高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 不等式選講 第二節(jié) 不等式的證明課件 文

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1、文數(shù)課標(biāo)版第二節(jié)不等式的證明1.比較法比較法(1)作差法(a、bR):a-b0ab;a-b0a0,b0):1ab;1ab,則下列不等式一定成立的是()A.B.C.D.b,-=0,即,故選B.bmambabmambabmambabmambabmamba()()m aba ambmamba3.若0ab2,a2+b22ab,故只需比較a+b與a2+b2的大小即可.(a2+b2)-(a+b)=a(a-1)+b(b-1),0a1,0b1,a(a-1)+b(b-1)0,a2+b20,b0,若是3a與3b的等比中項(xiàng),求證:+4.證明證明由是3a與3b的等比中項(xiàng)得3a3b=3,即a+b=1.要證原不等式成立,

2、只需證+4,即證+2.因?yàn)閍0,b0,所以+2=2當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=b=時,取等號,所以+4.31a1b3abaabbbaabbaabb aa bbaab121a1b考點(diǎn)一比較法證明不等式考點(diǎn)一比較法證明不等式典例典例1設(shè)a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),求證:a3+b3(a2+b2).證明證明a,b是非負(fù)實(shí)數(shù),a3+b3-(a2+b2)=a2(-)+b2(-)=(-)()5-()5.當(dāng)ab時,從而()5()5,得(-)()5-()50;當(dāng)ab時,從而()50.所以a3+b3(a2+b2).ababaabbbaababababababababababab考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破方法技巧方法技巧作差比較法證明不等式的步

3、驟:(1)作差;(2)變形;(3)判斷差的符號;(4)下結(jié)論.其中“變形”是關(guān)鍵,通常將差變形成因式連乘的形式或平方和的形式,再結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷出差的正負(fù).注:作商比較法也有類似的步驟,但注意其比較的是兩個正數(shù)的大小,且第(3)步要判斷商與1的大小.1-1已知a,b(0,+),證明:aabb(ab.證明證明a,b(0,+),= =,當(dāng)a=b時,=1.當(dāng)ab時,1,0,則1.當(dāng)ba時,01,1.2)a b2()aba ba bab2a ba2b ab2a bab2a babab2ab2a babab2ab2a bab綜上可知,aabb(ab成立.2)a b考點(diǎn)二綜合法與分析法證明不等式考點(diǎn)二

4、綜合法與分析法證明不等式典例典例2 (2015課標(biāo),24,10分)設(shè)a,b,c,d均為正數(shù),且a+b=c+d,證明:(1)若abcd,則+;(2)+是|a-b|cd,所以(+)2(+)2.因此+.(2)(i)若|a-b|c-d|,則(a-b)2(c-d)2,abcdabcdababcdcdabcdabcd即(a+b)2-4abcd.由(1)得+.(ii)若+,則(+)2(+)2,即a+b+2c+d+2.因?yàn)閍+b=c+d,所以abcd.abcdabcdabcdabcd于是(a-b)2=(a+b)2-4ab(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|+是|a-b|0),+2(ab0),+-

5、2(ab0,且ab+bc+ca=1.求證:(1)a+b+c;(2)+(+).證明證明(1)要證a+b+c,由于a,b,c0,因此只需證明(a+b+c)23.即證a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3,而ab+bc+ca=1,故只需證明a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)3(ab+bc+ca).即證a2+b2+c2ab+bc+ca.3abcbaccab3abc3而這可以由ab+bc+ca+=a2+b2+c2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時等號成立)證得.所以原不等式成立.(2)+=.在(1)中已證a+b+c,因此要證原不等式成立,只需證明+,即證a+b+c1,因?yàn)閍=,b,c,222ab222bc

6、222caabcbaccababcabc31abcabcbcacabbcab ac2abacac2abbcab2bcac所以a+b+cab+bc+ca(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時等號成立).所以原不等式成立.bcacab33考點(diǎn)三放縮法證明不等式考點(diǎn)三放縮法證明不等式典例典例3 求證:-1+k2k(k-1)(kN*且k2),即-.分別令k=2,3,n得-1-,-,-,將這些不等式相加得3211n21221n1n1(1)k k 21k1(1)k k 1k11k 21k11k 1k121321212131421312131n11n21n11n1n-+-+-+1-+-+-,即-+1-,1+-1+1+1-

7、,即-1+2-(nN*且n2)成立.方法技巧方法技巧(1)利用放縮法證明不等式,要根據(jù)不等式兩邊的特點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)放縮,任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失敗.(2)利用放縮法證明不等式就是舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng),或者在分式中放大或縮小分子、分母,或者把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù),從而達(dá)到證明不等式的目的.121313141n11n21221321n12121311n1n1211n21221321n1n1211n21221321n1n3211n21221321n1n3-1證明:不等式1+(kN*),2(-).分別令k=1,2,3,n,則有2(-),2(-),2(-),2(-),將這些式子相加可得1+0(k12131nnk1k 11kk12 k1kk1k 1110122113321nn1n12131nnn111123n1k k11k 21 2(1)1kk kk 2(1)1kkk N*),得f(k+1)f(k),f(n)在nN*上是增函數(shù).f(n)f(1)=10.1+2(nN*).12131nn