廣東省惠州市崇雅中學(xué)高中數(shù)學(xué) 232 雙曲線的簡單幾何性質(zhì)課件 新人教A版選修21

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1、復(fù)習(xí)回顧：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程復(fù)習(xí)回顧：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:)0, 0( 12222babyax形式一：形式一： （焦點在（焦點在x軸上，（軸上，（- -c，0）、）、 （c，0）1F2F 形式二：形式二：（焦點在（焦點在y軸上，（軸上，（0，- -c）、（）、（0，c） 其中其中) 0, 0( 12222babxay1F2F222bac 雙曲線的圖象特雙曲線的圖象特點與幾何性質(zhì)點與幾何性質(zhì)? 現(xiàn)在就用方現(xiàn)在就用方程來探究一下程來探究一下!類似于橢圓幾何性質(zhì)的研究類似于橢圓幾何性質(zhì)的研究.YXF1F2A1A2B1B212222byax焦點在x軸上的雙曲線圖像 2、對稱性、對稱性 一、研究雙曲線一、研

2、究雙曲線 的簡單幾何性質(zhì)的簡單幾何性質(zhì)1、范圍、范圍22221,xxaaxa xa 即即關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸和原點都是對稱軸和原點都是對稱.x軸、軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心軸是雙曲線的對稱軸，原點是對稱中心,又叫做雙曲線的又叫做雙曲線的中心中心.xyo- -aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22221(0,0)xyabab (下一頁下一頁)頂點頂點3、頂點、頂點（1）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的）雙曲線與對稱軸的交點，叫做雙曲線的頂點頂點xyo-b1B2Bb1A2A-aa如圖，線段如圖，線段 叫做雙曲線叫做雙曲線的實軸，它的長為的實軸，它的長為2a,a叫

3、做叫做實半軸長；線段實半軸長；線段 叫做雙叫做雙曲線的虛軸，它的長為曲線的虛軸，它的長為2b,b叫做雙曲線的虛半軸長叫做雙曲線的虛半軸長.2A1A2B1B（2）(3)實軸與虛軸等長的雙曲線叫實軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線等軸雙曲線.22(0)xym m (下一頁下一頁)漸近線漸近線4、漸近線、漸近線1A2A1B2Bxyobyxa byxa ab利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖雙曲線的草圖(2)漸近線對雙曲線的開口的影響漸近線對雙曲線的開口的影響(3) 雙曲線上的點與這兩雙曲線上的點與這兩直線有什么位置關(guān)系呢直線有什么位置關(guān)系呢?(下一頁下一頁)離心率離心率如

4、何記憶雙曲線的漸近線方程？如何記憶雙曲線的漸近線方程？5、離心率、離心率e是表示雙曲線開口大小的一個量是表示雙曲線開口大小的一個量, ,e 越大開口越大越大開口越大ca0e 12222( )11bcaceaaa （4）等軸雙曲線的離心率等軸雙曲線的離心率e= ?2 ,XYF1F2OB1B2A2A112222bxay焦點在y軸上的雙曲線圖像焦點在Y軸上的雙曲線的幾何性質(zhì)口答 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：YX12222bxay0byax雙曲線性質(zhì)：1、范圍：ya或y-a2、對稱性：關(guān)于x軸，y軸，原點對稱。3、頂點B1（0，-a），B2（0，a）4、軸：實軸 B1B2 ; 虛軸 A1A2A1A2B1B25、漸

5、近線方程：6、離心率：e=c/aF2F2o如何記憶雙曲線的漸進線方程？小小 結(jié)結(jié)xyoax或ax ay ay或)0 ,( a), 0(axaby xbay ace)(222bac其中關(guān)于關(guān)于坐標(biāo)坐標(biāo)軸和軸和原點原點都對都對稱稱性性質(zhì)質(zhì)雙曲線雙曲線) 0, 0(12222babyax) 0, 0(12222babxay范圍范圍對稱對稱 性性 頂點頂點 漸近漸近 線線離心離心 率率圖象圖象 xyo例例1 求雙曲線求雙曲線 9y2-16x2=144的實半軸長和虛半軸長、的實半軸長和虛半軸長、焦點坐標(biāo)、離心率、漸進線方程焦點坐標(biāo)、離心率、漸進線方程.可得實半軸長可得實半軸長a=4，虛半軸長，虛半軸長b

6、=3焦點坐標(biāo)為（焦點坐標(biāo)為（0，-5）、（）、（0，5）45 ace離離心心率率xy34 漸進線方程為漸進線方程為解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程解：把方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程221169yx例例2.4516線和焦點坐標(biāo)線和焦點坐標(biāo)程，并且求出它的漸近程，并且求出它的漸近出雙曲線的方出雙曲線的方軸上，中心在原點，寫軸上，中心在原點，寫焦點在焦點在，離心率離心率離是離是已知雙曲線頂點間的距已知雙曲線頂點間的距xe 思考思考:一個雙曲線的漸近線的方程為一個雙曲線的漸近線的方程為: ,它的它的離心率為離心率為 .xy43 5543或xy43漸近線方程為)0 ,10(),0 ,10(21FF 焦點1366422 yx解

7、：解：2283 2xy 練習(xí)練習(xí)(1) ：2214xy(2) : 的漸近線方程為：的漸近線方程為： 的實軸長的實軸長 虛軸長為虛軸長為_ 頂點坐標(biāo)為頂點坐標(biāo)為 ,焦點坐標(biāo)為焦點坐標(biāo)為_ 離心率為離心率為_2xy 4280 , 240 ,63242244xy的漸近線方程為：的漸近線方程為： 2214xy 的漸近線方程為：的漸近線方程為： 的漸近線方程為：的漸近線方程為： 2244xy 2xy2xy 2xy22313 2 3916xy例 ：求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）與雙曲線有相同漸近線，且過點，； 220332xyyx 漸近線方程可化為22094xy 設(shè)所求雙曲線方程為8114294則，解得2

8、2222194188xyxy故所求雙曲線方程為即 2210916xy 解： 設(shè)所求雙曲線方程為912916則，2219164xy故所求雙曲線方程為22191644xy即14解得 292132yx 漸近線方程為：且過點，已知漸近線方程已知漸近線方程,不能確定不能確定a,b的值的值,只能確定只能確定a,b的關(guān)系的關(guān)系如果兩條漸近線方程為如果兩條漸近線方程為 ,那么雙曲線的方程為那么雙曲線的方程為當(dāng)當(dāng) 0時時,當(dāng)當(dāng) 0時時,當(dāng)當(dāng) =0時時,0byax 2222byax,這里這里是待定系數(shù)是待定系數(shù)共軛雙曲線共軛雙曲線：以已知雙曲線的：以已知雙曲線的實軸為虛軸實軸為虛軸，虛軸為實軸虛軸為實軸，這樣，這

9、樣得到的雙曲線稱為原雙曲線的得到的雙曲線稱為原雙曲線的共軛共軛雙曲線。通過分析曲線的方雙曲線。通過分析曲線的方程，發(fā)現(xiàn)二者具有相同的漸近線。此即為共軛之意。程，發(fā)現(xiàn)二者具有相同的漸近線。此即為共軛之意。雙曲線焦點在雙曲線焦點在x軸上軸上雙曲線焦點在雙曲線焦點在y軸上軸上即為雙曲線的漸近線方程即為雙曲線的漸近線方程1）性質(zhì)：）性質(zhì)：共用共用一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的一對漸近線。雙曲線和它的共軛雙曲線的焦點在同一圓上。焦點在同一圓上。2）如何確定雙曲線的共軛雙曲線？）如何確定雙曲線的共軛雙曲線？將將1變?yōu)樽優(yōu)?1練習(xí)練習(xí):求出下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求出下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2.2.求中心在原

10、點，對稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點求中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，經(jīng)過點P( 1,( 1,3 ) 3 ) 且離心率為且離心率為 的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程. .21 1. 過點（過點（1，2），且漸近線為），且漸近線為34yx 的雙曲線方程是的雙曲線方程是_.22313 2 2164xy例 ：求下列雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（3）與雙曲線有相同焦點，且過點， ； 32 5 0解： 焦點為， ，221 02020 xymmm設(shè)所求雙曲線方程為184120mm則810m 解得或（舍）221128xy故所求雙曲線方程為 1. 求與橢圓求與橢圓xy221681有共同焦點，漸近線方程為有共同焦點，漸近線方程為xy3

11、0的雙曲線方程。的雙曲線方程。 解：解：橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上，且坐標(biāo)為軸上，且坐標(biāo)為），（，022)022(21FF 雙曲線的焦點在 軸上，且xc2 2雙曲線的漸近線方程為雙曲線的漸近線方程為xy33 bacabab33822222，而， 解出解出2622ba， 雙曲線方程為xy22621 關(guān)于關(guān)于x軸、軸、y軸、原點對稱軸、原點對稱圖形圖形方程方程范圍范圍對稱性對稱性頂點頂點離心率離心率1 (0)xyabab22222222A1（- a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a） 1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x R ，或或關(guān)于關(guān)

12、于x軸、軸、y軸、原點對稱軸、原點對稱 (1)ceea 漸進線漸進線ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c) x axa y R ，或或 (1)ceea byxa 小小 結(jié)結(jié)12 byax222（ a b 0）12222 byax( a 0 b0) 222 ba(a 0 b0) c222 ba(a b0) c橢橢 圓圓雙曲線雙曲線方程方程a b c關(guān)系關(guān)系圖象圖象yXF10F2MXY0F1F2 p漸近線漸近線離心率離心率頂點頂點對稱性對稱性范圍范圍 準(zhǔn)線準(zhǔn)線|x| a,|y|b|x| a，y R

13、對稱軸：對稱軸：x軸，軸，y軸軸 對稱中心：原點對稱中心：原點對稱軸：對稱軸：x軸，軸，y軸軸 對稱中心：原點對稱中心：原點（-a,0) (a,0) (0,b) (0,-b)長軸：長軸：2a 短軸：短軸：2b(-a,0) (a,0)實軸：實軸：2a虛軸：虛軸：2be =ac( 0e 1 )ace=(e1)無無 y = abxcax2cax2例例2雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)所成的曲面，它的最小半徑為最小半徑為12m,上口半徑為上口半徑為13m,下口半徑下口半徑為為25m,高高55m.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

14、，求出此選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程雙曲線的方程(精確到精確到1m). AA0 xCCBBy131225 . )(,.,).(,mmmmm15525131218224到到精確精確此雙曲線方程此雙曲線方程求出求出適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系試選擇試選擇高高為為下口半徑下口半徑徑為徑為上口半上口半為為徑徑半半它的最小它的最小圖圖旋轉(zhuǎn)所成的曲面旋轉(zhuǎn)所成的曲面虛軸虛軸其其部分繞部分繞的一的一是雙曲線是雙曲線塔的外形塔的外形雙曲線型冷卻雙曲線型冷卻例例 8221 .圖圖AABBCCxy 8222 .圖圖131225O .| ,|,.,.2252132822 BBCCxBBCCxAAxOy且軸都平行于

15、上、下口的直徑這時重合圓心與原點軸上在徑使小圓的直角坐標(biāo)系建立直如圖解 ,0012222 babyax設(shè)雙曲線的方程為 .,5525 yB的坐標(biāo)為則點 , yC13的坐標(biāo)為令點所以在雙曲線上因為點,CBAABBCCxy 8222 .圖圖131225O 2112131155122522222222., byby ,負值舍去得由方程1252by .,25018150275191551251225122222 bbbbb用計算器解得化簡得得代入方程.,162514422 yx所求雙曲線的方程為所以解：解：xyl l.FO.M的距離，則到直線是點設(shè)lMd由題意知45|dMFd.45|516|)5(22

16、xyx即兩邊平方，并化簡得：.14416922yx.68的雙曲線、分別為的軌跡是實軸、虛軸長點M.例例5 5、點、點M M（x x，y y）與定點）與定點F F（5 5，0 0）的距離和它到）的距離和它到定直線定直線 的距離的比是常數(shù)的距離的比是常數(shù) ，求點，求點M M的軌跡。的軌跡。516:xl45. 191622yx即雙曲線的第二定義：雙曲線的第二定義：.) 1(曲線，則這個點的軌跡是雙是常數(shù)的距離的比線的距離和它到一條定直與一個定點動點eacelFM.是雙曲線的離心率準(zhǔn)線，常數(shù)定直線叫做雙曲線的定點是雙曲線的焦點，e.)0(1222222caxcFbyax，對應(yīng)的右準(zhǔn)線方程是，右焦點，對

17、于雙曲線.)0(21caxcF對應(yīng)的左準(zhǔn)線方程是，左焦點cayy2程是：軸上的雙曲線的準(zhǔn)線方焦點在yl l.FF OMd.x例例6：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線 的右焦點的右焦點F2,傾斜角為傾斜角為 30的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點，求兩點，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法一法一: :設(shè)直線設(shè)直線ABAB的方程為的方程為3(3)3yx 與雙曲線方程聯(lián)立得與雙曲線方程聯(lián)立得A、B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為92 3( 3, 2 3),( ,)55 由兩點間的距離公式得|AB|=1635例例6：如圖所示，過雙曲線：如圖所示，過雙曲線 的右焦點的右焦點F2,傾斜角為傾斜角為

18、 30的直線交雙曲線于的直線交雙曲線于A，B兩點，求兩點，求|AB|22136xyF1F2xyOAB法二法二: :設(shè)直線設(shè)直線ABAB的方程為的方程為3(3)3yx 與雙曲線方程聯(lián)立消與雙曲線方程聯(lián)立消y得得5x2+6x-27=0由兩點間的距離公式得由兩點間的距離公式得222212121212212121|()()()()32316()4335ABxxyyxxxxxxxx 設(shè)設(shè)A、B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x1,y1) 、(x2,y2),則則1212627,55xxxx * 1。已知雙曲線已知雙曲線3x2y23,直線直線l過其右焦點過其右焦點F2，與雙曲，與雙曲線交于線交于A、B兩點，且傾斜角為兩點

19、，且傾斜角為45，試問，試問A、B兩點是兩點是否位于雙曲線的同一支上？并求出線段否位于雙曲線的同一支上？并求出線段AB的長的長【思路點撥【思路點撥】先寫出直線方程，代入雙曲線方程，利先寫出直線方程，代入雙曲線方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系判斷用根與系數(shù)的關(guān)系判斷利用利用x1x20判斷點判斷點A、B的位置是本題的難點！的位置是本題的難點！討論直線與雙曲線的位置關(guān)系，一般化為討論直線與雙曲線的位置關(guān)系，一般化為關(guān)于關(guān)于x(或或y)的一元二次方程，這時首先要看的一元二次方程，這時首先要看二次項的系數(shù)是否等于二次項的系數(shù)是否等于0.當(dāng)二次項系數(shù)等于當(dāng)二次項系數(shù)等于0時，就轉(zhuǎn)化成時，就轉(zhuǎn)化成x(或或y)的一元

20、一次方程，只有的一元一次方程，只有一個解，這時直線與雙曲線相交只有一個交一個解，這時直線與雙曲線相交只有一個交點當(dāng)二次項的系數(shù)不為點當(dāng)二次項的系數(shù)不為0時，利用根的判別時，利用根的判別式式,判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系判斷直線與雙曲線的位置關(guān)系. 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1.如果直線如果直線ykx1與雙曲線與雙曲線x2y24沒有公共點，求沒有公共點，求k的取值范圍的取值范圍1若直線若直線ykx1與雙曲線與雙曲線x2y21有且只有一個交點，有且只有一個交點， 則則k的值為的值為_2過點過點P(8,1)的直線與雙曲線的直線與雙曲線x24y24相交于相交于A,B兩兩 點，且點，且P是線段是線段AB的中點，求直線的中點，求直線AB的方程的方程