《橢圓的定義及其標準方程》教學設(shè)計

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1、課題：§2.1.1橢圓的定義及其標準方程 鹿城中學田光海 一、教案背景： 1. 面向?qū)ο螅焊咧卸昙墝W生 2. 學科：數(shù)學 3. 課時：2課時 4. 教學內(nèi)容：高中新課程標準教科書《數(shù)學》北師大版選修1-1第二章圓錐曲線與方 程§2.1.1橢圓及其標準方程 二.教材分析 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時，它是繼學生學習了直線和圓的方程，對曲線和方程的 概念有了一些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步認識的基礎(chǔ)上，進一步學習用坐標 法研究曲線。橢圓的學習可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此 這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點內(nèi)容之一。 1. 教法分析

2、結(jié)合生活經(jīng)驗觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導、探究合作。在學生的生活體驗、直觀感知、知識 儲備的基礎(chǔ)上，引導學生逐步建構(gòu)概念，為學生數(shù)學思想方法的形成打下基礎(chǔ)。利用多媒 體課件,精心構(gòu)建學生自主探究的教學平臺,啟發(fā)引導學生觀察,想象,思考,實踐,從而發(fā)現(xiàn) 規(guī)律、突破學生認知上的困難，讓學生體驗問題解決的思維過程，獲得知識,體驗成功。主 要采用探究實踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合。 2. 學法分析 從知識上看，學生已掌握了一些橢圓圖形的實物與實例，對曲線和方程的概念有了一 些了解，對用坐標法研究幾何問題有了初步的認識。 從學生現(xiàn)有的學習能力看，通過一年多的學習，學生已具備了一定的觀察事物的能力， 積累

3、了一些研究問題的經(jīng)驗，在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語言轉(zhuǎn)換能力。 從學生的學習心理上看，學生頭腦中雖有一些橢圓的實物實例，但并沒有上升為“概 念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學描述?如何“定性”“定量”地描述橢圓是學生關(guān)注的問 題，也是學習的重點問題。他們渴望將感性認識理性化，渴望通過自己動手作圖、觀察來 辨析和完善概念，通過對比產(chǎn)生頓悟，渴望獲得這種學習的積極心向是學生學好本節(jié)課的 情感基礎(chǔ)。 3. 教學目標 知識與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標準方程的推導過程，掌握橢圓標準方程的 兩種形式，會運用待定系數(shù)法求橢圓的標準方程。 過程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型

4、的過程，逐步提高學生的觀察、分析、 歸納、類比、概括能力；通過橢圓標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的一般方法— —坐標法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法。 情感、態(tài)度與價值觀：通過課堂活動參與，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，提高學生審美 情趣，培養(yǎng)學生勇于探索的精神。 4. 教學重點與難點 重點：橢圓的定義和橢圓標準方程的兩種形式難點：橢圓的標準方程的建立和推導教學方法 5.教學準備 通過百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料，利用百度搜索相關(guān)的教學資料制作多媒體課件,自制教具：繪圖板、圖釘、細純。 三、教學過程 教學 劃、節(jié) 教師活動 學生活動 設(shè)計意圖 ，情

5、景1:用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面 引入生活情 上，截面為圓形.當端起水杯喝水時，水杯傾斜，再 境激發(fā)學生 觀察水平面，止匕時截面為橢圓形 E) 的學習欲 問題1:聯(lián)想生活中還啟哪些是橢圓圖形？ 望，自然引 入新課，同 創(chuàng)設(shè) ?2: 問題2:( ：1) 12 11! 圓庭怎么畫出來酌？ 學生觀察 時與其實際 相聯(lián)系，拓 后兄 9*3 學生舉例 寬學生思 引入 新課 (2)圓上 (3)圓上 J定義是什么？” ▼15y G J標準方程是什么形式的？ 學生思考后 回答

6、。 維，發(fā)展他們聯(lián)想、類比能力。 猜想：1、橢圓是怎么畫出來的？2、橢圓的定義是什 么？3、橢圓的標準方程又是什么形式？ 使學生在感 嘆祖國科技 輝煌發(fā)展的 氛圍中認識 橢圓。  用類比的思 想，通過已 經(jīng)學過的圓 的知識猜想 橢圓，開展 后續(xù)教學。 探究1 給學生提供 將圓心從一點“分裂”成兩點，給你兩個圖釘，一根 一個動手操 無彈性的細純，一張紙板，能

7、畫出橢圓嗎？ 同桌同學按 作，合作學 讓學生自己動手畫圖，使其探究性學習，再提出 照老師的要 習的機會； 以下問題： 求合作畫 通過實驗讓 圖，并思考 學生去探究 互動 思考1:在紙板上作圖說明什么？ 軌跡上的點 “滿足什么 探究 思考2:在作圖過程中，有哪些物體的位置沒變？ 具備什么特 樣的條件下 形成 有哪些量沒肩變？ 點。 的點的集合 概念 展示學生成 為橢圓”； 思考3:若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬ξ恢茫玫降膱D形 果。請學生 讓每個人都 后何義化？ 代表本小組 動手畫圖， 根據(jù)橢圓圓法，從中歸納橢

8、圓定義一一與兩個定點的 交流探究結(jié) 自己思考問 跑離之和為定長（結(jié)長）的點的軌跡為橢圓（細長大 論： 題，由此培 于兩定點間距離）. 養(yǎng)學生的自 信心。？ 動態(tài)演示動點生成軌跡的全過程，印證猜想  互動 探究 深化 概念 探究2 在繩長/、父的情況卜，改變兩個圖旬之間的距離， 回出的橢圓有何變化？ 當兩個圖釘重合在一起時，回出的圖形是什么？ 當兩個圖釘之間的品目離等于繩「長時，畫出的圖形 是什么？ 當兩個圖釘之間固定，能使2最長小于兩個圖釘之 間的距離嗎？ 定義：平向內(nèi)與兩個定點用，巴跑離的和等于常數(shù)（大于因司

9、）的點的軌跡叫橢圓。 教師指出：這兩個定點叫橢圓的焦點，兩焦點的距離 叫橢圓的焦距。 思考1:焦點為為居的橢圓上任一點M有什么性質(zhì)？ 令橢圓上『點M則有 |煙+煙=>2c'=4為0 補充：若為=加時，軌跡是線段居外；若加<2t時，無軌跡。 思考2:剛才在畫圖時，大家的純長是一樣的，但是畫 利用動 畫顯示結(jié)果 學生通過課 件觀察義化 情況 請學生給出 經(jīng)過修改的 橢圓定義 學生思考后 回答 使學生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過程，提高其歸納概括能力，加深對橢圓本質(zhì)的認識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)目茖W作風  出的橢圓一樣嗎？橢圓的圓扁程度與什么有美？ —M F

10、i、金位也幟需震回1F1橢圓越扁 前面我們已經(jīng)得到橢圓的定義，那么由橢圓定義， 充分發(fā)揮學 我們能不能推導出橢圓的方程。 學生回答 生的學習主 問題3:求曲線方程的一般步驟是什么？ 學生先獨立 動性。 思考，之后 通過坐標系 ①建系、取點；②列式；③代換；④化簡；⑤證明 全班交流， 的不同選 卜面由同學根據(jù)這兩個問題分組討論橢圓方程的 確定最后的 擇，用不同 求法。(1)要建立橢圓方程應該如何建立坐標系？ 解決方案， 的方法得到 研討 然后分工合 不同的方 (2)橢圓上動點M滿足什么條件？

11、 探究 作，共同完 程，通過比 推導 尤其在化簡過程中，對于根式的處理，學生會感到困 成，之后再 較體會曲線 方程 難，教師進行提示。 交流。 的方程的不 (把學生推導橢圓方程的具有代表性的方法，在實物 學生思考后 確定性，理 展臺上投影。) 主動發(fā)言回 解曲線與方 答。 程的關(guān)系， 問題：通過對比學生求出橢圓各種形式的方程，你能 感受恰當選 發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？哪一種方程最簡潔？ 以上三條， 擇坐標系的 22 盡量由學生 優(yōu)越性，感 方程x2y~z1(ab0)(☆)叫做橢圓的標準力ab 總結(jié)出

12、受標準方程 程。匕表小焦點在x軸上，焦點坐標為弓(c,0), 的簡潔、對  …r222 F2(c,0),其中cab. 22 4x21(ab0),它也是橢圓的標準方程。 ab 此時，橢圓的焦點在y軸上， 焦點坐標為Fi(0,c)F2(0,c),其中c2a2b2 我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。 問：觀察一下焦點分別在x軸、y軸上的橢圓的標準方程,如何根據(jù)方程判斷其焦點在x軸上還是在y軸上？ (看分母大小，哪個分母大焦點就在哪一條軸上) 說明： (1)在兩個方程中，總有a>b>0 (2)橢圓的三個參數(shù)a、b、c滿足：c2a2b2即 a2b2c2,

13、a最大 ⑶要分清焦點的位置，只要看x2和y2的分母的大小。 22 例如橢圓-y~1(m0,n0,mn)當mnmn 時表小焦點在x軸上的橢圓；當mn時表小焦點在y軸上的橢圓。 稱、和諧之美，并在實踐中通過對比提高決策能力、計算能力、培療學生簡約的思維能力。 培養(yǎng)學生的觀察、分析歸納能力。 例1.適合x2列留件的橢圓的標準方程 2 y2 1 (a b 0) b a (1) a =4 , b=1,焦點在x軸 2債2)25點Vy 5 2 J 2)2 軸上 ⑶兩個焦點的坐標是(0 , -2)和( 2 x -2 a 并u經(jīng)過點 卜 1,(a (-1.5 , 2.

14、5) b 0) 解：(1)因為焦點在 x軸上，所以設(shè)所求方程為 例題 研討 變式 精析 a=4, b=1 16 y2 1 ??. x2所密方程為 1 (a ,2 2 b a b 0) 學生獨立完 成學生討論 因為焦點在y軸上，所以設(shè)所求方程為 a=4, b=1 2 y 1 16 培養(yǎng)學生運 用知識解決 問題能力 解決情景設(shè) 置中的問題 所求方程為 因為橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標準方程為 由橢圓的定義知,所以所求橢圓方程為 例2.我國發(fā)射的神舟八號飛船變軌前，是在以地心F2 為一個焦點的橢圓軌道上運行，已知它的近地點B距

15、 地面200公里，遠地點A距地面330公里，并且F2、A、 B在同一直線上，地球半徑約為6371km求軌道方程 (精確到1kmD。 22 1、如果橢圓———1上一點P到焦點Fi跑離是6, 10036 則點P到另一個焦點F2距離是。 練習 檢測 2、求適合卜列條件的橢圓的標準方程 檢測學習成 學生練習 當堂 (1)兩個焦點坐標分別是(0,2),(0,-2),橢 果 鞏固 圓經(jīng)過點R3,2) (2)a+b=10,c=2拈 最后進行課堂小結(jié)，先由學生小

16、組討論，再個別提問， 擺脫傳統(tǒng)教 然后集體補充，最后教師才引導和完善。師生應共同 學中教師小 歸納本節(jié)所學內(nèi)容、知識規(guī)律以及所學的數(shù)學思想和 結(jié)的做法， 總結(jié) 方法。 學生總結(jié)出 以表格形式 概括 課后 這T課你收獲到了什么？ 在知識、數(shù) 學思想等方 出現(xiàn)，讓學 生自己總 提升 布置作業(yè) 面的收獲 結(jié)，加深對 層次1 本節(jié)課內(nèi)容 的認識？ 1.教材練習A3.4題？練習B?第二題 ?層次1的目  2.你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法，能找到與之相應的方法求出橢

17、圓方法嗎？ 層次2 課后利用【百度搜索】深入的對橢圓的相關(guān)知識進行了解。 的是強化鞏 固本節(jié)內(nèi)容 層次2的目 的是激發(fā)學 生學習的興趣，提高數(shù)學文化品 位。 六、板書設(shè)計 —橢員的標住力 1、橢圓的定義 2、橢圓的標準方程 (1)、焦點在x軸上 (2)、焦點在y軸上 橢圓標準方程的推導過程 書寫 例1: 例2: (1)詳寫 (2)寫關(guān)鍵步驟 七、教學反思 本節(jié)課整個教學過程為：提出問題一一探索一一解決問題一一歸納反思一一提高。在問題的設(shè)計中，從多角度探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計不但突出了重點，更使難

18、點的突破水到渠成。 本節(jié)課以問題為紐帶，以探究活動為載體，學生在自覺進入問題情境后，在問題的指引下和老師的指導下，通過實踐、探索、體驗、反思等活動把探究活動層層展開、步步深入，親身經(jīng)歷知識的產(chǎn)生過程。使學生在知識的形成過程中，獲得數(shù)學的情感體驗，享受到成功的樂趣，同時在思想方法運用、思維能力等方面得到提高和發(fā)展。課堂進行中通過實際操作、多媒體課件演示等，激發(fā)學生的學習興趣，使學生讓學生在生生互動、師生互動中把學生的學習過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生觀察問題、發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程，希望對學生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)、數(shù)學思想的建立、心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用。 本節(jié)課學生活動較多，知識拓展較深，運算較困難，因此本節(jié)課不能按預計完成，剩余問題下節(jié)課解決。