江西省信豐縣高中數(shù)學(xué) 《基本不等式 新人教A版選修45

書 山 有 路 勤 為 徑，學(xué) 海 無 崖 苦 作 舟少 小 不 學(xué) 習(xí)，老 來 徒 傷 悲 成功=艱苦的勞動+正確的方法+少談空話天才就是百分之一的靈感，百分之九十九的汗水！天 才 在 于 勤 奮，努 力 才 能 成 功！定理定理1.如果如果Rba,，那么，那么abba222（當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ba 時取時取“=”）1指出定理適用范圍：指出定理適用范圍： Rba,2強調(diào)取強調(diào)取“=”的條件：的條件： ba 復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：定理定理2.如果如果 那么那么 ba,是正數(shù)，是正數(shù)， abba2（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)ba 時取時取“=”號）號）注意：注意：1這個定理適用的范圍這個定理適用的范圍： , a bR 2語言表述語言表述：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。它們的幾何平均數(shù)。 注意注意:利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均利用算術(shù)平均數(shù)和集合平均數(shù)定理時一定要注意定理的條件數(shù)定理時一定要注意定理的條件: 一正一正;二定二定;三相等三相等.有一個條件達不有一個條件達不到就不能取得最值到就不能取得最值.22222222(1)2( ,)(2)( ,)21(3)2()2(4)()( ,)22(5)+(0)1.ababa bababa bababxbaxabababa babcab+bc+ca a,RRb,cRR（x0）基本不等式及其常用變式思考思考 基本不等式給出了兩個整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均基本不等式給出了兩個整數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系，這個不等式能否推廣呢？例如，對于數(shù)的關(guān)系，這個不等式能否推廣呢？例如，對于3個正數(shù)，個正數(shù)，會有怎樣的不等式成立呢？會有怎樣的不等式成立呢？3, .,3a bcRabcabcabc類比、猜想：若那么當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。33333233332222222222223()333()333() ()()3()()23()()1() ()() ()0,2abcabcaba babcabcabca bababcabcabab ccab abcabcaabbacbccababc abcabbccaabcabbcca 333, ,3a b cRabcabc如果那么等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立等號當(dāng)且僅當(dāng)時成立3, .,3abca bcRabcabc若那么當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立。定理定理3語言表述語言表述：三個正數(shù)的算術(shù)平三個正數(shù)的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均。均不小于它們的幾何平均。推論推論:),(33Rcbaabccba33 abccba.,等號成立時當(dāng)且僅當(dāng)cba為定值時abc) 1 (為定值時cba)2(3)3(cbaabc.,等號成立時當(dāng)且僅當(dāng)cba關(guān)于關(guān)于“平均數(shù)平均數(shù)”的概念：的概念：1如果 *12,1na aaRnnN且 則： naaan21 叫做這叫做這n個正數(shù)的個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。算術(shù)平均數(shù)。nnaaa21叫做這叫做這n個正數(shù)的個正數(shù)的幾何平均數(shù)幾何平均數(shù)。2.基本不等式：基本不等式： naaan21 nnaaa21niRaNni1 ,*語言表述語言表述：n n個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)膸缀纹骄鶖?shù)，當(dāng)且僅當(dāng)1 1a a2 2=a=an n時，時，等號成立等號成立推廣推廣27Rxyz+3例1、已知x，y，z，求證：（x+y+z）。33xyzxyz證明：因為，所以3xyz（x+y+z），27327xyz即（x+y+z）例例:.)1 (,10) 1 (2的最大值求函數(shù)時當(dāng)xxyx解解:, 10 x, 01x.274,32,12maxyxxx時當(dāng)274)3122(43xxx)1 (224)1 (2xxxxxy構(gòu)造三構(gòu)造三個數(shù)相個數(shù)相 加等于加等于定值定值.)1 (,10)2(2的最大值求函數(shù)時當(dāng)xxyx練習(xí)練習(xí):解解:, 10 x, 012x得由),1 (2xxy2222)1 (xxy)1)(1 (221222xxx274)3112(213222xxx. 392,274,33,12maxmax222yyxxx時當(dāng)構(gòu)造三個構(gòu)造三個數(shù)相數(shù)相 加加等于定值等于定值.例將一塊邊長為例將一塊邊長為a的正方形鐵皮，剪去四個角（四的正方形鐵皮，剪去四個角（四個全等的正方形），作成一個無蓋的鐵盒，要使個全等的正方形），作成一個無蓋的鐵盒，要使其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最其容積最大，剪去的小正方形的邊長為多少？最大容積是多少？大容積是多少？解解:設(shè)剪去的小正方形的邊長為設(shè)剪去的小正方形的邊長為xx)20( ,)2(2axxaxV則其容積為則其容積為 :)2()2(441xaxaxV2723)2()2(44133axaxax272,6,243maxaVaxxax時當(dāng)且僅當(dāng).272,63aa積是合的最大容鐵時長為小正方形邊即當(dāng)剪去的axa2232,(0).yxxx求函數(shù)的最小值練習(xí)練習(xí):3322243212321232xxxxxxxxy解解:3min43y(錯解錯解:原因是取不到等號原因是取不到等號)正解正解:33322236232932323232323232xxxxxxxxy.3623,23,2323min2yxxx時當(dāng)且僅當(dāng)課堂小結(jié)課堂小結(jié)2222222222221.,2|;()()()22().abababcabbccaabcdacbdababab均值定理的應(yīng)用范圍廣泛 要關(guān)注變量的取值要求和等號能否成立,還要注意它的變式的運用,如:等課堂小結(jié)課堂小結(jié)2.(0).3.(0;(0.ayxaxx,y,+),xy= Px= yx+ yx,y,+),x+ y= Sx= yxy2等號成立的條件不能滿足時,可以再從單調(diào)性的角度考慮,力圖轉(zhuǎn)化為的形式利用極值求最大(小)值時, (1)且(定值),那么當(dāng)時,有最值2 P (2)且(定值),S那么當(dāng)時,大有最值4小