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正五邊形尺規(guī)作圖的畫法及其他
正五邊形的畫法
圓內(nèi)接正五邊形的畫法如下:
1、 作一個(gè)圓，設(shè)它的圓心為O；
2、作圓的兩條互相垂直的直徑AZ和XY；
3、作OY的中點(diǎn)M；
4、以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑作圓，交OX于點(diǎn)N；
5、以點(diǎn)A為圓心，AN為半徑，在圓上連續(xù)截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，則五邊形ABCDE即為正五邊形。
以上兩種圖形的作法運(yùn)用了所求圖形邊長(zhǎng)與已知的線段長(zhǎng)度的關(guān)系，用構(gòu)造直角三角形的方法作出與所求圖形的邊長(zhǎng)相等的線段，從而作出整個(gè)圖形，這是尺規(guī)作圖中常用的一種方法——等線段法，即用已知圖形的線段作出與
2、所求圖形邊長(zhǎng)相等的線段。
正多邊形的尺規(guī)作圖是大家感興趣的．正三邊形很好做；正四邊形稍難一點(diǎn)；正六邊形也很好做；正五邊形就更難一點(diǎn)，但人們也找到了正五邊形的直規(guī)作圖方法．確實(shí)，有的困難一些，有的容易一些．正七邊形的尺規(guī)作圖是容易一些，還是困難一些呢？人們很久很久未找到作正七邊形的辦法，這一事實(shí)本身就說(shuō)明作正七邊形不容易；一直未找到這種作法，也使人懷疑：究竟用尺規(guī)能否作出正七邊形來(lái)？數(shù)學(xué)不容許有這樣的判斷：至今一直沒(méi)有人找到正七邊形的尺規(guī)作圖方法來(lái)，所以斷言它是不能用尺規(guī)作出的．
???? 人們迅速地解決了正三、四、五、六邊形的尺規(guī)作圖問(wèn)題，卻在正七邊形面前止步了：究竟能作不能作，得不出結(jié)論來(lái)
3、．這個(gè)懸案一直懸而未決兩千余年．
????? 17世紀(jì)的費(fèi)馬，就是我們?cè)谇懊嬉褍纱翁岬搅说哪莻€(gè)法國(guó)業(yè)余數(shù)學(xué)家，他研究了形如
Fi （i為右下角標(biāo)）＝22i（底數(shù)2指數(shù)2的i次冪）＋1 的數(shù)．
費(fèi)馬的一個(gè)著名猜想是，當(dāng) n≥3時(shí)，不定方程xn＋yn＝zn沒(méi)有正整數(shù)解．現(xiàn)在他又猜測(cè)Fi都是素?cái)?shù)，對(duì)于i＝0，1，2，3，4時(shí)，容易算出來(lái)相應(yīng)的Fi：
F0＝3，F(xiàn)1＝5，F(xiàn)2＝17，
F3=257，F(xiàn)4=65 537
???? 驗(yàn)證一下，這五個(gè)數(shù)的確是素?cái)?shù)．F5=225+1是否素?cái)?shù)呢？?jī)H這么一個(gè)問(wèn)題就差不多一百年之后才有了一個(gè)結(jié)論，偉大的歐拉發(fā)現(xiàn)它竟不是素?cái)?shù)，因而，偉大的費(fèi)馬這回可是猜錯(cuò)了！F5是兩素
4、數(shù)之積：
F5＝641×6 700 417．
???? 當(dāng)然，這一事例多少也說(shuō)明：判斷一個(gè)較大的數(shù)是否素?cái)?shù)也決不是件簡(jiǎn)單的事，不然，何以需要等近百年？何以需要?dú)W拉這樣的人來(lái)解決問(wèn)題？
???? 更奇怪的是，不僅F5不是素?cái)?shù)，F(xiàn)6，F(xiàn)7也不是素?cái)?shù)，F(xiàn)8，F(xiàn)9，F(xiàn)10，F(xiàn)11等還不是素?cái)?shù)，甚至，對(duì)于F14也能判斷它不是素?cái)?shù)，但是它的任何真因數(shù)還不知道．至今，人們還只知F0，F(xiàn)1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4這樣5個(gè)數(shù)是素?cái)?shù)．由于除此而外還未發(fā)現(xiàn)其他素?cái)?shù)，于是人們產(chǎn)生了一個(gè)與費(fèi)馬的猜想大相徑庭的猜想，形如22i＋1的素?cái)?shù)只有有限個(gè)．但對(duì)此也未能加以證明．
???? 當(dāng)然，形如Fi=22i+1的素?cái)?shù)被稱為費(fèi)馬素?cái)?shù)
5、．由于素?cái)?shù)分解的艱難，不僅對(duì)形如Fi=22i+1的數(shù)的一般結(jié)論很難做出，而且具體分解某個(gè)Fi也不是一件簡(jiǎn)單的事．
???? 更加令人驚奇的事情發(fā)生在距歐拉發(fā)現(xiàn)F5不是素?cái)?shù)之后的60多年，一位德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯，在他僅20歲左右之時(shí)發(fā)現(xiàn)，當(dāng)正多邊形的邊數(shù)是費(fèi)馬素?cái)?shù)時(shí)是可以尺規(guī)作圖的，他發(fā)現(xiàn)了更一般的結(jié)論：正n邊形可尺規(guī)作圖的充分且必要的條件是
n=2k（2的k次冪）或 2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s為右下角標(biāo)）
???? 其中，p1，p2，…，ps是費(fèi)馬素?cái)?shù)．
???? 正7邊形可否尺規(guī)作圖呢？否！因?yàn)?是素?cái)?shù)，但不是費(fèi)馬素?cái)?shù)．
???? 倒是正17邊形可尺規(guī)作圖，高斯最初的一項(xiàng)成就就是作
6、出了正17邊形．根據(jù)高斯的理論，還有一位德國(guó)格丁根大學(xué)教授作了正257邊形．
???? 就這樣，一個(gè)懸而未決兩千余年的古老幾何問(wèn)題得到了圓滿的解決，而這一問(wèn)題解決的過(guò)程是如此的蹊蹺，它竟與一個(gè)沒(méi)有猜對(duì)的猜想相關(guān)連．
???? 正17邊形被用最簡(jiǎn)單的圓規(guī)和直尺作出來(lái)了，而正多邊形可以換個(gè)角度被視為是對(duì)圓的等分，那么這也相當(dāng)于僅用圓規(guī)和直尺對(duì)圓作了17等分，其圖形更覺(jué)完美、好看．高斯本人對(duì)此也頗為欣賞，由此引導(dǎo)他走上數(shù)學(xué)道路(他早期曾在語(yǔ)言學(xué)與數(shù)學(xué)之間猶豫過(guò))，而且在他逝后的墓碑上就鐫刻著一個(gè)正17邊形圖案．
???? 高斯把問(wèn)題是解決得如此徹底，以致有了高斯的定理，我們對(duì)于早已知道如何具體作圖的正三邊形、正五邊形，還進(jìn)而知道了它們?yōu)槭裁茨苡贸咭?guī)作圖，就因?yàn)?和5都是費(fèi)馬素?cái)?shù)(3=F0，5＝F1)；對(duì)于很久以來(lái)未找到辦法來(lái)作出的正七邊形，乃至于正11邊形、正 13邊形，現(xiàn)在我們能有把握地說(shuō)，它們不可能由尺規(guī)作圖，因?yàn)?、11、13都不是費(fèi)馬素?cái)?shù)；對(duì)于正257邊形、正65 537邊形，即使我們不知道具體如何作，可是理論上我們已經(jīng)知道它們是可尺規(guī)作圖的；此外，為什么正四邊形、正六邊形可尺規(guī)作圖呢？因?yàn)?＝22，因?yàn)?6= 2· 3而 3=F0．
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正五邊形的畫法(共4頁(yè))
