江西省遂川二中高中數(shù)學(xué) 2.3單調(diào)性（1）課件 北師大版必修1

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1、中國(guó)在近七屆奧運(yùn)中國(guó)在近七屆奧運(yùn)會(huì)上獲得的金牌數(shù)會(huì)上獲得的金牌數(shù)51281651516322326272820屆屆枚枚40242529253035151054550情情景景引引入入 德國(guó)有一位著名的心理學(xué)家名叫艾賓浩斯(Hermann Ebbinghaus，1850-1909)，他在1879-1880年的記憶實(shí)驗(yàn)中用無(wú)意義音節(jié)來(lái)進(jìn)行記憶研究。研究的中心問(wèn)題之一就是學(xué)習(xí)后記憶保持量的變化規(guī)律。他以自己為實(shí)驗(yàn)對(duì)象，共做了163次實(shí)驗(yàn). Hermann Ebbinghaus時(shí)間間隔時(shí)間間隔記憶保持量記憶保持量剛剛記憶完畢剛剛記憶完畢100100% %2020分鐘之后分鐘之后58.258.2% %1

2、1小時(shí)之后小時(shí)之后44.244.2% %8-98-9小時(shí)之后小時(shí)之后35.835.8% %1 1天后天后33.733.7% %2 2天后天后27.827.8% %6 6天后天后25.425.4% %一個(gè)月后一個(gè)月后21.121.1% % 德國(guó)著名心理學(xué)家艾賓浩斯的研究德國(guó)著名心理學(xué)家艾賓浩斯的研究數(shù)據(jù)數(shù)據(jù) 艾賓浩斯記憶艾賓浩斯記憶遺忘曲線遺忘曲線記憶保持量記憶保持量（百分?jǐn)?shù)）（百分?jǐn)?shù)）天數(shù)天數(shù)O204060801003 32 21 14 45 56 6觀察下列函數(shù)的圖象觀察下列函數(shù)的圖象，回答當(dāng)自變量回答當(dāng)自變量 的值增大時(shí)的值增大時(shí), ,函數(shù)值函數(shù)值 是如何變化的？是如何變化的？(1) (

3、)1f xx 2(2) ( )f xx新課新課( )f xx(-,0上當(dāng)上當(dāng)x增大增大時(shí)時(shí)f(x)隨著隨著減小減小xyo-1-1xOy1 11 12 24 4-1-1-2-2(1) ( )1f xx 1 12(2) ( )f xx當(dāng)當(dāng)x增大增大時(shí)時(shí)f(x)隨著隨著增大增大函數(shù)在函數(shù)在R R上是上是增增加的加的 函數(shù)在函數(shù)在(- -,0上是上是減減少的少的(0,+)上當(dāng)上當(dāng)x增大增大時(shí)時(shí)f(x)隨著隨著增大增大函數(shù)在函數(shù)在(0,+)上是上是增增加的加的1 10 xyx1x2f(x1)f(x2) 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述函數(shù)值的增減如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述函數(shù)值的增減變化呢變化呢？ xyOy=f(x)x1x2

4、f(x1)f(x2)那么就說(shuō)那么就說(shuō)y= f(x)在在區(qū)間區(qū)間A上是增上是增加的加的.當(dāng)當(dāng) x 1x2 時(shí)，時(shí)，12f xf x都有都有在函數(shù)在函數(shù)y=y=f(xf(x) )的定義域的定義域內(nèi)的一個(gè)區(qū)間內(nèi)的一個(gè)區(qū)間A A上，上， 如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間A A內(nèi)內(nèi)的的任意兩個(gè)值任意兩個(gè)值12,x x也說(shuō)y=f(x)區(qū)間A上是遞增的遞增的.在區(qū)間在區(qū)間A A上遞增上遞增x1 1、x2 2的三大特征：的三大特征：屬于同一區(qū)間屬于同一區(qū)間任意性任意性 有大小有大小: 通常規(guī)定通常規(guī)定 x1 1x2 2如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)是在整個(gè)定義域內(nèi)是增加的增加的， 則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為則稱(chēng)這個(gè)函

5、數(shù)為增函數(shù)增函數(shù).函數(shù)是函數(shù)是那么就說(shuō)那么就說(shuō)y= f(x)在在區(qū)間區(qū)間A上是上是減少的減少的.當(dāng)當(dāng) x 1x2 時(shí)，時(shí)，12f xf x都有都有在函數(shù)在函數(shù)y=f(x)的定義域的定義域的一個(gè)區(qū)間的一個(gè)區(qū)間A上，上， 如果對(duì)于區(qū)間如果對(duì)于區(qū)間A內(nèi)內(nèi)的的任意兩個(gè)值任意兩個(gè)值12,x x也說(shuō)y=f(x)區(qū)間A上是遞減的遞減的.yf(x1)f(x2)x10 x2x在區(qū)間在區(qū)間A A上遞減上遞減如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)是減少的在整個(gè)定義域內(nèi)是減少的， 則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為則稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為減函數(shù)減函數(shù). 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)或減在整個(gè)定義域內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù)函數(shù)， 統(tǒng)稱(chēng)為

6、統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù). 如果函數(shù)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間A上是增加的或減上是增加的或減少的少的,那么稱(chēng)那么稱(chēng)A為為單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間.單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間 函數(shù)函數(shù)y=f(x)在定義域的某個(gè)子集上是增加在定義域的某個(gè)子集上是增加的或的或減少的，稱(chēng)函數(shù)減少的，稱(chēng)函數(shù)y=f(x)在這個(gè)子集上具有在這個(gè)子集上具有單調(diào)性單調(diào)性.在(-,0)上是_ 在(0,+)上是_減少的減少的能否說(shuō) 在(-,0)(0,+)上是減少的?1yx1yx反比例函數(shù) ：1( )f xx- -2yOx- -11- -112思考：解解:函數(shù)函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間有的單調(diào)區(qū)間有5,2）, ,2,1) ，1，3

7、), 3，5.逗號(hào)逗號(hào)隔開(kāi)隔開(kāi)例例1 1. 如圖是定義在閉區(qū)間如圖是定義在閉區(qū)間 5 5, ,55上的函數(shù)上的函數(shù) y = f(x)的圖象的圖象, 根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間, 以及在每一以及在每一單調(diào)區(qū)間上單調(diào)區(qū)間上, 函數(shù)是增加的還是減少的？函數(shù)是增加的還是減少的？ 其中其中y=f(x)在區(qū)間在區(qū)間2，1)，3，5上是增加的；上是增加的；說(shuō)明說(shuō)明: :孤立的點(diǎn)沒(méi)有單調(diào)性孤立的點(diǎn)沒(méi)有單調(diào)性, ,故區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫(xiě)開(kāi)寫(xiě)閉均可故區(qū)間端點(diǎn)處若有定義寫(xiě)開(kāi)寫(xiě)閉均可. .在區(qū)間在區(qū)間5，2），），1，3)上是減少的上是減少的. .( )yf x- -432154312- -

8、1- -2- -1- -5- -3 - -2xyO證明函數(shù)證明函數(shù) 在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù). .).()(21xfxf即即122() 0 ,xx12( )() 0 ,f xf x12 ,xx, 021 xx 判斷差符號(hào)判斷差符號(hào)例例2.2.利用定義：利用定義：( )23f xx證明：設(shè)證明：設(shè) 是是R上任意兩個(gè)值，且上任意兩個(gè)值，且 ，21,xx21xx 函數(shù)函數(shù)( )23f xx在在R上是減函數(shù)上是減函數(shù)設(shè)值設(shè)值作差變形作差變形下結(jié)論下結(jié)論)(221xx 1212()() ( 23) ( 23)f xf xxx 則則步驟步驟填表填表（一）（一）函數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間kx+bk0y （）

9、k(k0)yxk 0k 0k 0增函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)減函數(shù)減少的減少的增加的增加的單調(diào)性單調(diào)性課堂練習(xí)課堂練習(xí)12(0)yaxbxca函數(shù)函數(shù)單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間單調(diào)性單調(diào)性0a 0a 增加的增加的(,)2ba增加的增加的(,)2ba 填表填表（二）（二）減少的減少的(,)2ba(,)2ba 減少的減少的課堂練習(xí)課堂練習(xí)2課堂練習(xí)三課堂練習(xí)三證明函數(shù)證明函數(shù) ( (k為負(fù)的常數(shù)為負(fù)的常數(shù)) ) 在區(qū)間（在區(qū)間（0,+0,+）上是增加的）上是增加的. .( )kf xx結(jié)結(jié) 證明函數(shù)證明函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間(0(0, ,+)+)上是增加的上是增加的kyx證證: :設(shè)設(shè) 是是(0,+)(0,+)上任意兩個(gè)

10、值且上任意兩個(gè)值且21,xx12 ,xx210 ,xx021xx12( )( ) 0 ,f xf x12( )( ).f xf x 即即 在區(qū)間在區(qū)間(0,+)(0,+)上是增加的上是增加的( )kf xx設(shè)值設(shè)值作差變形作差變形判斷差符號(hào)判斷差符號(hào)下結(jié)論下結(jié)論1212( )()kkf xf xxx2112xxkx x12 ,0 xx且且0k (0)k課堂小結(jié)課堂小結(jié)1.1.增增函數(shù)、減函數(shù)的定義函數(shù)、減函數(shù)的定義: :如果對(duì)于定義域如果對(duì)于定義域I I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間A上的上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值 x1 1 、x2 2 ，當(dāng)當(dāng) x1 1x2 2時(shí)，都有時(shí)，都有f( (x1

11、 1) )f( (x2 2) )，那么，那么就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間A上是上是增增加的加的. .定義定義一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) f( (x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮 I:如果對(duì)于定義域如果對(duì)于定義域I I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間A上的上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值 x1 1 、x2 2 ，當(dāng)當(dāng) x1 1x2 2時(shí)，都有時(shí)，都有f( (x1 1) )f( (x2 2) )，那么那么就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間A上是上是減減少的少的. .xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)3 3. .(定義法

12、定義法)證明函數(shù)單調(diào)性的步驟證明函數(shù)單調(diào)性的步驟: :設(shè)值設(shè)值判斷差符號(hào)判斷差符號(hào)作差變形作差變形下結(jié)論下結(jié)論課堂小結(jié)課堂小結(jié)2 2. .圖象法判斷函數(shù)的圖象法判斷函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)性：增增函數(shù)的圖象從左到右函數(shù)的圖象從左到右減減函數(shù)的圖象函數(shù)的圖象從左到右從左到右1 1. . 增函數(shù)、減函數(shù)的定義增函數(shù)、減函數(shù)的定義；上升上升下降下降如果對(duì)于定義域如果對(duì)于定義域I I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間A上的上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值 x1 1 、x2 2 ，當(dāng)當(dāng) x1 1x2 2時(shí)，都有時(shí)，都有f( (x1 1) )f( (x2 2) )，那么，那么就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間

13、A上是上是增增加的加的. .小結(jié)小結(jié)一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù) f( (x) )的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮 I:如果對(duì)于定義域如果對(duì)于定義域I I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間A上的上的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值 x1 1 、x2 2 ，當(dāng)當(dāng) x1 1x2 2時(shí)，都有時(shí)，都有f( (x1 1) )f( (x2 2) )，那么那么就說(shuō)函數(shù)就說(shuō)函數(shù)f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間A上是上是減減少的少的. .如果函數(shù)如果函數(shù)y=f( (x) )在區(qū)間在區(qū)間A上上是增加的或減少的是增加的或減少的，那么就說(shuō)函數(shù)那么就說(shuō)函數(shù)y=f( (x) )在這一區(qū)間上具有在這一區(qū)間上具有單調(diào)性單調(diào)性，區(qū)間區(qū)間A叫做函數(shù)叫做

14、函數(shù)f( (x) )的的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間. .xoyx1x2f(x1)f(x2)y=f(x)xoyy=f(x)x1x2f(x2)f(x1)如何確定函數(shù)如何確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？的單調(diào)區(qū)間？4( ),f xxx 1,5x思考題：思考題：作業(yè)作業(yè): :課本課本3838頁(yè)頁(yè)A A組第組第1 1、2 2、3 3題題布置作業(yè)布置作業(yè)再見(jiàn)再見(jiàn)! !4.4.下結(jié)論下結(jié)論:由由定義得出定義得出函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性.1 1.設(shè)值設(shè)值:設(shè)設(shè)任意任意x1 1、x2 2屬于給定區(qū)間屬于給定區(qū)間, ,且且x1 1 x2 22.2.作差變形作差變形:作作差差f( (x1 1) )- -f( (x2 2) )并適當(dāng)并適當(dāng)

15、變形；變形；3.3.判斷差判斷差符符號(hào)號(hào):確定確定f( (x1 1) )- -f( (x2 2) )的的正負(fù)正負(fù)；證明函數(shù)單調(diào)性的步驟證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：返回返回Ox分析和函數(shù)分析和函數(shù) 的圖象的圖象22446688yxyx4y xx 45137猜測(cè)：猜測(cè)：?jiǎn)握{(diào)遞單調(diào)遞減減區(qū)間：區(qū)間：1，2單調(diào)遞單調(diào)遞增增區(qū)間：區(qū)間：2，5y4( )(0)f xxxx ,xxx xx x1 12 21 12 21 12 2( () )( (4 4) ) xx(1)若1 12 2 1 12 2, ,x x則1 12 21 14 4, ,12()()0,f xf x12( )(),f xf x即 4( )1,51,2,f xxxx 的減區(qū)間為增區(qū)間為2,5. , ,x x1 12 2 - -4 40 01215 ,xx設(shè)則 證明：證明：12( )()f xf x121244() ()xxxx211212()()xxxxx x4 4確定函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .4( ),f xxx 1 5x ，減：減：1,2增：增：2,5121200 xxx x顯然xx(2)若1 12 2 2 25 5, ,x x則1 12 24 42 25 5, ,12()()0,f xf x12( )(),f xf x即 x x1 12 2 - -4 40 0