chap5 地球橢球與測量計算

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1、第五章第五章 地球橢球地球橢球與測量計算與測量計算1、基礎(chǔ)知識、基礎(chǔ)知識橢球的幾何特征；地球橢球的幾何特征；地球橢球及其定位；橢球面橢球及其定位；橢球面上的弧長計算。上的弧長計算。2、地面觀測元素化算、地面觀測元素化算至橢球面至橢球面3、橢球面上大地坐標、橢球面上大地坐標的計算問題的計算問題12345A1NA2(B1,L1)平面坐標計算平面坐標計算球面坐標計算球面坐標計算(x1,y1)第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學 測量

2、的外業(yè)工作主要是在地球表面進行的，或者說測量的外業(yè)工作主要是在地球表面進行的，或者說主要是對地球表面進行觀測的，由于地球表面不是一個主要是對地球表面進行觀測的，由于地球表面不是一個規(guī)則的數(shù)學曲面，在其上面無法進行嚴密的測量計算。規(guī)則的數(shù)學曲面，在其上面無法進行嚴密的測量計算。因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形因此，需要尋求一個大小和形狀最接近于地球的規(guī)則形體體地球橢球，在其表面完成測量計算工作。用橢球地球橢球，在其表面完成測量計算工作。用橢球來表示地球必須解決來表示地球必須解決2 2個問題：個問題：一是橢球一是橢球參數(shù)參數(shù)的選擇的選擇( (橢球的大小和形狀橢球的大小和形狀) )；

3、 二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的二是確定橢球與地球的相關(guān)位置，即橢球的定位定位( (橢球橢球與大地水準面包圍的大地體應當最密合與大地水準面包圍的大地體應當最密合) )。5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學 具有一定幾何參數(shù)，經(jīng)過定位，在具有一定幾何參數(shù)，經(jīng)過定位，在全球范圍內(nèi)全球范圍內(nèi)與大與大地體最為接近、密合最好的橢球稱為地體最為接近、密合最好的橢球稱為地球橢球地球橢球。 在在某一地區(qū)某一地區(qū)與大地水準面密合最好的橢球，稱為與大地水準面密合最好的橢球，稱為參參考橢球考橢球。5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大

4、地測量學5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式5.1.3 橢球定位橢球定位5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式5.1.3 橢球定位橢球定位5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系 應用大地測量學應用大地測量學 應用大地測量學應用大地測量學偏心距：偏心距： 第一偏心率：第一偏心率： （5-15-1）第二偏心率：第二偏心率： 扁率：扁率： （5-25-2

5、）橢球長半徑橢球長半徑a a，短半徑，短半徑b b 5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系22ba 應用大地測量學應用大地測量學a a、b b、e e、ee之間的關(guān)系：之間的關(guān)系： （5-35-3） （5-45-4） （5-55-5）5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系2211ebaeab2211eeeeee222ffe 應用大地測量學應用大地測量學克拉索夫斯基橢球克拉索夫斯基橢球19801980國家大地坐標系國家大地坐標系WGS-84WGS-84a a6378245637824563781406378140637813763781

6、37b b6356863.018776356863.018776356755.288166356755.288166356752.31426356752.3142e2e20.006693421622970.006693421622970.006694384999590.006694384999590.006694379990130.00669437999013e2e20.00673852544680.00673852544680.006739501819470.006739501819470.006739496742270.00673949674227f f1:298.31:298.31:29

7、8.2571:298.2571:298.2572235631:298.257223563幾種橢球幾何參數(shù)幾種橢球幾何參數(shù) 5.1.1 5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式5.1.3 橢球定位橢球定位5.1.2 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 應用大地測量學應用大地測量學垂線偏差垂線偏差地面一點上，鉛垂線方向和相應的橢球面法地面一點上，鉛垂線方向和相應的橢球面法線方向之間

8、的夾角線方向之間的夾角u 。垂線偏差垂線偏差u u的分量的分量子午圈分量子午圈分量 和卯酉圈分量和卯酉圈分量計算公式：計算公式： （5-75-7） （5-85-8）cos)(LBsecLB5.1.2 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 應用大地測量學應用大地測量學 天文方位角與大地方位角之間的關(guān)系式：天文方位角與大地方位角之間的關(guān)系式： （5-145-14） （5-155-15） 以上公式稱為以上公式稱為拉普拉斯方程式拉普拉斯方程式。 sin)(LAtanA5.1.2 5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式 應用大地測量學應用大地測量學 橢球短軸與地球某一固定歷

9、元的地軸不平行，起始大橢球短軸與地球某一固定歷元的地軸不平行，起始大地子午面和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生地子午面和起始天文子午面也不平行，將產(chǎn)生歐拉角歐拉角，設(shè)，設(shè)為為 。此時垂線偏差公式（。此時垂線偏差公式（5-85-8）及拉普拉斯方）及拉普拉斯方程式（程式（5-155-15）擴展為：）擴展為：（5-165-16） 上式稱為廣義垂線偏差和拉普拉斯方程。上式稱為廣義垂線偏差和拉普拉斯方程。ZYX,ZYXAL0secsinseccos1tansincos0cossintansecB5.1 5.1 地球橢球及其定位地球橢球及其定位 應用大地測量學應用大地測量學5.1.1 橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系

10、橢球的幾何參數(shù)及其關(guān)系5.1.2 垂線偏差及其基本公式垂線偏差及其基本公式5.1.3 橢球定位橢球定位5.1.3 5.1.3 橢球定位橢球定位 應用大地測量學應用大地測量學 橢球定位橢球定位將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置將一定參數(shù)的橢球與大地體的相關(guān)位置固定下來，確定測量計算基準面的具體位置和大地測量起固定下來，確定測量計算基準面的具體位置和大地測量起算數(shù)據(jù)。算數(shù)據(jù)。 包括：定位和定向兩方面。定位是指確定橢球中心的包括：定位和定向兩方面。定位是指確定橢球中心的位置，定向是指確定該橢球坐標軸的指向。從數(shù)學上講就位置，定向是指確定該橢球坐標軸的指向。從數(shù)學上講就是要確定三個平移參數(shù)是要確定三個

11、平移參數(shù) 和三個旋轉(zhuǎn)角和三個旋轉(zhuǎn)角度度 。 橢球定位三個條件：橢球定位三個條件：（1 1）橢球短軸與某一指定歷元的地球橢球自轉(zhuǎn)軸平行；）橢球短軸與某一指定歷元的地球橢球自轉(zhuǎn)軸平行；（2 2）起始大地子午面與起始天文子午面相平行；）起始大地子午面與起始天文子午面相平行；（3 3）在一定區(qū)域范圍內(nèi)，橢球面與大地水準面（或似大）在一定區(qū)域范圍內(nèi)，橢球面與大地水準面（或似大地水準面）最為密合。地水準面）最為密合。),(000ZYX),(ZYX5.1.3 5.1.3 橢球定位橢球定位 應用大地測量學應用大地測量學 橢球定位通過大地原點的天文觀測實現(xiàn)。對于大地原點：橢球定位通過大地原點的天文觀測實現(xiàn)。對于

12、大地原點：B0= 0-0B0= 0-0L0= 0-0L0= 0-0sec0sec0A0= 0-0A0= 0-0tan0tan0H0= H0H0= H0常常+0+0 初期定位時，初期定位時，00，00，00未知，可取為未知，可取為0 0。稱為。稱為一點定位一點定位。 根據(jù)大地測量和天文測量數(shù)據(jù)，在根據(jù)大地測量和天文測量數(shù)據(jù)，在 條件下，求條件下，求出原點的出原點的00，00，00值。稱為值。稱為多點定位多點定位。第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 第二節(jié)第二節(jié) 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學法截面法截面包含曲面一點法線的平面

13、。包含曲面一點法線的平面。法截線法截線法截面與曲面的截線。法截面與曲面的截線。斜截線斜截線不包含法線的平面與橢球面的截線。不包含法線的平面與橢球面的截線。子午圈子午圈包含短軸的平面與橢球面的交線。包含短軸的平面與橢球面的交線。卯酉圈卯酉圈與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該與橢球面上一點子午圈相垂直的法截線，為該點的卯酉圈。點的卯酉圈。平行圈平行圈垂直于短軸的平面與橢球面的交線。垂直于短軸的平面與橢球面的交線。 應用大地測量學應用大地測量學5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑5.2.4

14、平均曲率半徑平均曲率半徑5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90N=

15、bxrxrra 應用大地測量學應用大地測量學BNrcos5.2.1 5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑 微分幾何中麥尼厄定理：微分幾何中麥尼厄定理： （5-19） （5-26） （5-23） W又稱第一基本緯度函數(shù)，又稱第一基本緯度函數(shù)，V稱為第二基本維度函數(shù)。稱為第二基本維度函數(shù)。VcWaN222221cos1sin1BeVBeW 應用大地測量學應用大地測量學5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公

16、式5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學-dxdrEDCKBBMMdB332)1 (VcWeaM（5-30）5.2.2 5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學表表 M M、N N隨隨B B變化的規(guī)律變化的規(guī)律 B BN NM M說明說明B=0B=0N N0 0=a=aM M0 0= a(1-e= a(1-e2 2) )在赤道上，在赤道上，N N為赤為赤道半徑道半徑a a，M M小于小于赤道半徑赤道半徑a a0 0B90B90aNcaNca(1-ea(1-e2

17、2)Mc)Mc此間此間N N、M M均隨均隨B B的的增大而增大增大而增大B=90B=90在極點，卯酉圈在極點，卯酉圈變?yōu)樽游缛ψ優(yōu)樽游缛?橢球面上任一點處的法截線中，橢球面上任一點處的法截線中，卯酉圈卯酉圈曲率半徑達到曲率半徑達到最大值最大值，而，而子午圈子午圈曲率半徑曲率半徑最小最小。因此，任一點的卯酉圈。因此，任一點的卯酉圈和子午圈的切線方向，就是橢球面在該點的和子午圈的切線方向，就是橢球面在該點的主方向主方向，其曲，其曲率半徑率半徑N和和M稱為該點的主曲率半徑。由于橢球面上任一稱為該點的主曲率半徑。由于橢球面上任一點處的平行圈與卯酉圈有公共切線，所以，點處的平行圈與卯酉圈有公共切線，所

18、以，經(jīng)線和緯線經(jīng)線和緯線上上每一點的切線也都是橢球面在該點主方向。每一點的切線也都是橢球面在該點主方向。 應用大地測量學應用大地測量學5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑5.2.3 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學AMANMNRA22sincosABeNANRA22222coscos1

19、cos15.2.3 5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學 公式（公式（5-33）可以看出，任意方向）可以看出，任意方向A的法截線的法截線曲率半徑曲率半徑RA，不僅與緯度，不僅與緯度B有關(guān)，還與該點的法有關(guān)，還與該點的法截線的大地方位角截線的大地方位角A有關(guān)。法截線的特性：有關(guān)。法截線的特性： （1）相對于主方向?qū)ΨQ位置的法截線具有相）相對于主方向?qū)ΨQ位置的法截線具有相同的曲率半徑。同的曲率半徑。 （2）橢球面上任一點相互垂直的兩個法截線）橢球面上任一點相互垂直的兩個法截線曲率之和為固定值，且等于兩個主方向曲率之和。曲率之和為固定值，且等于兩

20、個主方向曲率之和。 應用大地測量學應用大地測量學5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的法截線曲率半徑5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑5.2.4 5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑 應用大地測量學應用大地測量學2221VcWeaRMNR 應用大地測量學應用大地測量學5.2.1 卯酉圈曲率半徑卯酉圈曲率半徑5.2.2 子午圈曲率半徑子午圈曲率半徑5.2.3 任意方向的法截線曲率半徑任意方向的

21、法截線曲率半徑5.2.4 平均曲率半徑平均曲率半徑5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式5.2 5.2 橢球面上法截線曲率半徑橢球面上法截線曲率半徑5.2.5 5.2.5 曲率半徑的數(shù)值計算公式曲率半徑的數(shù)值計算公式 應用大地測量學應用大地測量學第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 應用大地測量學應用大地測量學5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長計算5.3 5.3 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長計算5.3

22、 5.3 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學1 1、計算、計算B=0B=0到到B B的子午圈弧長的子午圈弧長X X由由M=dXM=dX/dB/dB（5-275-27）得：）得： 將（將（5-375-37） 代入上式，從代入上式，從0 0到到B B積分，可得積分，可得X X?？芍?，?？芍琗 X是是B B的函數(shù)。見的函數(shù)。見公式公式(5-41)(5-41)。 注意注意：將不同的橢球參數(shù)代入得相應的子午圈弧長計將不同的橢球參數(shù)代入得相應的子午圈弧長計算式。算式。5.3.1 5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學2 2、計算已知緯度、計算已

23、知緯度B1B1和和B2B2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長X X（1 1）分別計算）分別計算0 0到到B1B1和和0 0到到B2B2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長X1X1和和X2X2，然后求然后求X=X2-X1X=X2-X1；（2 2）用上述積分式求）用上述積分式求B1B1B2B2之間的子午圈弧長之間的子午圈弧長X X。5.3.1 5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算 應用大地測量學應用大地測量學5.3.1 子午圈弧長計算子午圈弧長計算5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長計算5.3 5.3 橢球面上弧長計算橢球面上弧長計算5.3.2 5.3.2 平行圈弧長計算平行圈弧長計算 應用大地測量

24、學應用大地測量學 平行圈是一個半徑等于平行圈是一個半徑等于 r=Nr=NCOSBCOSB的圓，緯度的圓，緯度B B處經(jīng)度處經(jīng)度L1L1L2L2之間的平行圈弧長之間的平行圈弧長 經(jīng)度差相同，緯度不同的平行圈，弧長不同。緯度越經(jīng)度差相同，緯度不同的平行圈，弧長不同。緯度越高，單位經(jīng)度差點平行圈弧長越短。高，單位經(jīng)度差點平行圈弧長越短。 用于計算中、小比例尺地形圖中兩條子午圈和兩條平用于計算中、小比例尺地形圖中兩條子午圈和兩條平行圈所包圍的橢球面面積。行圈所包圍的橢球面面積。 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 應用大地測量學應用大地測量學5.4.1 相對法截線相對法截線

25、5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學5.4.1 相對法截線相對法截線5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地

26、面觀測距離歸算至橢球面5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面5.4.1 5.4.1 相對法截線相對法截線 應用大地測量學應用大地測量學 CK=NsinB CK=NsinB， （5-225-22）代入（）代入（5-215-21）得：）得：所以：所以： （5-435-43） 上式說點的緯度不同，其法線與短軸的交點到橢球中心上式說點的緯度不同，其法線與短軸的交點到橢球中心之間的距離不等，緯度越高，交點到橢球中心的距離越長。之間的距離不等，緯度越高，交點到橢球中心的距離越長。TWyCPPEEGQQOVOUKKNssBBB+90N

27、=bxrxrraBeNyOCsin)1 (2BNeBeNBNOKsinsin)1 (sin225.4.1 5.4.1 相對法截線相對法截線 應用大地測量學應用大地測量學 設(shè)設(shè)Q1Q1和和Q2Q2兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午兩點既不在同一平行圈上，也不在同一子午圈上，它們的法線圈上，它們的法線Q1n1Q1n1和和Q2n2Q2n2不相交。法截線不相交。法截線Q1m1Q2Q1m1Q2和和Q2m2Q1Q2m2Q1稱為兩點間的稱為兩點間的相對法截線。相對法截線。 正法截線正法截線與與反法截線。一般不重合。反法截線。一般不重合。 應用大地測量學應用大地測量學令令BmBm=45=45，A=45A=

28、45，不同距離，不同距離S S求得的求得的值為：值為： S S 100km 0.042 100km 0.042 60km 0.015 60km 0.015 30km 0.004 30km 0.004 在長距離的測量中，對向觀測所得在長距離的測量中，對向觀測所得3 3個內(nèi)角不能組成個內(nèi)角不能組成閉合三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線閉合三角形，需在兩點間選擇一條單一曲線大地線。大地線。5.4.1 5.4.1 相對法截線相對法截線 應用大地測量學應用大地測量學5.4.1 相對法截線相對法截線5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程5.

29、4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面5.4.2 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 應用大地測量學應用大地測量學1 1、大地線大地線曲面上兩點間的最短曲線。（或：大地線曲面上兩點間的最短曲線。（或：大地線是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處的密切平面都包是曲面上的一條曲線，該曲線上每一點處的密切平面都包含曲面在該點的法線。含曲面在該點的法線。Kddss2211PPPBA線法曲面切平面密切平面31 =

30、BELDK5.4.2 5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征 應用大地測量學應用大地測量學2 2、大地線幾何特征、大地線幾何特征（1 1）一般情況下，曲面上的曲線并不是大地線（如球面）一般情況下，曲面上的曲線并不是大地線（如球面上的小圓）。大地線相當于橢球面上兩點間的最短程曲線。上的小圓）。大地線相當于橢球面上兩點間的最短程曲線。（2 2）大地線與相對法截線間的夾角為）大地線與相對法截線間的夾角為=/3/3。（3 3）大地線與相對法截線間的長度之差甚微，）大地線與相對法截線間的長度之差甚微，600km600km時二時二者之差僅為者之差僅為0.007mm0.007mm。（4 4）兩點位于同一條

31、子午圈上或赤道上，則大地線與子）兩點位于同一條子午圈上或赤道上，則大地線與子午圈、赤道重合。午圈、赤道重合。 應用大地測量學應用大地測量學5.4.1 相對法截線相對法截線5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面5.4.3 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 應用大地測量學應

32、用大地測量學大地線的解析特性大地線的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA與與dSdS的關(guān)系：的關(guān)系： 大地線的三個微分方程：大地線的三個微分方程：21-+cos=rro90KMTNNNLLSPPPPBBBBdddddAdAAA 應用大地測量學應用大地測量學大地線的解析特性大地線的解析特性表述表述dBdB、dLdL、dAdA與與dSdS的關(guān)系：的關(guān)系： 大地線的大地線的克萊勞方程克萊勞方程 ： r rsinAsinA=C=C（C C為常數(shù)）為常數(shù)） 對于橢球面上一大地對于橢球面上一大地線而言，每點處平行圈線而言，每點處平行圈半徑與該點處大地線方半徑與該點處大地線方位角正弦的乘積是一個位角

33、正弦的乘積是一個常數(shù)（常數(shù)（大地線常數(shù)大地線常數(shù)）。）?？藙谌R定理克勞萊定理5.4.3 5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程 應用大地測量學應用大地測量學5.4.1 相對法截線相對法截線5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地

34、面觀測方向歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學1 1、垂線偏差改正、垂線偏差改正11 將地面測站點鉛垂線為基準的觀測方向換算成橢球面將地面測站點鉛垂線為基準的觀測方向換算成橢球面上以法線為準的觀測方向，其改正數(shù)上以法線為準的觀測方向，其改正數(shù)11為：為： （5-515-51）例：例：A=0A=0，tantan=0.01=0.01，=5=5，則，則1=0.051=0.05。 垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點的垂線偏差垂線偏差改正數(shù)的大小主要取決于測站點的垂線偏差和觀測方向的天頂距（或垂

35、直角）。僅在國家一、二等三和觀測方向的天頂距（或垂直角）。僅在國家一、二等三角測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。角測量計算中，才規(guī)定加入此項改正。 tan)cossin(cot)cossin(1AAzAA 應用大地測量學應用大地測量學 橢球上兩點不在同一子午面或同一平行圈上，過兩點多法線不共橢球上兩點不在同一子午面或同一平行圈上，過兩點多法線不共面，照準點面，照準點 B B高出橢球面某一高度高出橢球面某一高度 H2H2，使得在，使得在A A點照準點照準B B點的法截線點的法截線AbAb與與AbAb之間有一夾角之間有一夾角22。 （5-525-52）B2 B2 照準點的大地緯度；照準點的大地緯度；

36、A1 A1 測站點至照準點的大地方位角；測站點至照準點的大地方位角；H2 H2 照準點高出橢球面的高程；照準點高出橢球面的高程；M1 M1 測站點子午圈曲率半徑。測站點子午圈曲率半徑。例：例：A1=45A1=45，B2=45B2=45，H2=2000mH2=2000m，1=0.11=0.1局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。局部地區(qū)的控制測量一般不必考慮此項改正。 5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學 將橢球面上法截線方向換算為大地線方向?qū)E球面上法截線方向換算為大地線方向所加的為截面差改正數(shù)所加的為截面差改正數(shù)33。例：例

37、：A1=45A1=45，BmBm=45=45，S=30km 3=0.001S=30km 3=0.001 截面差改正主要與測站點至照準點間的距截面差改正主要與測站點至照準點間的距離有關(guān)。只有在國家一等三角測量計算中，才離有關(guān)。只有在國家一等三角測量計算中，才進行改正。進行改正。 5.4.4 5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學5.4.1 相對法截線相對法截線5.4.2 大地線及其特征大地線及其特征5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面5.4.5 地面觀測距離

38、歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面5.4.5 5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面 應用大地測量學應用大地測量學設(shè)設(shè)A A、B B兩點的大地高分別為兩點的大地高分別為H1H1為為H2H2，h=H2-H1h=H2-H1，d d為空間直線長。為空間直線長。由三角形由三角形AOBAOB按余弦公式可得：按余弦公式可得： 弦長弦長 （5-555-55） （4-284-28）（）（4-314-31）弧長弧長 應用大地測量學應用大地測量學5.4.1 相對法截線相對法截線5

39、.4.2 大地線及其特征大地線及其特征5.4.3 大地線微分方程和克萊勞方程大地線微分方程和克萊勞方程5.4.4 地面觀測方向歸算至橢球面地面觀測方向歸算至橢球面5.4.5 地面觀測距離歸算至橢球面地面觀測距離歸算至橢球面5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算5.4 5.4 地面觀測值歸算至橢球面地面觀測值歸算至橢球面5.4.6 5.4.6 橢球面上的三角形解算橢球面上的三角形解算 應用大地測量學應用大地測量學目的目的將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解將方向觀測值和起算邊長歸算到橢球面上后，在橢球面上解算未知邊長。算未知邊長。方法一：按球面三角形解算公式：方法一

40、：按球面三角形解算公式： 方法二：方法二：（勒讓德定理）（勒讓德定理）將球面三角形改化為對應邊相等的平面三角將球面三角形改化為對應邊相等的平面三角形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。形，按平面三角公式解算三角形求得球面邊長。球面三角形球面角超球面三角形球面角超 =（A0+B0+C0A0+B0+C0）-180-180= =/R/R2 2，為三為三角形面積。角形面積。 A1=A0-/3A1=A0-/3， B1=B0-/3B1=B0-/3，C1=C0-/3C1=C0-/3。 第五章第五章 地球橢球及橢球面上的計算地球橢球及橢球面上的計算 應用大地測量學應用大地測量學5.5.1 概述概述5.5.

41、2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應用大地測量學應用大地測量學5.5.1 概述概述5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算5.5.1 5.5.1 概述概述 應用大地測量學應用大地測量學 大地問題正解大地問題正解已知已知P1P1點大地坐標（點大地坐標（B1B1，L1L1）、）、P1P2P1

42、P2大地線長大地線長S S和大地方位角和大地方位角A1A1，推求推求P2P2點大地坐標（點大地坐標（B2B2，L2L2）和大地方位角和大地方位角A2A2。 大地問題反解大地問題反解已知已知P1P2P1P2兩點的大地坐標（兩點的大地坐標（B1B1，L1L1）、（）、（B2B2，L2L2）反算）反算P1P2P1P2的的大地線長大地線長S S和大地方位角和大地方位角A1A1、A2A2。 應用大地測量學應用大地測量學 1 1、按、按解算的距離解算的距離分為：短距離（分為：短距離（400km)400km)、中距離、中距離（4004001000km)1000km)和長距離（和長距離（10001000200

43、0km)2000km)的解算。的解算。 2 2、按、按解算形式解算形式分為：直接解法和間接解法分為：直接解法和間接解法 直接解法直接解法直接解求點直接解求點B B、A A和相鄰起算點的大和相鄰起算點的大地經(jīng)差。地經(jīng)差。 間接解法間接解法先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角先求大地經(jīng)差、緯差和大地方位角差，再加入到已知點的相應大地數(shù)據(jù)中。主要用于短差，再加入到已知點的相應大地數(shù)據(jù)中。主要用于短距離大地問題的解算。距離大地問題的解算。 5.5.1 5.5.1 概述概述 應用大地測量學應用大地測量學 3 3、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適、高斯平均引數(shù)大地問題解算公式（間接解法，適用于短距離）

44、。用于短距離）。 基本思路：基本思路： a a、按照平均引數(shù)展開的泰勒級數(shù)把大地線兩端點、按照平均引數(shù)展開的泰勒級數(shù)把大地線兩端點的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長的經(jīng)差、緯差和方位角差各表示為大地線長S S的冪級數(shù)；的冪級數(shù)； b b、利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導數(shù)，、利用大地線微分方程推求冪級數(shù)中各階導數(shù)，最終得到大地問題解算公式。最終得到大地問題解算公式。 5.5.1 5.5.1 概述概述 應用大地測量學應用大地測量學5.5.1 概述概述5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式

45、5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算 應用大地測量學應用大地測量學 按照泰勒級數(shù)將按照泰勒級數(shù)將P1P1和和P2P2兩點的緯差兩點的緯差b b、經(jīng)差、經(jīng)差l l和方位和方位角差角差展開成為大地線長度展開成為大地線長度S S的冪級數(shù)，成為的冪級數(shù)，成為勒讓德級勒讓德級數(shù)式數(shù)式。 公式（公式（5-635-63） 公式（公式（5-695-69） 公式（公式（5-705-70） 公式（公式（5-715-71）5.5.2 5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式 應用大地測量學應用大地測量學5.5.1 概述概述5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引

46、數(shù)正解公式5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算5.5.3 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 應用大地測量學應用大地測量學 首先把勒讓德級數(shù)在首先把勒讓德級數(shù)在P1P1點展開改為在點展開改為在大地線長度中大地線長度中點點M M展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少、收斂快、精度高；展開，以使級數(shù)公式項數(shù)減少、收斂快、精度高； 其次，考慮到求定中點其次，考慮到求定中點M M的復雜性，將的復雜性，將M M點用大地線點用大地線兩端的兩端的平均緯度及平均方位角相對應的平均緯度及平均方位角相對應的m m點點來代替，并來代替，并

47、借助迭代計算，便可順利的實現(xiàn)大地問題的正解。借助迭代計算，便可順利的實現(xiàn)大地問題的正解。 應用大地測量學應用大地測量學1 1、經(jīng)差、經(jīng)差l l、緯差、緯差b b、方位角差、方位角差a a是是S S的函數(shù)，故可以將其的函數(shù)，故可以將其展為展為S S的泰勒級數(shù)（按平均引數(shù)在的泰勒級數(shù)（按平均引數(shù)在 S/2S/2處展為處展為S S的冪級的冪級數(shù)）。數(shù)）。2 2、引入大地線兩端點的平均緯度和平均方位角，將、引入大地線兩端點的平均緯度和平均方位角，將dL/dSdL/dS以以BmBm、AmAm按泰勒級數(shù)展開。按泰勒級數(shù)展開。3 3、根據(jù)大地線微分方程求泰勒級數(shù)中的系數(shù)。、根據(jù)大地線微分方程求泰勒級數(shù)中的系

48、數(shù)。4 4、將系數(shù)代入平均引數(shù)公式。、將系數(shù)代入平均引數(shù)公式。5 5、由于、由于B2B2、A2A2未知，未知，BmBm、AmAm精確值未知，可通過逐次精確值未知，可通過逐次趨近法求出。一般三次即可。趨近法求出。一般三次即可。 5.5.3 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 應用大地測量學應用大地測量學一般公式：一般公式： 公式（公式（5-895-89）實用公式：實用公式：距離小于距離小于70km70km時，采用簡化公式：時，采用簡化公式：公式（公式（5-905-90） 5.5.3 5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式 應用大地測量學應用大地測量學5.5.1 概

49、述概述5.5.2 勒讓德級數(shù)式勒讓德級數(shù)式5.5.3 高斯平均引數(shù)正解公式高斯平均引數(shù)正解公式5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式5.5 5.5 橢球面上大地問題解算橢球面上大地問題解算5.5.4 5.5.4 高斯平均引數(shù)反解公式高斯平均引數(shù)反解公式 應用大地測量學應用大地測量學1 1、已知兩點間的緯差、已知兩點間的緯差b b、經(jīng)差、經(jīng)差l l和平均緯度和平均緯度BmBm，導出，導出 SsinAmSsinAm和和 ScosAmScosAm，求，求aa。2 2、由、由SsinAmSsinAm、ScosAmScosAm和和 a a計算計算S S和和A1A1、A2A2。公式公式（5-

50、935-93）、（）、（5-965-96）第五章 復習思考題1。名詞定義：地球橢球、橢球定位、法截線、。名詞定義：地球橢球、橢球定位、法截線、子午圈、卯酉圈、相對法截線、大地線、垂線子午圈、卯酉圈、相對法截線、大地線、垂線偏差改正、標高差改正、截面差改正、大地問偏差改正、標高差改正、截面差改正、大地問題正解、大地問題反解。題正解、大地問題反解。2。寫出。寫出N、M、R及子午圈弧長、平行圈弧長及子午圈弧長、平行圈弧長的計算公式，說明式中符號的意義。的計算公式，說明式中符號的意義。3。大地線微分方程的意義。大地線微分方程的意義。4。地面觀測值（方向、距離）歸算至橢球面。地面觀測值（方向、距離）歸算至橢球面應加哪些改正？應加哪些改正？第五章第五章 習題習題1。已知圖幅。已知圖幅I-50-67中中A、B點的大地緯度點的大地緯度B=3420、34，求相應的，求相應的M、N、R。2。計算圖幅。計算圖幅I-50-67圖廓長度圖廓長度。117001173034003420342011700117303400I-50-67ABCD