高中數(shù)學(xué) 第一節(jié) 線性變換與二階矩陣課件 新人教A版選修42

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1、選修4-2 矩陣與變換第一節(jié) 線性變換與二階矩陣1.1.線性變換線性變換(1)(1)在平面直角坐標(biāo)系在平面直角坐標(biāo)系xOyxOy內(nèi)，很多幾何變換具有下列形式：內(nèi)，很多幾何變換具有下列形式： ，其中系數(shù)其中系數(shù)a,b,c,da,b,c,d均為常數(shù)，我們把形如均為常數(shù)，我們把形如的幾何變換叫做線性變換，的幾何變換叫做線性變換，式叫做這個線性變換的坐標(biāo)變換公式叫做這個線性變換的坐標(biāo)變換公式式.P(x,y.P(x,y)是是P(x,yP(x,y) )在這個線性變換作用下的像在這個線性變換作用下的像. .(2)(2)常見的平面變換：恒等變換、常見的平面變換：恒等變換、_變換、變換、_變換、反變換、反射變換

2、、射變換、_變換、變換、_變換變換. ._旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)切變切變投影投影伸縮伸縮xaxby ycxdy 2.2.二階矩陣的概念及與向量的乘法二階矩陣的概念及與向量的乘法(1)(1)矩陣的概念矩陣的概念由由4 4個數(shù)個數(shù)a,b,c,da,b,c,d排成的正方形數(shù)表排成的正方形數(shù)表_稱為二階矩陣，數(shù)稱為二階矩陣，數(shù)_稱為矩陣的元素稱為矩陣的元素. .在二階矩陣中在二階矩陣中, ,橫的叫行橫的叫行, ,豎的叫列豎的叫列, ,通常用大寫英文字通常用大寫英文字母母A, ,B, ,C，表示表示.特殊矩陣特殊矩陣零矩陣零矩陣:_:_ , ,記為記為0；二階單位矩；二階單位矩陣陣_,_,記為記為E2 2.abcd0

3、0001001a,b,c,da,b,c,d(2)(2)二階矩陣相等二階矩陣相等若若 A= =B, ,則則_.(3)(3)二二階矩陣與向量的乘階矩陣與向量的乘積積設(shè)設(shè) 則則 =_ .11221122abab,cdcdABabx,cdyAaxbycxdyAa a1 1=a=a2,b b1 1=b=b2 2,c c1 1=c=c2 2,d,d1 1=d=d2 23.3.線性變換的基本性線性變換的基本性質(zhì)質(zhì)設(shè)設(shè)A是一是一個個二階矩陣二階矩陣， 是是平面平面上上的任意的任意兩個向量兩個向量，1 1，2是是任任意實數(shù)意實數(shù).，性質(zhì)性質(zhì)1 1 ( (1) ) _ (2) (2) _ 定理定理1 1 _性質(zhì)性

4、質(zhì)2 2二階矩陣二階矩陣對應(yīng)對應(yīng)的變的變換換( (線性變線性變換換) )把把平平面上的面上的直直線變成線變成_()AA()A AA12()A12AA直線直線( (或或一點(diǎn)一點(diǎn))判斷下面結(jié)論是否正確判斷下面結(jié)論是否正確( (請在括號中打請在括號中打“”或或“”).”).(1)(1)式子式子x=2xx=2x2 2+y+y是線性表達(dá)式是線性表達(dá)式.( ).( )(2)(2)二階矩陣既是一個數(shù)二階矩陣既是一個數(shù), ,也是一個代數(shù)式也是一個代數(shù)式.( ).( )(3)(3)如果兩個二階矩陣的元素是一樣的如果兩個二階矩陣的元素是一樣的, ,那么這兩個矩陣相那么這兩個矩陣相等等.( ).( )(4)(4)對

5、于旋轉(zhuǎn)變換對于旋轉(zhuǎn)變換 ( )( )(5)(5)二階矩陣二階矩陣A與平面向量與平面向量 的乘積仍然是一個平面向量的乘積仍然是一個平面向量. . ( ) ( )533RR.【解析【解析】(1)(1)錯誤錯誤. .線性表達(dá)式都是關(guān)于線性表達(dá)式都是關(guān)于x,yx,y的一次式的一次式, ,故錯誤故錯誤. .(2)(2)錯誤錯誤. .二階矩陣僅僅是一個包含兩行、兩列的數(shù)表，它既不二階矩陣僅僅是一個包含兩行、兩列的數(shù)表，它既不是數(shù)，也不是代數(shù)式是數(shù)，也不是代數(shù)式. .(3)(3)錯誤錯誤. .兩個矩陣相等，不但要求元素相同，而且要求元素的兩個矩陣相等，不但要求元素相同，而且要求元素的位置一樣位置一樣. .(

6、4)(4)正確正確. . 表示順時針旋轉(zhuǎn)表示順時針旋轉(zhuǎn) 表示逆時針旋轉(zhuǎn)表示逆時針旋轉(zhuǎn) 兩種變換是一個變換兩種變換是一個變換. .3R53R3，53，(5)(5)正確正確. . 二階矩陣與向量的乘積仍然是向量二階矩陣與向量的乘積仍然是向量. .答案答案: :(1)(1) (2) (2) (3) (3) (4) (5) (4) (5) axbyabx(,)cxdycdy由其中可知，AA考向考向1 1 二階矩陣與平面向量的乘法二階矩陣與平面向量的乘法【典例【典例1 1】已知在一個二階矩陣已知在一個二階矩陣M的變換作用下，點(diǎn)的變換作用下，點(diǎn)A(1,2)A(1,2)變變成了點(diǎn)成了點(diǎn)A(4,5)A(4,5

7、)，點(diǎn)，點(diǎn)B(3B(3，1)1)變成了點(diǎn)變成了點(diǎn)B(5,1)B(5,1)(1)(1)求矩陣求矩陣M.(2)(2)若在矩陣若在矩陣M的變換作用下，點(diǎn)的變換作用下，點(diǎn)C(x,0)C(x,0)變成了點(diǎn)變成了點(diǎn)C(4C(4，y)y)，求求x x，y.y.【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)首先設(shè)出矩陣首先設(shè)出矩陣M, ,再利用二階矩陣與平面向量再利用二階矩陣與平面向量的乘法構(gòu)造方程組，再解方程組求出矩陣的乘法構(gòu)造方程組，再解方程組求出矩陣M. .(2)(2)利用矩陣?yán)镁仃嘙與平面向量的乘法列出關(guān)于與平面向量的乘法列出關(guān)于x,yx,y的方程組的方程組, ,解方解方程組求程組求x,yx,y. .【規(guī)范解答

8、【規(guī)范解答】 ab1,cd設(shè)Mab14ab35,cd25cd11 則由a2b4,a2,c2d5,b1,21.3ab5,c1,123cd1,d2.得所以因此，M 21x42x4,2,x2,y2.120yxy, 【互動探究【互動探究】試求在本例中矩陣試求在本例中矩陣M的變換作用下的變換作用下, ,點(diǎn)點(diǎn)P(1,1)P(1,1)變變成的點(diǎn)成的點(diǎn)PP的坐標(biāo)的坐標(biāo). .【解析【解析】由本例解答可知由本例解答可知所以所以PP的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3,3).(3,3).21,12M2113,1213 則【拓展提升【拓展提升】 二階矩陣與向量乘法應(yīng)用的三個解題步驟二階矩陣與向量乘法應(yīng)用的三個解題步驟此類問題一般涉及

9、變換前的坐標(biāo)此類問題一般涉及變換前的坐標(biāo), ,變換后的坐標(biāo)變換后的坐標(biāo), ,變換矩陣三個變換矩陣三個元素元素(1)(1)設(shè)設(shè): :設(shè)出所求的量設(shè)出所求的量. .(2)(2)列列: :利用二階矩陣與平面向量的乘法構(gòu)造方程或方程組利用二階矩陣與平面向量的乘法構(gòu)造方程或方程組. .(3)(3)解：解方程或方程組求未知元素解：解方程或方程組求未知元素. .【提醒【提醒】列方程或方程組時列方程或方程組時, ,要分清變換前要分清變換前, ,后的坐標(biāo)防止代入后的坐標(biāo)防止代入錯誤錯誤. .【變式備選【變式備選】1135b22434 已知， ， ，Aa,.設(shè)，求ababA A24,621275,26183414

10、195.22434 由【解析條件得從而】AA考向考向2 2 線性變換前后的曲線方程的求法線性變換前后的曲線方程的求法【典例【典例2 2】(2013(2013福州模擬福州模擬) )已知矩陣已知矩陣 把點(diǎn)把點(diǎn)(1(1，1)1)變換成點(diǎn)變換成點(diǎn)(2(2，2)2)，(1)(1)求求a,ba,b的值的值. .(2)(2)求曲線求曲線C C：x x2 2+y+y2 2=1=1在矩陣在矩陣A的變換作用下對應(yīng)的曲線方程的變換作用下對應(yīng)的曲線方程. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】(1)(1)利用矩陣與向量的乘法列出關(guān)于利用矩陣與向量的乘法列出關(guān)于a,ba,b的方程組的方程組, ,解方程組求出解方程組求出a,b.(2)

11、a,b.(2)設(shè)出要求曲線的任意點(diǎn)的坐標(biāo)及變換前設(shè)出要求曲線的任意點(diǎn)的坐標(biāo)及變換前的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)的對應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo), ,利用代入法求曲線的方程利用代入法求曲線的方程. .a10bA【規(guī)范解答【規(guī)范解答】 (2)(2)設(shè)曲線設(shè)曲線C C上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)M(xM(x0 0,y,y0 0) )在矩陣在矩陣A的變換作用下為點(diǎn)的變換作用下為點(diǎn)M(x,yM(x,y).). a11210b12 由，a12a1,b2.b2 ，得，0000000 x1111x,y0202y1xxyxxy2y2y1yy2，即，AMM在曲線在曲線C C上上故所求曲線方程為故所求曲線方程為2211,(xy)(y)1,22221xxyy1.2

12、【拓展提升【拓展提升】 線性變換前后的曲線方程的求法線性變換前后的曲線方程的求法(1)(1)已知變換前的曲線方程、變換矩陣，求變換后的曲線方程：已知變換前的曲線方程、變換矩陣，求變換后的曲線方程：由線性變換由線性變換 代入變換前的方代入變換前的方程，即可得到關(guān)于程，即可得到關(guān)于x,yx,y的方程，即為所求的方程，即為所求. .dxbyxxaxbyadbcycxdycxayybcad ，解得后，(2)(2)已知變換后的曲線方程、變換矩陣，求變換前的曲線的方已知變換后的曲線方程、變換矩陣，求變換前的曲線的方程：將線性變換程：將線性變換 直接代入到變換后的曲線方直接代入到變換后的曲線方程，整理得到關(guān)

13、于程，整理得到關(guān)于x,yx,y的方程，即為所求的方程，即為所求. .(3)(3)求變換前或后曲線方程的共同特點(diǎn)是將坐標(biāo)代入已知的曲求變換前或后曲線方程的共同特點(diǎn)是將坐標(biāo)代入已知的曲線方程，求未知的曲線的方程，其實質(zhì)是代入法求曲線方程線方程，求未知的曲線的方程，其實質(zhì)是代入法求曲線方程. .【提醒【提醒】在利用線性變換代入求曲線方程的過程中要分清坐標(biāo)是在利用線性變換代入求曲線方程的過程中要分清坐標(biāo)是變換前的，還是變換后的，避免代入時出現(xiàn)錯誤變換前的，還是變換后的，避免代入時出現(xiàn)錯誤. .xaxbyycxdy ，【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】二階矩陣二階矩陣M對應(yīng)的變換將點(diǎn)對應(yīng)的變換將點(diǎn)(1(1，1)1)

14、與與( (2 2，1)1)分別變換成點(diǎn)分別變換成點(diǎn)( (1 1，1)1)與與(0(0，2)2)(1)(1)求矩陣求矩陣M. .(2)(2)設(shè)直線設(shè)直線l在變換在變換M作用下得到了直線作用下得到了直線m m：x xy y4 4，求，求l的方的方程程 ab1cdab11ab20cd11cd12ab1,2ab0,cd12cd2.a1,b2,c3,d4.12.34 設(shè)，則有且，所以且解得所以【解析】MM(2)(2)任取直線任取直線l上一點(diǎn)上一點(diǎn)P(xP(x，y)y)經(jīng)矩陣經(jīng)矩陣M M變換后為點(diǎn)變換后為點(diǎn)P(xP(x，y)y)所以直線所以直線l的方程為的方程為(x+2y)(x+2y)(3x+4y)=4(

15、3x+4y)=4，即即x+y+2=0 x+y+2=0 x12xx2yy34y3x4yxx2ymxy4y3x4y 因為， ，所以又 ：，考向考向3 3 變換矩陣的求法變換矩陣的求法【典例【典例3 3】已知圓已知圓x x2+2+y y2 2=1=1在矩陣在矩陣 對應(yīng)的對應(yīng)的變換作用下變?yōu)闄E圓變換作用下變?yōu)闄E圓 求矩陣求矩陣A. .【思路點(diǎn)撥【思路點(diǎn)撥】利用線性變換表示出利用線性變換表示出x,yx,y，代入到變換后的，代入到變換后的橢圓方程，可得到變換前的圓的方程，再利用此方程與已知方橢圓方程，可得到變換前的圓的方程，再利用此方程與已知方程相等求程相等求a,ba,b的值的值. .a0(a0,b0)0

16、bA22xy1,94【規(guī)范解答【規(guī)范解答】設(shè)設(shè)P(x,yP(x,y) )為圓上的任意一點(diǎn)，在矩陣為圓上的任意一點(diǎn)，在矩陣A對應(yīng)的變對應(yīng)的變換作用下變?yōu)榱硪粋€點(diǎn)換作用下變?yōu)榱硪粋€點(diǎn)P(x,yP(x,y),),又點(diǎn)又點(diǎn)P(x,yP(x,y)在橢圓在橢圓由已知條件可知，由已知條件可知，x x2 2+y+y2 2=1,=1,所以所以a a2 2=9,b=9,b2 2=4.=4.因為因為a a0,b0,b0,0,所以所以a=3,b=2a=3,b=2，即，即xa0 xxax,y0byyby. ，則即22xy194 上，2222a xb y1.94所以30.02A【拓展提升【拓展提升】 求系數(shù)的一般思路求系

17、數(shù)的一般思路對于同一條曲線，在同一個坐標(biāo)系中，其曲線的方程只能有一對于同一條曲線，在同一個坐標(biāo)系中，其曲線的方程只能有一種形式，如果利用不同的方法求出兩個曲線方程，則這兩個曲種形式，如果利用不同的方法求出兩個曲線方程，則這兩個曲線方程就是相同的，即兩個曲線方程的對應(yīng)系數(shù)相等線方程就是相同的，即兩個曲線方程的對應(yīng)系數(shù)相等. .利用這利用這個關(guān)系可以列出方程組，求相應(yīng)的系數(shù)的值個關(guān)系可以列出方程組，求相應(yīng)的系數(shù)的值. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】已知已知a a，bRbR，若，若 所對應(yīng)的變換所對應(yīng)的變換T TM M把把直線直線l：3x3x2y2y1 1變換為自身，試求實數(shù)變換為自身，試求實數(shù)a a，b

18、 b的值的值【解析【解析】在直線在直線l上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)P(xP(x，y)y)，設(shè)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P P在在T TM M的變換下變?yōu)榈淖儞Q下變?yōu)辄c(diǎn)點(diǎn)P(xP(x，y)y)，所以點(diǎn)所以點(diǎn)P(P(x xayay，bxbx3y).3y).1ab3M1axxxxayb3yyybx3y ，則，點(diǎn)點(diǎn)PP在直線在直線l上，上，3(3(x xay)ay)2(bx2(bx3y)3y)1 1，即即( (3 32b)x2b)x(3a(3a6)y6)y1 1，方程方程( (3 32b)x2b)x(3a(3a6)y 6)y 1 1即為直線即為直線l的方程的方程3x3x2y2y1 1，43 2b3a33a62b3. ， ，解得 ，