(yùn)行，編寫軟件程序，對(duì)與定位輪同軸相連的兩 個(gè)自由編碼器的輸出脈沖進(jìn)行計(jì)數(shù)，將該數(shù)值記錄左右自由編碼器輸出脈沖個(gè)數(shù) NL和NR,根據(jù)公式 5000 廠=(血+必)/2““ 求出每次測最計(jì)算得到廠的值，再取

23、半均值即可。經(jīng)過多次測試實(shí)驗(yàn)結(jié)果列 表。 定位輪之間的距離L校正方法:在平地上，使測位裝置從某一起始位置出發(fā)， 順時(shí)針或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)n周后再回到該出發(fā)位置，記下在該過程與左右定位輪相連 的編碼器輸出的脈沖數(shù)分別為NL, NR,根據(jù)公式 血 一 Nr)t L = 2^ 求出每次測最計(jì)算得到L的值，再取平均值即可。經(jīng)過多次測試兩定位輪之 間距離L校正實(shí)驗(yàn)列表。 參考文獻(xiàn)： [1] 劉金琨.滑模變結(jié)構(gòu)控制MATLAB仿真[M].北京：清華大學(xué)出版社，2005. [2] Y Kanayama, Y Kimura, F Miyazaki, T Noguchi A stable trackin

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