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1、2003年高考數(shù)學試題(江西卷理工農(nóng)醫(yī)類)試題部分第卷(選擇題 共60分)一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的.1.等于( )A. B.C. D.2.已知x(,0),cosx=,則tan2x等于( )A.B.C.D.3.設(shè)函數(shù)f(x)=若f(x0)1,則x0的取值范圍是( )A.(1,1) B.(1,+)C.(,2)(0,+) D.(,1)(1,+)4.O是平面上一定點,A、B、C是平面上不共線的三個點,動點P滿足,0,+,則P的軌跡一定通過ABC的( )A.外心 B.內(nèi)心 C.重心 D.垂心5.函數(shù)y=ln,x(1,+)的反函
2、數(shù)為( )A.y=,x(0,+) B.y=,x(0,+)C.y=,x(,0) D.y=,x(,0)6.棱長為a的正方體中,連結(jié)相鄰面的中心,以這些線段為棱的八面體的體積為( )A. B. C. D.7.設(shè)a0,f(x)=ax2+bx+c,曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍為0,則P到曲線y=f(x)對稱軸距離的取值范圍為( )A.0, B.0, C.0,| D.0,|8.已知方程(x22x+m)(x22x+n)=0的四個根組成一個首項為的等差數(shù)列,則|mn|等于( )A.1 B.C.D.9.已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F(,0),直線y=x1與其相交于M、N兩
3、點,MN中點的橫坐標為,則此雙曲線的方程是( )A.B.C.D.10.已知長方形的四個頂點A(0,0)、B(2,0)、C(2,1)和D(0,1),一質(zhì)點從AB的中點P0沿與AB夾角為的方向射到BC上的點P1后,依次反射到CD、DA和AB上的點P2、P3和P4(入射角等于反射角).設(shè)P4的坐標為(x4,0).若1x40,求函數(shù)f(x)=ln(x+a)(x(0,+)的單調(diào)區(qū)間.20.(本小題滿分12分)A、B兩個代表隊進行乒乓球?qū)官?,每隊三名隊員,A隊隊員是A1,A2,A3,B隊隊員是B1,B2,B3,按以往多次比賽的統(tǒng)計,對陣隊員之間勝負概率如下:現(xiàn)按表中對陣方式出場,每場勝隊得1分,負隊得0
4、分.設(shè)A隊、B隊最后所得總分分別為、.()求、的概率分布;()求E,E.21.(本小題滿分12分)已知常數(shù)a0,向量c=(0,a),i=(1,0),經(jīng)過原點O以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過定點A(0,a),以i2c為方向向量的直線相交于點P.其中R.試問:是否存在兩個定點E、F,使得|PE|+|PF|為定值.若存在,求出E、F的坐標;若不存在,說明理由.22.(本小題滿分14分)設(shè)a0為常數(shù),且an=3n12an1(nN+).()證明對任意n1,an=3n+(1)n12n+(1)n2na0;()假設(shè)對任意n1有anan1,求a0的取值范圍.答案解析1.答案:B解析:. 2.答案:D解法一:x(
5、,0),cosx=,sinx=,tanx=,tan2x=.解法二:在單位圓中,用余弦線作出cosx=,x(,0),判斷出2x且tan2x=AT1,當x0時,x00時, 1,x01.綜上,所以x0的取值范圍為(,1)(1,+).解法二:首先畫出函數(shù)y=f(x)與y=1的圖象.由圖中易得f(x)1時,所對應(yīng)的x的取值范圍.4.答案:B解析:設(shè)為上的單位向量,為上的單位向量,則的方向為BAC的角平分線的方向.又0,+,()的方向與的方向相同.而,點P在上移動,P的軌跡一定通過ABC的內(nèi)心.5.答案:B解法一:y=ln=ly,x=,又而x1,1,ln0,因此y=ln的反函數(shù)為y=(x0)解法二:因原函
6、數(shù)的定義為(1,+),而y=.因此排除A、C,又原函數(shù)的值域為(0,+),排除D.6.答案:C解析:如圖,此八面體可以分割為兩個正四棱錐,而AB2=()2+()2=a2,V八面體=.7.答案:B解析:f(x)的導數(shù)為f(x)=2ax+b,由已知y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的傾斜角的取值范圍為0,.因此有02ax0+b1.而P到曲線y=f(x)的對稱軸的距離為.8.答案:C解析:設(shè)a1=,a2=+d,a3=+2d,a4=+3d,而方程x22x+m=0中的兩根之和為2,x22x+n=0中的兩根之和也是2.a1+a2+a3+a4=1+6d=4,d=,a1=,a4=是一個方程的兩個根,a
7、2=,a3=是一個方程的兩個根,為m或n.|mn|=.9.答案:D解法一:設(shè)所求雙曲線方程為由得,(7a2)x2a2(x1)2=a2(7a2)整理得:(72a2)x2+2a2x8a2+a4=0.又MN中點橫坐標為,x0=即3a2=2(72a2),a2=2.故所求雙曲線方程為.解法二:因所求雙曲線與直線y=x1的交點的中點橫坐標為0)時,為k1,因此,排除B、C.經(jīng)檢驗的交點的中點橫坐標為.解法三:由已知MN中點橫坐標x0=,可得中點縱坐標y0=x01=,設(shè)MN與雙曲線交點分別為M(x1,y1)、N(x2,y2),則有=1 ,=1 則得:,.10.答案:C解析:設(shè)P1B=x,P1P0B=,則CP
8、1=1x,P1P2C、P3P2D、AP4P3均為,所以tan=x,又tan=x,CP2=1,而tan=,DP3=x(3)=3x1,又tan=x,AP4=3,依題設(shè)1AP42,即132,40).當a0,x0時,f(x)0x2+(2a4)x+a20,f(x)0x2+(2a4)x+a21時,對所有x0,有x2+(2a4)x+a20,即f(x)0,此時f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.(ii)當a=1時,對x1,有x2+(2a4)x+a20,即f(x)0,此時f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增,在(1,+)內(nèi)單調(diào)遞增.又知函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù),因此,函數(shù)f(x)在(0,+)內(nèi)單調(diào)遞增.(iii)當0a
9、0,即x2+(2a4)x+a20,解得x2a+2.因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2a2)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(2a+2,+)內(nèi)也單調(diào)遞增.令f(x)0,即x2+(2a4)x+a20,解得2a2xan1(nN+)等價于(1)n1(5a01)()n2(nN+).(i)當n=2k1,k=1,2,時,式即為(1)2k2(5a01)()2k3,即為a0()2k3+.式對k=1,2,都成立,有a0()1+=.(ii)當n=2k,k=1,2,時,式即為(1)2k1(5a01)()2k2+.式對k=1,2,都成立,有a0()212+=0.綜上,式對任意nN+成立,有0a0an1(nN+)成立,特別取n=1,2有a1a0=13a00,a2a1=6a00,因此0a0.下面證明當0a00.由an通項公式5(anan1)=23n1+(1)n132n1+(1)n532n1a0.(i)當n=2k1,k=1,2,時,5(anan1)=23n1+32n1532n1a022n1+32n152n1=0.(ii)當n=2k,k=1,2,時,5(anan1)=23n132n1+532n1a023n132n10.內(nèi)容總結(jié)