同濟大學(xué)高等數(shù)學(xué)第四篇無窮級數(shù)[共48頁]

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1、第四篇 無窮級數(shù)第七章 無窮級數(shù) 無窮級數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容，它以極限理論為基礎(chǔ)，是研究函數(shù)的性質(zhì)及進行數(shù)值計算方面的重要工具. 本章首先討論常數(shù)項級數(shù)，介紹無窮級數(shù)的一些基本概念和基本內(nèi)容，然后討論函數(shù)項級數(shù)，著重討論如何為將函數(shù)展開成冪級數(shù)和三角級數(shù)的問題，最后介紹工程中常用的傅里葉級數(shù).第1節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的概念與性質(zhì)1.1常數(shù)項級數(shù)的概念一般的，給定一個數(shù)列 則由這數(shù)列構(gòu)成的表達式叫做（常數(shù)項）無窮級數(shù), 簡稱（常數(shù)項）級數(shù), 記為, 即,其中第項叫做級數(shù)的一般項.作級數(shù)的前項和稱為級數(shù)的部分和. 當n依次取1,2,3時，它們構(gòu)成一個新的數(shù)列，根據(jù)這個數(shù)列有沒有極限，我們引進無窮級

2、數(shù)的收斂與發(fā)散的概念。 定義 如果級數(shù)的部分和數(shù)列有極限, 即, 則稱無窮級數(shù)收斂, 這時極限叫做這級數(shù)的和, 并寫成;如果沒有極限, 則稱無窮級數(shù)發(fā)散.當級數(shù)收斂時, 其部分和是級數(shù)的和的近似值, 它們之間的差值叫做級數(shù)的余項.例1 討論等比級數(shù)（幾何級數(shù)）(a0)的斂散性.解 如果, 則部分和.當時, 因為, 所以此時級數(shù)收斂, 其和為. 當時, 因為, 所以此時級數(shù)發(fā)散. 如果, 則當時, , 因此級數(shù)發(fā)散; 當時, 級數(shù)成為,因為隨著為奇數(shù)或偶數(shù)而等于或零, 所以的極限不存在, 從而這時級數(shù)發(fā)散. 綜上所述, 如果, 則級數(shù)收斂, 其和為; 如果, 則級數(shù)發(fā)散. 例2 判別無窮級數(shù)的收

3、斂性. 解 由于,因此,而 ，故該級數(shù)發(fā)散.例3 判別無窮級數(shù)的收斂性. 解 因為 ,所以 ,從而,所以這級數(shù)收斂, 它的和是1. 1.2 收斂級數(shù)的基本性質(zhì)根據(jù)無窮級數(shù)收斂、發(fā)散的概念，可以得到收斂級數(shù)的基本性質(zhì). 性質(zhì)1如果級數(shù)收斂于和, 則它的各項同乘以一個常數(shù)所得的級數(shù)也收斂, 且其和為. 證明 設(shè)與的部分和分別為與, 則,這表明級數(shù)收斂, 且和為. 性質(zhì)2 如果級數(shù)、分別收斂于和、, 則級數(shù)也收斂, 且其和為.證明 如果、的部分和分別為、， 則 . 性質(zhì)3 在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項, 不會改變級數(shù)的收斂性. 比如, 級數(shù)是收斂的; 級數(shù)也是收斂的; 級數(shù)也是收斂的. 性質(zhì)4 如

4、果級數(shù)收斂, 則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂, 且其和不變. 應(yīng)注意的問題: 如果加括號后所成的級數(shù)收斂, 則不能斷定去括號后原來的級數(shù)也收斂. 例如, 級數(shù)（1-1)+（1-1) + 收斂于零, 但級數(shù)1-1+1-1+ 卻是發(fā)散的. 推論 如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散, 則原來級數(shù)也發(fā)散. 性質(zhì)5 如果收斂, 則它的一般項趨于零, 即. 證明 設(shè)級數(shù)的部分和為, 且, 則. 注: 級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件.例6 證明調(diào)和級數(shù)是發(fā)散的. 證明 假若級數(shù)收斂且其和為, 是它的部分和. 顯然有及. 于是. 但另一方面, ,故, 矛盾. 這矛盾說明級數(shù)必定發(fā)散. 習(xí)題7-

5、11. 寫出下列級數(shù)的前四項: （1） ； （2）.2. 寫出下列級數(shù)的一般項（通項）: （1） ； （2）； （3）. 3. 根據(jù)級數(shù)收斂性的定義，判斷下列級數(shù)的斂散性: （1） ; （2）.4. 判斷下列級數(shù)的斂散性: （1） ; （2）; （3） （4）.第2節(jié) 常數(shù)項級數(shù)的收斂法則2.1 正項級數(shù)及其收斂法則現(xiàn)在我們討論各項都是正數(shù)或零的級數(shù)，這種級數(shù)稱為正項級數(shù).設(shè)級數(shù) （7-2-1）是一個正項級數(shù)，它的部分和為.顯然，數(shù)列是一個單調(diào)增加數(shù)列，即： 如果數(shù)列有界，即總不大于某一常數(shù)，根據(jù)單調(diào)有界的數(shù)列必有極限的準則，級數(shù)（7-2-1）必收斂于和，且. 反之，如果正項級數(shù)（7-2-1）

6、收斂于和.根據(jù)有極限的數(shù)列是有界數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列有界. 因此，有如下重要結(jié)論：定理 1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界.定理2 (比較審斂法) 設(shè)和都是正項級數(shù), 且 . 若級數(shù)收斂, 則級數(shù)收斂; 反之, 若級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)發(fā)散.證明 設(shè)級數(shù)收斂于和, 則級數(shù)的部分和即部分和數(shù)列有界, 由定理1知級數(shù)收斂. 反之, 設(shè)級數(shù)發(fā)散, 則級數(shù)必發(fā)散. 因為若級數(shù)收斂, 由上已證明的結(jié)論, 將有級數(shù)也收斂, 與假設(shè)矛盾.推論 設(shè)和都是正項級數(shù), 如果級數(shù)收斂, 且存在自然數(shù)N, 使當時有成立, 則級數(shù)收斂; 如果級數(shù)發(fā)散, 且當時有成立, 則級數(shù)發(fā)散.例1 討論p-級數(shù)的收斂性

7、, 其中常數(shù). 解 設(shè). 這時, 而調(diào)和級數(shù)發(fā)散, 由比較審斂法知, 當時級數(shù)發(fā)散. 設(shè). 此時有.對于級數(shù), 其部分和.因為. 所以級數(shù)收斂. 從而根據(jù)比較審斂法的推論1可知, 級數(shù)當時收斂. 綜上所述, p-級數(shù)當時收斂, 當時發(fā)散.例2 證明級數(shù)是發(fā)散的. 證明 因為, 而級數(shù)是發(fā)散的, 根據(jù)比較審斂法可知所給級數(shù)也是發(fā)散的.定理3 （比較審斂法的極限形式) 設(shè)和都是正項級數(shù), 如果, 則級數(shù)和級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散. 證明 由極限的定義可知, 對, 存在自然數(shù)N, 當時, 有不等式, 即. 再根據(jù)比較審斂法的推論1, 即得所要證的結(jié)論.例3 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為, 而級數(shù)發(fā)散,

8、 根據(jù)比較審斂法的極限形式, 級數(shù)發(fā)散.用比較審斂法審斂時，需要適當?shù)剡x取一個已知其收斂性的級數(shù)作為比較的基準.最常選用做基準級數(shù)的是等比級數(shù)和p-級數(shù).定理4 (比值審斂法, 達朗貝爾判別法) 若正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于，即,則當時級數(shù)收斂;當 (或)時級數(shù)發(fā)散; 當時級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.例4 判別級數(shù)收斂性. 解 因為,根據(jù)比值審斂法可知，所給級數(shù)收斂.例5 判別級數(shù)的收斂性.解 因為,根據(jù)比值審斂法可知,所給級數(shù)發(fā)散.定理5 (根值審斂法, 柯西判別法) 設(shè)是正項級數(shù), 如果它的一般項的n次根的極限等于，即,則當時級數(shù)收斂; 當 (或)時級數(shù)發(fā)散; 當時級數(shù)可能收斂也可能

9、發(fā)散.定理6（極限審斂法）設(shè)為正項級數(shù)， （1）如果（或），則級數(shù)發(fā)散； （2）如果，而（），則級數(shù)收斂.證明 （1）在極限形式的比較審斂法中，取，由調(diào)和級數(shù)發(fā)散，知結(jié)論成立. （2）在極限形式的比較審斂法中，取，當時，p-級數(shù)收斂，故結(jié)論成立.例6 判定級數(shù)的收斂性.解 因，故，根據(jù)極限審斂法，知所給級數(shù)收斂.2.2 交錯級數(shù)及其審斂法則下列形式的級數(shù)稱為交錯級數(shù). 交錯級數(shù)的一般形式為, 其中.定理7（萊布尼茨定理）如果交錯級數(shù)滿足條件: (1) ; (2) , 則級數(shù)收斂, 且其和, 其余項的絕對值.證明 設(shè)前項部分和為，由,及，看出數(shù)列單調(diào)增加且有界, 所以收斂. 設(shè), 則也有,所以，

10、從而級數(shù)是收斂的, 且. 因為|也是收斂的交錯級數(shù), 所以.2.3 絕對收斂與條件收斂對于一般的級數(shù)：若級數(shù)收斂，則稱級數(shù)絕對收斂；若級數(shù)收斂， 而級數(shù)發(fā)散, 則稱級數(shù)條件收斂.級數(shù)絕對收斂與級數(shù)收斂有如下關(guān)系：定理8 如果級數(shù)絕對收斂, 則級數(shù)必定收斂.證明 令 .顯然且 .因級數(shù)收斂，故由比較審斂法知道，級數(shù)，從而級數(shù)也收斂.而，由收斂級數(shù)的基本性質(zhì)可知：，所以級數(shù)收斂.定理8表明，對于一般的級數(shù)，如果我們用正項級數(shù)的審斂法判定級數(shù)收斂，則此級數(shù)收斂.這就使得一大類級數(shù)的收斂性判定問題，轉(zhuǎn)化成為正項級數(shù)的收斂性判定問題.一般來說，如果級數(shù)發(fā)散, 我們不能斷定級數(shù)也發(fā)散. 但是, 如果我們用

11、比值法或根值法判定級數(shù)發(fā)散, 則我們可以斷定級數(shù)必定發(fā)散. 這是因為, 此時|un|不趨向于零, 從而也不趨向于零, 因此級數(shù)也是發(fā)散的.例7 判別級數(shù)的收斂性. 解 因為|, 而級數(shù)是收斂的, 所以級數(shù)也收斂, 從而級數(shù)絕對收斂. 例8 判別級數(shù)（為常數(shù)）的收斂性. 解 因為,所以當時，級數(shù)均收斂；當時，級數(shù)絕對收斂；當時，級數(shù)發(fā)散.習(xí)題7-21. 用比較審斂法判定下列級數(shù)的收斂性： （1）； （2）； （3） ； （4）； （5）.2. 用比值審斂法判定下列級數(shù)的斂散性: （1）; （2）; （3） ; （4）.3. 判定下列級數(shù)的斂散性: （1）; （2）; （3） ; （4）; （5）

12、.4. 判定下列級數(shù)是否收斂？若收斂，是絕對收斂還是條件收斂？ （1）; （2）; （3） ; （4）.第3節(jié) 冪級數(shù)3.1 函數(shù)項級數(shù)的概念 給定一個定義在區(qū)間I 上的函數(shù)列, 由這函數(shù)列構(gòu)成的表達式,稱為定義在區(qū)間上的(函數(shù)項)級數(shù), 記為.對于區(qū)間內(nèi)的一定點, 若常數(shù)項級數(shù)收斂, 則稱點是級數(shù)的收斂點. 若常數(shù)項級數(shù)發(fā)散, 則稱點是級數(shù)的發(fā)散點. 函數(shù)項級數(shù)的所有收斂點的全體稱為它的收斂域, 所有發(fā)散點的全體稱為它的發(fā)散域. 在收斂域上, 函數(shù)項級數(shù)的和是的函數(shù), 稱為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù), 并寫成. 函數(shù)項級數(shù)的前項的部分和記作, 即.在收斂域上有.函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)與部分和的差叫做函數(shù)

13、項級數(shù)的余項. 并有.3.2 冪級數(shù)及其收斂性函數(shù)項級數(shù)中簡單而常見的一類級數(shù)就是各項都是冪函數(shù)的函數(shù)項級數(shù), 這種形式的級數(shù)稱為冪級數(shù), 它的形式是,其中常數(shù)叫做冪級數(shù)的系數(shù).定理1（阿貝爾定理) 對于級數(shù)，當時收斂, 則適合不等式的一切x使這冪級數(shù)絕對收斂. 反之, 如果級數(shù)當時發(fā)散, 則適合不等式的一切使這冪級數(shù)發(fā)散.證 先設(shè)是冪級數(shù)的收斂點, 即級數(shù)收斂. 根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件,有, 于是存在一個常數(shù), 使.這樣級數(shù)的的一般項的絕對值.因為當時, 等比級數(shù)收斂, 所以級數(shù)收斂, 也就是級數(shù)絕對收斂. 定理的第二部分可用反證法證明. 倘若冪級數(shù)當時發(fā)散而有一點適合使級數(shù)收斂, 則根據(jù)本

14、定理的第一部分, 級數(shù)當時應(yīng)收斂, 這與所設(shè)矛盾. 定理得證.推論 如果級數(shù)不是僅在點一點收斂, 也不是在整個數(shù)軸上都收斂, 則必有一個完全確定的正數(shù)存在, 使得 當時, 冪級數(shù)絕對收斂; 當時, 冪級數(shù)發(fā)散; 當與時, 冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.正數(shù)通常叫做冪級數(shù)的收斂半徑. 開區(qū)間叫做冪級數(shù)的收斂區(qū)間. 再由冪級數(shù)在處的收斂性就可以決定它的收斂域. 冪級數(shù)的收斂域是或、之一.若冪級數(shù)只在收斂, 則規(guī)定收斂半徑 , 若冪級數(shù)對一切都收斂, 則規(guī)定收斂半徑, 這時收斂域為.定理2 如果, 其中、是冪級數(shù)的相鄰兩項的系數(shù), 則這冪級數(shù)的收斂半徑.證明 . (1) 如果, 則只當時冪級數(shù)收斂, 故

15、. (2) 如果, 則冪級數(shù)總是收斂的, 故. (3) 如果, 則只當時冪級數(shù)收斂, 故.例1 求冪級數(shù) 的收斂半徑與收斂域. 解 因為,所以收斂半徑為. 即收斂區(qū)間為. 當時, 有，由于級數(shù)收斂，所以 級數(shù)在時也收斂.因此, 收斂域為. 例2 求冪級數(shù)=的收斂域. 解 因為,所以收斂半徑為, 從而收斂域為. 例3 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 因為,所以收斂半徑為, 即級數(shù)僅在處收斂. 例4 求冪級數(shù)的收斂半徑. 解 級數(shù)缺少奇次冪的項, 定理2不能應(yīng)用. 可根據(jù)比值審斂法來求收斂半徑: 冪級數(shù)的一般項記為. 因為,當即時級數(shù)收斂; 當即時級數(shù)發(fā)散, 所以收斂半徑為.3.3 冪級數(shù)的運算設(shè)冪級數(shù)

16、及分別在區(qū)間及內(nèi)收斂, 則在與中較小的區(qū)間內(nèi)有加法: .減法: .乘法: . 除法: 關(guān)于冪級數(shù)的和函數(shù)有下列重要性質(zhì)：性質(zhì)1 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上連續(xù).性質(zhì)2 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂域上可積, 并且有逐項積分公式,逐項積分后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.性質(zhì)3 冪級數(shù)的和函數(shù)在其收斂區(qū)間內(nèi)可導(dǎo), 并且有逐項求導(dǎo)公式 ,逐項求導(dǎo)后所得到的冪級數(shù)和原級數(shù)有相同的收斂半徑.例6 求冪級數(shù)的和函數(shù). 解 求得冪級數(shù)的收斂域為. 設(shè)和函數(shù)為, 即, .顯然. 在的兩邊求導(dǎo)得：.對上式從到積分, 得.于是, 當時, 有. 從而. 提示: 應(yīng)用公式, 即. .習(xí)題7-31求下列冪級數(shù)的收斂

17、區(qū)間 （1） ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8）.2. 利用逐項求導(dǎo)法或逐項積分法，求下列級數(shù)的和函數(shù) （1） ; （2）.第4節(jié) 函數(shù)展開成冪級數(shù)4.1函數(shù)展開成冪級數(shù)給定函數(shù), 要考慮它是否能在某個區(qū)間內(nèi)“展開成冪級數(shù)”, 就是說, 是否能找到這樣一個冪級數(shù), 它在某區(qū)間內(nèi)收斂, 且其和恰好就是給定的函數(shù). 如果能找到這樣的冪級數(shù), 我們就說,函數(shù)能展開成冪級數(shù), 而該級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)就表達了函數(shù).如果在點的某鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù) ，則當時, 在點的泰勒多項式成為冪級數(shù)這一冪級數(shù)稱為函數(shù)的泰勒級數(shù).顯然, 當時,的泰勒級數(shù)收斂于. 需要解決的問題: 除了外

18、, 的泰勒級數(shù)是否收斂? 如果收斂, 它是否一定收斂于? 定理 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)具有各階導(dǎo)數(shù), 則在該鄰域內(nèi)能展開成泰勒級數(shù)的充分必要條件是的泰勒公式中的余項當時的極限為零, 即 . 證明 先證必要性. 設(shè)在內(nèi)能展開為泰勒級數(shù), 即 , 又設(shè)是的泰勒級數(shù)的前項的和,則在內(nèi).而的階泰勒公式可寫成，于是. 再證充分性. 設(shè)對一切成立. 因為的階泰勒公式可寫成, 于是，即的泰勒級數(shù)在內(nèi)收斂, 并且收斂于.在泰勒級數(shù)中取, 得,此級數(shù)稱為的麥克勞林級數(shù).要把函數(shù)展開成的冪級數(shù)，可以按照下列步驟進行：第一步 求出的各階導(dǎo)數(shù): . 第二步 求函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在處的值: .第三步 寫出冪級數(shù),并求出收

19、斂半徑R. 第四步 考察在區(qū)間(內(nèi)時是否. 是否為零. 如果, 則在內(nèi)有展開式.例1 試將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 所給函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)為, 因此.得到冪級數(shù),該冪級數(shù)的收斂半徑. 由于對于任何有限的數(shù)(介于0與之間), 有,而, 所以, 從而有展開式 .例2 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 因為, 所以順序循環(huán)地取, 于是得級數(shù),它的收斂半徑為. 對于任何有限的數(shù)(介于0與之間), 有 .因此得展開式 .例3 將函數(shù)展開成x的冪級數(shù), 其中為任意常數(shù). 解 的各階導(dǎo)數(shù)為所以 且于是得冪級數(shù).以上例題是直接按照公式計算冪級數(shù)的系數(shù)，最后考察余項是否趨于零.這種直接展開的方法計算量較大，而且研究余項即

20、使在初等函數(shù)中也不是一件容易的事.下面介紹間接展開的方法，也就是利用一些已知的函數(shù)展開式，通過冪級數(shù)的運算以及變量代換等，將所給函數(shù)展開成冪級數(shù).這樣做不但計算簡單，而且可以避免研究余項.例4 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 已知.對上式兩邊求導(dǎo)得.例5 將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 解 因為, 而是收斂的等比級數(shù)的和函數(shù): .所以將上式從0到逐項積分, 得 .上述展開式對也成立, 這是因為上式右端的冪級數(shù)當時收斂, 而在處有定義且連續(xù).常用展開式小結(jié): , , , , , 4.2 冪級數(shù)的展開式的應(yīng)用4.2.1 近似計算有了函數(shù)的冪級數(shù)展開式，就可以用它進行近似計算，在展開式有意義的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值可以

21、利用這個級數(shù)近似的按要求計算出來.例6 計算的近似值(誤差不超過). 解 因為, 所以在二項展開式中取, , 即.這個級數(shù)從第二項起是交錯級數(shù)， 如果取前項和作為的近似值, 則其誤差(也叫做截斷誤差)可算得 為了使誤差不超過, 只要取其前兩項作為其近似值即可. 于是有.例7 利用 求的近似值, 并估計誤差. 解 首先把角度化成弧度,(弧度)(弧度),從而 .其次, 估計這個近似值的精確度. 在的冪級數(shù)展開式中令, 得.等式右端是一個收斂的交錯級數(shù), 且各項的絕對值單調(diào)減少. 取它的前兩項之和作為的近似值, 起誤差為.因此取 , .于是得 ，這時誤差不超過.例8 計算定積分的近似值, 要求誤差不

22、超過（?。? 解 將的冪級數(shù)展開式中的換成, 得到被積函數(shù)的冪級數(shù)展開式 .于是, 根據(jù)冪級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)逐項可積, 得 .前四項的和作為近似值, 其誤差為,所以. 例9 計算積分的近似值, 要求誤差不超過. 解 因為.所以對上式逐項積分得 = .上面級數(shù)為交錯級數(shù)，所以誤差，經(jīng)試算，.所以取前三項計算，即.4.2.2 歐拉公式設(shè)有復(fù)數(shù)項級數(shù)為 （7-4-1）其中 為實常數(shù)或?qū)嵑瘮?shù).如果實部所成的級數(shù) （7-4-2）收斂于和，并且虛部所成的級數(shù) （7-4-3）收斂于和，就說級數(shù)（1）收斂且其和為.如果級數(shù)（7-4-1）各項的模所構(gòu)成的級數(shù)收斂，則稱級數(shù)（7-4-1）絕對收斂.如果級數(shù)（1）絕對

23、收斂，由于那么級數(shù)（7-4-2），（7-4-3）絕對收斂，從而級數(shù)（7-4-1）收斂.考察復(fù)數(shù)項級數(shù) （7-4-4）可以證明級數(shù)（7-4-4）在整個復(fù)平面上是絕對收斂的.在軸上它表示指數(shù)函數(shù)，在整個復(fù)平面上我們用它來定義復(fù)變量指數(shù)函數(shù)，記作，于是定義為 （7-4-5）當時，為純虛數(shù)，（7-4-5）式成為 把換寫為，上式變?yōu)?（7-4-6）這就是歐拉公式.應(yīng)用公式（7-4-6），復(fù)數(shù)可以表示為指數(shù)形式： （7-4-7）其中是的模，是的輻角在（7-4-6）式中把換成，又有與（7-4-6）相加、相減，得 （7-4-8）這兩個式子也叫做歐拉公式.（7-4-6）式或（7-4-8）式揭示了三角函數(shù)與復(fù)變量

24、指數(shù)函數(shù)之間的一種聯(lián)系.最后，根據(jù)定義式（7-4-5），并利用冪級數(shù)的乘法，我們不難驗證 .特殊地，取為實數(shù)，為純虛數(shù)，則有這就是說，復(fù)變量指數(shù)函數(shù)在處的值是模為、輻角為的復(fù)數(shù).習(xí)題7-41.將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間： （1） ; （2）;（3）; （4）;（5）; （6）.2.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).3.將函數(shù)展開成的冪級數(shù).4.利用函數(shù)的冪級數(shù)展開式求的近似值（誤差不超過0.0001）5.利用歐拉公式將函數(shù)展開成的冪級數(shù). 第5節(jié) 傅里葉級數(shù)5.1三角級數(shù) 三角函數(shù)系的正交性正弦函數(shù)是一種常見而簡單的周期函數(shù).例如描述簡諧振動的函數(shù),就是一個以為周期的正弦函數(shù)，其中表示

25、動點的位置，表示時間，為振幅，為角頻率，為初相.在實際問題中，除了正弦函數(shù)外，還會遇到非正弦函數(shù)的周期函數(shù)，它們反應(yīng)了較復(fù)雜的周期運動.如電子技術(shù)中常用的周期為的矩形波,就是一個非正弦周期函數(shù)的例子.為了深入研究非正弦周期函數(shù)，聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級數(shù)展開式表示和討論函數(shù),我們也想將周期為的周期函數(shù)用一系列以為周期的正弦函數(shù)組成的級數(shù)來表示，記為 （7-5-1）其中 都是常數(shù).將周期函數(shù)按上述方式展開，它的物理意義是很明確的，這就是把一個比較復(fù)雜的周期運動看作是許多不同頻率的簡諧振動的疊加.在電工學(xué)上，這種展開稱為是諧波分析.其中常數(shù)項稱為是的直流分量；稱為一次諧波；而,依次稱為是二次

26、諧波，三次諧波，等等.為了以后討論方便起見，我們將正弦函數(shù)按三角公式變形，得=+，并且令，則（1）式右端的級數(shù)就可以改寫為 （7-5-2）形如（7-5-2）式的級數(shù)叫做三角級數(shù)，其中都是常數(shù).令（7-5-2）式成為 （7-5-3）這就把以為周期的三角級數(shù)轉(zhuǎn)換為以為周期的三角級數(shù). 下面討論以為周期的三角級數(shù)（7-5-3）.我們首先介紹三角函數(shù)系的正交性. 三角函數(shù)系: （7-5-4） 在區(qū)間上正交，就是指在三角函數(shù)系（7-5-4）中任何不同的兩個函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分等于零，即 , , , , .三角函數(shù)系中任何兩個相同的函數(shù)的乘積在區(qū)間上的積分不等于零, 即 , , .5.2 函數(shù)展開成傅

27、里葉級數(shù) 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 且能展開成三角級數(shù): . （7-5-5）那么系數(shù)與函數(shù)之間存在著怎樣的關(guān)系? 假定三角級數(shù)可逐項積分, 則= 類似地，可得 , , .系數(shù) 叫做函數(shù)的傅里葉系數(shù).由于當時，的表達式正好給出，因此，已得結(jié)果可合并寫成 （7-5-6）將傅里葉系數(shù)代入（5）式右端，所得的三角級數(shù)叫做函數(shù)的傅里葉級數(shù).一個定義在上周期為的函數(shù), 如果它在一個周期上可積, 則一定可以作出的傅里葉級數(shù). 然而, 函數(shù)的傅里葉級數(shù)是否一定收斂? 如果它收斂, 它是否一定收斂于函數(shù)? 一般來說, 這兩個問題的答案都不是肯定的.定理1 （收斂定理, 狄利克雷充分條件) 設(shè)是周期為的周期函數(shù),

28、如果它滿足: 在一個周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個第一類間斷點, 在一個周期內(nèi)至多只有有限個極值點, 則的傅里葉級數(shù)收斂, 并且 當是的連續(xù)點時, 級數(shù)收斂于; 當是的間斷點時, 級數(shù)收斂于.由定理可知，函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)的條件比展開成冪級數(shù)的條件低得多，若記，在上就成立的傅里葉級數(shù)展開式 . （7-5-7）例1 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 它在上的表達式為，將展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點 處不連續(xù), 在其它點處連續(xù), 從而由收斂定理知道的傅里葉級數(shù)收斂, 并且當時收斂于,當時級數(shù)收斂于. 傅里葉系數(shù)計算如下: ; 1-(-1)n .于是的傅里葉級數(shù)展開式為 . 例2 設(shè)

29、是周期為的周期函數(shù), 它在上的表達式為.將展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點 處不連續(xù), 因此, 的傅里葉級數(shù)在處收斂于.在連續(xù)點處級數(shù)收斂于. 傅里葉系數(shù)計算如下: ; . .的傅里葉級數(shù)展開式為 .設(shè)只在上有定義, 我們可以在或外補充函數(shù)的定義, 使它拓廣成周期為的周期函數(shù), 在內(nèi), .按這種方式拓廣函數(shù)的定義域的過程稱為周期延拓.例3 將函數(shù)展開成傅里葉級數(shù). 解 所給函數(shù)在區(qū)間上滿足收斂定理的條件, 并且拓廣為周期函數(shù)時, 它在每一點處都連續(xù), 因此拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)在上收斂于. 傅里葉系數(shù)為: ; ;.于是的傅里葉級數(shù)展開式為.5.3 正弦級數(shù)和余弦

30、級數(shù)對于周期為的函數(shù)，它的傅里葉系數(shù)計算公式為, , , .由于奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分為零，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的積分等于半?yún)^(qū)間上積分的兩倍，因此，當為奇函數(shù)時,是奇函數(shù), 是偶函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為 ,.因此奇函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有正弦項的正弦級數(shù). 當為偶函數(shù)時, 是偶函數(shù), 是奇函數(shù), 故傅里葉系數(shù)為, bn=0 .因此偶數(shù)函數(shù)的傅里葉級數(shù)是只含有余弦項的余弦級數(shù).例4 設(shè)是周期為的周期函數(shù), 它在-p, p)上的表達式為 將展開成傅里葉級數(shù). 解 首先, 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件, 它在點 不連續(xù), 因此的傅里葉級數(shù)在函數(shù)的連續(xù)點收斂于, 在點收斂于. 其次, 若不計), 則是周期

31、為的奇函數(shù). 于是, 而 .的傅里葉級數(shù)展開式為 .設(shè)函數(shù)定義在區(qū)間上并且滿足收斂定理的條件, 我們在開區(qū)間內(nèi)補充函數(shù)的定義, 得到定義在上的函數(shù), 使它在上成為奇函數(shù)(偶函數(shù)). 按這種方式拓廣函數(shù)定義域的過程稱為奇延拓(偶延拓). 限制在上, 有.例5 將函數(shù)分別展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù). 解 先求正弦級數(shù). 為此對函數(shù)進行奇延拓. ,函數(shù)的正弦級數(shù)展開式為.在端點及處, 級數(shù)的和顯然為零, 它不代表原來函數(shù)的值. 再求余弦級數(shù). 為此對進行偶延拓. , .函數(shù)的余弦級數(shù)展開式為 .5.4周期為的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)我們所討論的周期函數(shù)都是以為周期的. 但是實際問題中所遇到的周期函數(shù), 它

32、的周期不一定是. 怎樣把周期為的周期函數(shù)展開成三角級數(shù)呢？ 問題: 我們希望能把周期為的周期函數(shù)展開成三角級數(shù), 為此我們先把周期為的周期函數(shù)變換為周期為的周期函數(shù). 令及, 則是以為周期的函數(shù). 這是因為.于是當 滿足收斂定理的條件時, 可展開成傅里葉級數(shù): ,其中, (n=0, 1, 2, ), .從而有如下定理: 定理2 設(shè)周期為的周期函數(shù)滿足收斂定理的條件, 則它的傅里葉級數(shù)展開式為,其中系數(shù)an , bn 為, . 當為奇函數(shù)時, ,其中. 當為偶函數(shù)時, , 其中 .例6 設(shè)是周期為4的周期函數(shù), 它在上的表達式為(常數(shù)).將展開成傅里葉級數(shù). 解 這里. ;.于是. 例7 將函數(shù)

33、展成周期為4的余弦函數(shù).解 對進行偶延拓. 則, 故 習(xí)題7-51. 下列函數(shù)周期都為，試求其傅里葉級數(shù)展開式： （1） ; （2） .2. 將函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù).3. 將函數(shù) 展開成正弦級數(shù)和余弦級數(shù). 4. 將函數(shù) 展開成傅里葉級數(shù).第6節(jié) 級數(shù)的應(yīng)用6.1級數(shù)在經(jīng)濟上的應(yīng)用6.1.1乘子效應(yīng)設(shè)想聯(lián)邦政府通過一項消減100億美元稅收的法案，假設(shè)每個人將花費這筆額外收入的93%，并把其余的存起來。試估計消減稅收對經(jīng)濟活動的總效應(yīng)。因為消減稅收后人們的收入增加了，億美元將被用于消費。對某些人來說，這些錢變成了額外的收入，它的93%又被用于消費，因此又增加了億美元的消費，這些錢的接受者又將花

34、費它的93%，即又增加了億美元的消費。如此下去，消減稅收后所產(chǎn)生的新的消費的總和由下列無窮級數(shù)給出：這是一個首項為，公比為的幾何級數(shù)，此級數(shù)收斂，它的和為：億美元即消減100億美元的稅收將產(chǎn)生的附加的消費大約為億美元.此例描述了乘子效應(yīng)(the multiplier effect).每人將花費一美元額外收入的比例稱作“邊際消費傾向”(the marginal to consume),記為.在本例中，正如我們上面所討論的，消減稅收后所產(chǎn)生的附加消費的總和為：附加消費的總和=消減稅額 ,消減十二乘以乘子就是它的實際效應(yīng).6.1.2投資費用問題設(shè)初始投資為,年利率為,年重復(fù)一次投資.這樣第一次更新費

35、用的現(xiàn)值為,第二次更新費用的現(xiàn)值為,以此類推,投資費用為下列等比數(shù)列之和： .例1 建鋼橋的費用為元,每隔年需要油漆一次，每次費用為元,橋的期望壽命為年；建造一座木橋的費用為元,每隔年需要油漆一次，每次的費用為元,其期望壽命為年，若年利率為,問建造哪一種橋較為經(jīng)濟？解 根據(jù)題意,橋的費用包括兩部分：建橋費用+油漆費用.對建鋼橋 ;建鋼橋費用為,其中,則.油漆鋼橋費用為.故建鋼橋的總費用的現(xiàn)值為.類似地,建木橋的費用為.油漆木橋費用為.建木橋的總費用的現(xiàn)值為.現(xiàn)假設(shè)價格每年以備份率漲價，年利率為,若某種服務(wù)或項目的現(xiàn)在費用為時,則年后的費用為,其現(xiàn)值為.因此在通貨膨脹的情況下,計算總費用的等比級

36、數(shù)為 .6.2 級數(shù)在工程上的應(yīng)用在土建工程中，常常遇到關(guān)于橢圓周長的計算問題。設(shè)有橢圓，求它的周長.把橢圓方程寫成參數(shù)形式： .記橢圓的離心率為，即：，則橢圓的弧微分 所以橢圓的周長.由于不是初等函數(shù)，不能直接積分，我們用函數(shù)的冪級數(shù)展開式推導(dǎo)橢圓周長的近似公式易得 又因為，從而，由上式得：.于是 ，所以橢圓周長的近似公式為.利用上述方法還可退出橢圓周長的冪級數(shù)展開式，并由此得出更精確的近似計算公式：習(xí)題7-61. 某合同規(guī)定，從簽約之日起由甲方永不停止地每年支付給乙方300萬元人民幣，設(shè)利率為每年5%，分別以（1）年復(fù)利計算利息；（2）連續(xù)復(fù)利計算利息，則該合同的現(xiàn)值等于多少？2. 鋼筋混

37、凝土橢圓薄殼基礎(chǔ)內(nèi)某根橢圓形鋼筋的尺寸為：長半軸為1米，短半軸為米，試求這鋼筋的長度（精確到小數(shù)點后三位）.第七節(jié) Mathematica軟件應(yīng)用7.1無窮級數(shù)之和在MATLAB中使用命令symsum 來對無窮級數(shù)進行求和.該命令的常用格式如表6-1所示，其中s為級數(shù)的一般項.命令格式功能r=symsum(s,a,b)返回默認變量k從a開始到b為止s的和r=symsum(s,a,inf)返回默認變量k從a開始到為止s的和例1 求的一般表達式.解：輸入命令：syms k n;symsum(k2,1,n)輸出結(jié)果為：ans=1/3*(n+1)3-1/2*(n+1)2+1/6*n+1/6輸出結(jié)果比較

38、復(fù)雜，可以簡化一下，輸入命令：simplify(ans)輸出結(jié)果為：ans=1/3*n3+1/2*n2+1/6*n可以再對該結(jié)果進行因式分解，輸入命令：factor(ans)輸出結(jié)果為：ans=1/6*n*(n+1)*(2*n+1)例2.求解 輸入命令：syms k;symsum (k3,1,10)輸出結(jié)果為：ans=3025例3 求.解 輸入命令：syms k;r=symsum(1/sym(k!),0,inf)輸出結(jié)果為：r=exp(1)7.2冪級數(shù)之和設(shè)冪級數(shù)為，可以使用命令symsum(s,n,0,inf)來求出s(x).即symsum命令不僅可以求數(shù)項級數(shù)的和，還可以求冪級數(shù)的和. 例

39、4 求冪級數(shù)解 輸入命令：syms x k ;r=symsum(xk/sym(k!),k,0,inf)輸出結(jié)果為：r=exp(x)例5 求冪級數(shù).解 輸入命令：syms x k ;r=symsum(xk,k,0,inf)輸出結(jié)果為：r=-1/(x-1)總習(xí)題7 (A)1. 判定下列級數(shù)的斂散性: （1） ; （2）.2. 設(shè)正項級數(shù)和都收斂，證明級數(shù)也收斂.3. 判斷下列級數(shù)是絕對收斂或條件收斂: （1） ; （2）; （3）.4. 求下列級數(shù)的收斂區(qū)間: （1）; （2）; （3）.5.求下列函數(shù)的和函數(shù): （1）; （2）; （3）.6. 將下列函數(shù)展開成的冪級數(shù): （1） ; （2）.7

40、.求級數(shù)的和.總習(xí)題7（B）一、選擇題1.（2011、數(shù)學(xué)三）設(shè)是數(shù)列，則下列命題正確的是（ ）A. 若收斂，則收斂 B.若收斂，則收斂C.若收斂，則收斂 D.若收斂，則收斂2.（2009、數(shù)學(xué)一）設(shè)有兩個數(shù)列，若，則 （ ）A.當收斂時，收斂. B.當發(fā)散時，發(fā)散.C.當收斂時，收斂 D. 當發(fā)散時，發(fā)散.3.（2007、數(shù)學(xué)一）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令則下列結(jié)論正確的是（ ）A.若則必收斂 B. 若則必發(fā)散C.若則必收斂 D. 若則必發(fā)散4.（2006、數(shù)學(xué)一）若級數(shù)收斂，則級數(shù)（ ）A. 收斂 B. 收斂C. 收斂 D. 收斂二、解答題1.（2014、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)的收斂域及和函

41、數(shù).2.（2012、數(shù)學(xué)一）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).3.（2011、數(shù)學(xué)一）設(shè)數(shù)列單調(diào)減少，無界，求冪級數(shù)的收斂域.4.（2010、數(shù)學(xué)一）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).5.（2009、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)的收斂半徑.6.（2008、數(shù)學(xué)一）將函數(shù)展開成余弦級數(shù)，并求級數(shù)的和.7.（2007、數(shù)學(xué)三）將函數(shù)展開成的冪級數(shù)，并指出其收斂區(qū)間.8.（2006、數(shù)學(xué)一）將函數(shù)展開成的冪級數(shù).9.（2006、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)的收斂域及和函數(shù).10.（2005、 數(shù)學(xué)一）求冪級數(shù)的收斂區(qū)間與和函數(shù).11.（2005、數(shù)學(xué)三）求冪級數(shù)在區(qū)間內(nèi)的和函數(shù).12(2008、數(shù)學(xué)三) 設(shè)銀行存款的年利率為，并依年復(fù)利計算，某基金會希望通過存款A(yù)萬元實現(xiàn)第一年提取19萬元，第二年提取28萬元，第年提取萬元，并能按此規(guī)律一直提取下去，問A至少應(yīng)為多少萬元？三、證明題1.（2014、數(shù)學(xué)一）設(shè)數(shù)列滿足，且級數(shù)收斂. （1）證明：； （2）證明：級數(shù)收斂.2.（2013、數(shù)學(xué)一）設(shè)數(shù)列滿足條件，是冪級數(shù)的和函數(shù). （1）證明：； （2）求的表達式.48