江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《基本不等式 新人教A版選修45

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1、書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無(wú) 崖 苦 作 舟少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動(dòng)+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！定理定理1.如果如果Rba,，那么，那么abba222（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba 時(shí)取時(shí)取“=”）1指出定理適用范圍：指出定理適用范圍： Rba,2強(qiáng)調(diào)取強(qiáng)調(diào)取“=”的條件：的條件： ba 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：定理定理2.如果如果 那么那么 ba,是正數(shù)，是正數(shù)， abba2（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)ba 時(shí)取時(shí)取“=”號(hào)）號(hào)）注意：注意：1這個(gè)定理適用的范圍這個(gè)定理適用的范圍： , a b

2、R 2語(yǔ)言表述語(yǔ)言表述：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。 注意注意:利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時(shí)一定要注意定理的條件數(shù)定理時(shí)一定要注意定理的條件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一個(gè)條件達(dá)不有一個(gè)條件達(dá)不到就不能取得最值到就不能取得最值.22222222(1)2( ,)(2)( ,)21(3)2()2(4)()( ,)22(5)+(0)1.ababa bababa bababxbaxabababa babcab+bc+ca a,RRb,cRR（x0）基本不等式及其常用變式思考思考 基本不等式給出了兩個(gè)整數(shù)

3、的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均基本不等式給出了兩個(gè)整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個(gè)不等式能否推廣呢？例如，對(duì)于數(shù)的關(guān)系，這個(gè)不等式能否推廣呢？例如，對(duì)于3個(gè)正數(shù)，個(gè)正數(shù)，會(huì)有怎樣的不等式成立呢？會(huì)有怎樣的不等式成立呢？3, .,3a bcRabcabcabc類比、猜想：若那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。33333233332222222222223()333()333() ()()3()()23()()1() ()() ()0,2abcabcaba babcabcabca bababcabcabab ccab abcabcaabbacbccababc abcabbccaabcabbcca 333,

4、,3a b cRabcabc如果那么等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立3, .,3abca bcRabcabc若那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立。定理定理3語(yǔ)言表述語(yǔ)言表述：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。均不小于它們的幾何平均。推論推論:),(33Rcbaabccba33 abccba.,等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)cba為定值時(shí)abc) 1 (為定值時(shí)cba)2(3)3(cbaabc.,等號(hào)成立時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)cba關(guān)于關(guān)于“平均數(shù)平均數(shù)”的概念：的概念：1如果 *12,1na aaRnnN且 則： naaan21 叫做這叫做這n個(gè)正數(shù)的個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)。nnaaa21叫做

5、這叫做這n個(gè)正數(shù)的個(gè)正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。2.基本不等式：基本不等式： naaan21 nnaaa21niRaNni1 ,*語(yǔ)言表述語(yǔ)言表述：n n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膸缀纹骄鶖?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)1 1a a2 2=a=an n時(shí)，時(shí)，等號(hào)成立等號(hào)成立推廣推廣27Rxyz+3例1、已知x，y，z，求證：（x+y+z）。33xyzxyz證明：因?yàn)?，所?xyz（x+y+z），27327xyz即（x+y+z）例例:.)1 (,10) 1 (2的最大值求函數(shù)時(shí)當(dāng)xxyx解解:, 10 x, 01x.274,32,12maxyxxx時(shí)當(dāng)274)

6、3122(43xxx)1 (224)1 (2xxxxxy構(gòu)造三構(gòu)造三個(gè)數(shù)相個(gè)數(shù)相 加等于加等于定值定值.)1 (,10)2(2的最大值求函數(shù)時(shí)當(dāng)xxyx練習(xí)練習(xí):解解:, 10 x, 012x得由),1 (2xxy2222)1 (xxy)1)(1 (221222xxx274)3112(213222xxx. 392,274,33,12maxmax222yyxxx時(shí)當(dāng)構(gòu)造三個(gè)構(gòu)造三個(gè)數(shù)相數(shù)相 加加等于定值等于定值.例將一塊邊長(zhǎng)為例將一塊邊長(zhǎng)為a的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四的正方形鐵皮，剪去四個(gè)角（四個(gè)全等的正方形），作成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，要使個(gè)全等的正方形），作成一個(gè)無(wú)蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去

7、的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？最其容積最大，剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為多少？最大容積是多少？大容積是多少？解解:設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為設(shè)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)為xx)20( ,)2(2axxaxV則其容積為則其容積為 :)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxax272,6,243maxaVaxxax時(shí)當(dāng)且僅當(dāng).272,63aa積是合的最大容鐵時(shí)長(zhǎng)為小正方形邊即當(dāng)剪去的axa2232,(0).yxxx求函數(shù)的最小值練習(xí)練習(xí):3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min43y(錯(cuò)解錯(cuò)解:原因是取不到等號(hào)原因是取不到等號(hào))正解正解:33322236232932

8、323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)課堂小結(jié)課堂小結(jié)2222222222221.,2|;()()()22().abababcabbccaabcdacbdababab均值定理的應(yīng)用范圍廣泛 要關(guān)注變量的取值要求和等號(hào)能否成立,還要注意它的變式的運(yùn)用,如:等課堂小結(jié)課堂小結(jié)2.(0).3.(0;(0.ayxaxx,y,+),xy= Px= yx+ yx,y,+),x+ y= Sx= yxy2等號(hào)成立的條件不能滿足時(shí),可以再?gòu)膯握{(diào)性的角度考慮,力圖轉(zhuǎn)化為的形式利用極值求最大(小)值時(shí), (1)且(定值),那么當(dāng)時(shí),有最值2 P (2)且(定值),S那么當(dāng)時(shí),大有最值4小