《橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程》教學(xué)設(shè)計(jì)

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1、課題：§2.1.1橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 鹿城中學(xué)田光海 一、教案背景： 1. 面向?qū)ο螅焊咧卸昙?jí)學(xué)生 2. 學(xué)科：數(shù)學(xué) 3. 課時(shí)：2課時(shí) 4. 教學(xué)內(nèi)容：高中新課程標(biāo)準(zhǔn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》北師大版選修1-1第二章圓錐曲線與方 程§2.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程 二.教材分析 本節(jié)課是圓錐曲線的第一課時(shí)，它是繼學(xué)生學(xué)習(xí)了直線和圓的方程，對(duì)曲線和方程的 概念有了一些了解，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)用坐標(biāo) 法研究曲線。橢圓的學(xué)習(xí)可以為后面研究雙曲線、拋物線提供基本模式和理論基礎(chǔ)。因此 這節(jié)課有承前啟后的作用，是本章的重點(diǎn)內(nèi)容之一。 1. 教法分析

2、結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、探究合作。在學(xué)生的生活體驗(yàn)、直觀感知、知識(shí) 儲(chǔ)備的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生逐步建構(gòu)概念，為學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的形成打下基礎(chǔ)。利用多媒 體課件,精心構(gòu)建學(xué)生自主探究的教學(xué)平臺(tái),啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察,想象,思考,實(shí)踐,從而發(fā)現(xiàn) 規(guī)律、突破學(xué)生認(rèn)知上的困難，讓學(xué)生體驗(yàn)問(wèn)題解決的思維過(guò)程，獲得知識(shí),體驗(yàn)成功。主 要采用探究實(shí)踐、啟發(fā)與講練相結(jié)合。 2. 學(xué)法分析 從知識(shí)上看，學(xué)生已掌握了一些橢圓圖形的實(shí)物與實(shí)例，對(duì)曲線和方程的概念有了一 些了解，對(duì)用坐標(biāo)法研究幾何問(wèn)題有了初步的認(rèn)識(shí)。 從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看，通過(guò)一年多的學(xué)習(xí)，學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力， 積累

3、了一些研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)，在一定程度上具備了抽象、概括的能力和語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力。 從學(xué)生的學(xué)習(xí)心理上看，學(xué)生頭腦中雖有一些橢圓的實(shí)物實(shí)例，但并沒(méi)有上升為“概 念”的水平，如何給橢圓以數(shù)學(xué)描述?如何“定性”“定量”地描述橢圓是學(xué)生關(guān)注的問(wèn) 題，也是學(xué)習(xí)的重點(diǎn)問(wèn)題。他們渴望將感性認(rèn)識(shí)理性化，渴望通過(guò)自己動(dòng)手作圖、觀察來(lái) 辨析和完善概念，通過(guò)對(duì)比產(chǎn)生頓悟，渴望獲得這種學(xué)習(xí)的積極心向是學(xué)生學(xué)好本節(jié)課的 情感基礎(chǔ)。 3. 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能：掌握橢圓的定義；理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的 兩種形式，會(huì)運(yùn)用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 過(guò)程與方法：經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓模型

4、的過(guò)程，逐步提高學(xué)生的觀察、分析、 歸納、類比、概括能力；通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，進(jìn)一步掌握求曲線方程的一般方法— —坐標(biāo)法，并滲透數(shù)形結(jié)合、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法。 情感、態(tài)度與價(jià)值觀：通過(guò)課堂活動(dòng)參與，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高學(xué)生審美 情趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索的精神。 4. 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的建立和推導(dǎo)教學(xué)方法 5.教學(xué)準(zhǔn)備 通過(guò)百度搜索與橢圓有關(guān)的圖片資料，利用百度搜索相關(guān)的教學(xué)資料制作多媒體課件,自制教具：繪圖板、圖釘、細(xì)純。 三、教學(xué)過(guò)程 教學(xué) 劃、節(jié) 教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 ，情

5、景1:用圓柱狀水杯盛半杯水，將水杯放在水平桌面 引入生活情 上，截面為圓形.當(dāng)端起水杯喝水時(shí)，水杯傾斜，再 境激發(fā)學(xué)生 觀察水平面，止匕時(shí)截面為橢圓形 E) 的學(xué)習(xí)欲 問(wèn)題1:聯(lián)想生活中還啟哪些是橢圓圖形？ 望，自然引 入新課，同 創(chuàng)設(shè) ?2: 問(wèn)題2:( ：1) 12 11! 圓庭怎么畫(huà)出來(lái)酌？ 學(xué)生觀察 時(shí)與其實(shí)際 相聯(lián)系，拓 后兄 9*3 學(xué)生舉例 寬學(xué)生思 引入 新課 (2)圓上 (3)圓上 J定義是什么？” ▼15y G J標(biāo)準(zhǔn)方程是什么形式的？ 學(xué)生思考后 回答

6、。 維，發(fā)展他們聯(lián)想、類比能力。 猜想：1、橢圓是怎么畫(huà)出來(lái)的？2、橢圓的定義是什 么？3、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又是什么形式？ 使學(xué)生在感 嘆祖國(guó)科技 輝煌發(fā)展的 氛圍中認(rèn)識(shí) 橢圓。  用類比的思 想，通過(guò)已 經(jīng)學(xué)過(guò)的圓 的知識(shí)猜想 橢圓，開(kāi)展 后續(xù)教學(xué)。 探究1 給學(xué)生提供 將圓心從一點(diǎn)“分裂”成兩點(diǎn)，給你兩個(gè)圖釘，一根 一個(gè)動(dòng)手操 無(wú)彈性的細(xì)純，一張紙板，能

7、畫(huà)出橢圓嗎？ 同桌同學(xué)按 作，合作學(xué) 讓學(xué)生自己動(dòng)手畫(huà)圖，使其探究性學(xué)習(xí)，再提出 照老師的要 習(xí)的機(jī)會(huì)； 以下問(wèn)題： 求合作畫(huà) 通過(guò)實(shí)驗(yàn)讓 圖，并思考 學(xué)生去探究 互動(dòng) 思考1:在紙板上作圖說(shuō)明什么？ 軌跡上的點(diǎn) “滿足什么 探究 思考2:在作圖過(guò)程中，有哪些物體的位置沒(méi)變？ 具備什么特 樣的條件下 形成 有哪些量沒(méi)肩變？ 點(diǎn)。 的點(diǎn)的集合 概念 展示學(xué)生成 為橢圓”； 思考3:若調(diào)節(jié)兩圖釘?shù)南鄬?duì)位置，所得到的圖形 果。請(qǐng)學(xué)生 讓每個(gè)人都 后何義化？ 代表本小組 動(dòng)手畫(huà)圖， 根據(jù)橢圓圓法，從中歸納橢

8、圓定義一一與兩個(gè)定點(diǎn)的 交流探究結(jié) 自己思考問(wèn) 跑離之和為定長(zhǎng)（結(jié)長(zhǎng)）的點(diǎn)的軌跡為橢圓（細(xì)長(zhǎng)大 論： 題，由此培 于兩定點(diǎn)間距離）. 養(yǎng)學(xué)生的自 信心。？ 動(dòng)態(tài)演示動(dòng)點(diǎn)生成軌跡的全過(guò)程，印證猜想  互動(dòng) 探究 深化 概念 探究2 在繩長(zhǎng)/、父的情況卜，改變兩個(gè)圖旬之間的距離， 回出的橢圓有何變化？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘重合在一起時(shí)，回出的圖形是什么？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘之間的品目離等于繩「長(zhǎng)時(shí)，畫(huà)出的圖形 是什么？ 當(dāng)兩個(gè)圖釘之間固定，能使2最長(zhǎng)小于兩個(gè)圖釘之 間的距離嗎？ 定義：平向內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)用，巴跑離的和等于常數(shù)（大于因司

9、）的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。 教師指出：這兩個(gè)定點(diǎn)叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離 叫橢圓的焦距。 思考1:焦點(diǎn)為為居的橢圓上任一點(diǎn)M有什么性質(zhì)？ 令橢圓上『點(diǎn)M則有 |煙+煙=>2c'=4為0 補(bǔ)充：若為=加時(shí)，軌跡是線段居外；若加<2t時(shí)，無(wú)軌跡。 思考2:剛才在畫(huà)圖時(shí)，大家的純長(zhǎng)是一樣的，但是畫(huà) 利用動(dòng) 畫(huà)顯示結(jié)果 學(xué)生通過(guò)課 件觀察義化 情況 請(qǐng)學(xué)生給出 經(jīng)過(guò)修改的 橢圓定義 學(xué)生思考后 回答 使學(xué)生經(jīng)歷橢圓概念的生成和完善過(guò)程，提高其歸納概括能力，加深對(duì)橢圓本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，并逐漸養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)作風(fēng)  出的橢圓一樣嗎？橢圓的圓扁程度與什么有美？ —M F

10、i、金位也幟需震回1F1橢圓越扁 前面我們已經(jīng)得到橢圓的定義，那么由橢圓定義， 充分發(fā)揮學(xué) 我們能不能推導(dǎo)出橢圓的方程。 學(xué)生回答 生的學(xué)習(xí)主 問(wèn)題3:求曲線方程的一般步驟是什么？ 學(xué)生先獨(dú)立 動(dòng)性。 思考，之后 通過(guò)坐標(biāo)系 ①建系、取點(diǎn)；②列式；③代換；④化簡(jiǎn)；⑤證明 全班交流， 的不同選 卜面由同學(xué)根據(jù)這兩個(gè)問(wèn)題分組討論橢圓方程的 確定最后的 擇，用不同 求法。(1)要建立橢圓方程應(yīng)該如何建立坐標(biāo)系？ 解決方案， 的方法得到 研討 然后分工合 不同的方 (2)橢圓上動(dòng)點(diǎn)M滿足什么條件？

11、 探究 作，共同完 程，通過(guò)比 推導(dǎo) 尤其在化簡(jiǎn)過(guò)程中，對(duì)于根式的處理，學(xué)生會(huì)感到困 成，之后再 較體會(huì)曲線 方程 難，教師進(jìn)行提示。 交流。 的方程的不 (把學(xué)生推導(dǎo)橢圓方程的具有代表性的方法，在實(shí)物 學(xué)生思考后 確定性，理 展臺(tái)上投影。) 主動(dòng)發(fā)言回 解曲線與方 答。 程的關(guān)系， 問(wèn)題：通過(guò)對(duì)比學(xué)生求出橢圓各種形式的方程，你能 感受恰當(dāng)選 發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？哪一種方程最簡(jiǎn)潔？ 以上三條， 擇坐標(biāo)系的 22 盡量由學(xué)生 優(yōu)越性，感 方程x2y~z1(ab0)(☆)叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)力ab 總結(jié)出

12、受標(biāo)準(zhǔn)方程 程。匕表小焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為弓(c,0), 的簡(jiǎn)潔、對(duì)  …r222 F2(c,0),其中cab. 22 4x21(ab0),它也是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。 ab 此時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在y軸上， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為Fi(0,c)F2(0,c),其中c2a2b2 我們可以發(fā)現(xiàn)，以上兩種方案是最好的。 問(wèn)：觀察一下焦點(diǎn)分別在x軸、y軸上的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,如何根據(jù)方程判斷其焦點(diǎn)在x軸上還是在y軸上？ (看分母大小，哪個(gè)分母大焦點(diǎn)就在哪一條軸上) 說(shuō)明： (1)在兩個(gè)方程中，總有a>b>0 (2)橢圓的三個(gè)參數(shù)a、b、c滿足：c2a2b2即 a2b2c2,

13、a最大 ⑶要分清焦點(diǎn)的位置，只要看x2和y2的分母的大小。 22 例如橢圓-y~1(m0,n0,mn)當(dāng)mnmn 時(shí)表小焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；當(dāng)mn時(shí)表小焦點(diǎn)在y軸上的橢圓。 稱、和諧之美，并在實(shí)踐中通過(guò)對(duì)比提高決策能力、計(jì)算能力、培療學(xué)生簡(jiǎn)約的思維能力。 培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析歸納能力。 例1.適合x(chóng)2列留件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 2 y2 1 (a b 0) b a (1) a =4 , b=1,焦點(diǎn)在x軸 2債2)25點(diǎn)Vy 5 2 J 2)2 軸上 ⑶兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)是(0 , -2)和( 2 x -2 a 并u經(jīng)過(guò)點(diǎn) 卜 1,(a (-1.5 , 2.

14、5) b 0) 解：(1)因?yàn)榻裹c(diǎn)在 x軸上，所以設(shè)所求方程為 例題 研討 變式 精析 a=4, b=1 16 y2 1 ??. x2所密方程為 1 (a ,2 2 b a b 0) 學(xué)生獨(dú)立完 成學(xué)生討論 因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上，所以設(shè)所求方程為 a=4, b=1 2 y 1 16 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn) 用知識(shí)解決 問(wèn)題能力 解決情景設(shè) 置中的問(wèn)題 所求方程為 因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 由橢圓的定義知,所以所求橢圓方程為 例2.我國(guó)發(fā)射的神舟八號(hào)飛船變軌前，是在以地心F2 為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道上運(yùn)行，已知它的近地點(diǎn)B距

15、 地面200公里，遠(yuǎn)地點(diǎn)A距地面330公里，并且F2、A、 B在同一直線上，地球半徑約為6371km求軌道方程 (精確到1kmD。 22 1、如果橢圓———1上一點(diǎn)P到焦點(diǎn)Fi跑離是6, 10036 則點(diǎn)P到另一個(gè)焦點(diǎn)F2距離是。 練習(xí) 檢測(cè) 2、求適合卜列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 檢測(cè)學(xué)習(xí)成 學(xué)生練習(xí) 當(dāng)堂 (1)兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,2),(0,-2),橢 果 鞏固 圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)R3,2) (2)a+b=10,c=2拈 最后進(jìn)行課堂小結(jié)，先由學(xué)生小

16、組討論，再個(gè)別提問(wèn)， 擺脫傳統(tǒng)教 然后集體補(bǔ)充，最后教師才引導(dǎo)和完善。師生應(yīng)共同 學(xué)中教師小 歸納本節(jié)所學(xué)內(nèi)容、知識(shí)規(guī)律以及所學(xué)的數(shù)學(xué)思想和 結(jié)的做法， 總結(jié) 方法。 學(xué)生總結(jié)出 以表格形式 概括 課后 這T課你收獲到了什么？ 在知識(shí)、數(shù) 學(xué)思想等方 出現(xiàn)，讓學(xué) 生自己總 提升 布置作業(yè) 面的收獲 結(jié)，加深對(duì) 層次1 本節(jié)課內(nèi)容 的認(rèn)識(shí)？ 1.教材練習(xí)A3.4題？練習(xí)B?第二題 ?層次1的目  2.你能用直尺和圓規(guī)作出橢圓上的任意一點(diǎn)嗎？作圖的依據(jù)是什么？根據(jù)你的作圖方法，能找到與之相應(yīng)的方法求出橢

17、圓方法嗎？ 層次2 課后利用【百度搜索】深入的對(duì)橢圓的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行了解。 的是強(qiáng)化鞏 固本節(jié)內(nèi)容 層次2的目 的是激發(fā)學(xué) 生學(xué)習(xí)的興趣，提高數(shù)學(xué)文化品 位。 六、板書(shū)設(shè)計(jì) —橢員的標(biāo)住力 1、橢圓的定義 2、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 (1)、焦點(diǎn)在x軸上 (2)、焦點(diǎn)在y軸上 橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程 書(shū)寫(xiě) 例1: 例2: (1)詳寫(xiě) (2)寫(xiě)關(guān)鍵步驟 七、教學(xué)反思 本節(jié)課整個(gè)教學(xué)過(guò)程為：提出問(wèn)題一一探索一一解決問(wèn)題一一歸納反思一一提高。在問(wèn)題的設(shè)計(jì)中，從多角度探究，縱向挖掘知識(shí)深度，橫向加強(qiáng)知識(shí)間的聯(lián)系，這樣的設(shè)計(jì)不但突出了重點(diǎn)，更使難

18、點(diǎn)的突破水到渠成。 本節(jié)課以問(wèn)題為紐帶，以探究活動(dòng)為載體，學(xué)生在自覺(jué)進(jìn)入問(wèn)題情境后，在問(wèn)題的指引下和老師的指導(dǎo)下，通過(guò)實(shí)踐、探索、體驗(yàn)、反思等活動(dòng)把探究活動(dòng)層層展開(kāi)、步步深入，親身經(jīng)歷知識(shí)的產(chǎn)生過(guò)程。使學(xué)生在知識(shí)的形成過(guò)程中，獲得數(shù)學(xué)的情感體驗(yàn)，享受到成功的樂(lè)趣，同時(shí)在思想方法運(yùn)用、思維能力等方面得到提高和發(fā)展。課堂進(jìn)行中通過(guò)實(shí)際操作、多媒體課件演示等，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生讓學(xué)生在生生互動(dòng)、師生互動(dòng)中把學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生觀察問(wèn)題、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程，希望對(duì)學(xué)生的思維品質(zhì)的培養(yǎng)、數(shù)學(xué)思想的建立、心理品質(zhì)的優(yōu)化起到良好的作用。 本節(jié)課學(xué)生活動(dòng)較多，知識(shí)拓展較深，運(yùn)算較困難，因此本節(jié)課不能按預(yù)計(jì)完成，剩余問(wèn)題下節(jié)課解決。