高三數學第一篇六 解析幾何 第2講 橢圓、雙曲線、拋物線 理

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1、第第2 2講講 橢圓、雙曲線、拋物線橢圓、雙曲線、拋物線考情分析考情分析總綱目錄考點一 圓錐曲線的定義及標準方程考點二 圓錐曲線的幾何性質（高頻考點）考點三 直線與圓錐曲線的位置關系考點一 圓錐曲線的定義及標準方程1.圓錐曲線的定義(1)橢圓:|PF1|+|PF2|=2a(2a|F1F2|);(2)雙曲線:|PF1|-|PF2|=2a(2ab0;(2)雙曲線的標準方程為-=1,其中a0,b0;(3)拋物線的標準方程為x2=2py,y2=2px,其中p0.22xa22yb22221yxab或22xa22yb22221yxab或典型例題典型例題(1)(2017課標全國,5,5分)已知雙曲線C:-=

2、1(a0,b0)的一條漸近線方程為y=x,且與橢圓+=1有公共焦點,則C的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1(2)(2017課標全國,16,5分)已知F是拋物線C:y2=8x的焦點,M是C上一點,FM的延長線交y軸于點N.若M為FN的中點,則|FN|=.22xa22yb52212x23y28x210y24x25y25x24y24x23y解析解析(1)由雙曲線的漸近線方程可設雙曲線方程為-=k(k0),即-=1,雙曲線與橢圓+=1有公共焦點,4k+5k=12-3,解得k=1,故雙曲線C的方程為-=1.故選B.(2)如圖,過M、N分別作拋物線準線的垂線,垂足分別為M1、N1,設拋物

3、線的準線與x軸的交點為F1,則|NN1|=|OF1|=2,|FF1|=4.因為M為FN的中點,所以|MM1|=3,由拋物線的定義知|FM|=|MM1|=3,從而|FN|=2|FM|=6.24x25y24xk25yk212x23y24x25y答案答案(1)B(2)6方法歸納方法歸納圓錐曲線方程的求法求解圓錐曲線標準方程的方法是“先定型,后計算”.(1)定型:就是指定類型,也就是確定圓錐曲線的焦點位置,從而設出標準方程.(2)計算:即利用待定系數法求出方程中的a2,b2或p.另外,當焦點位置無法確定時,拋物線常設為y2=2ax或x2=2ay(a0),橢圓常設為mx2+ny2=1(m0,n0),雙曲

4、線常設為mx2-ny2=1(mn0).跟蹤集訓跟蹤集訓1.已知橢圓中心在原點,焦點F1,F2在x軸上,P(2,)是橢圓上一點,且|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數列,則橢圓的方程為()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1328x26y216x26y28x24y216x24y答案答案A設橢圓的標準方程為+=1(ab0).由點P(2,)在橢圓上,得+=1.|PF1|,|F1F2|,|PF2|成等差數列,|PF1|+|PF2|=2|F1F2|,即2a=22c,=.又c2=a2-b2,a2=8,b2=6.即橢圓的方程為+=1.22xa22yb324a23bca1228x26y2.(201

5、7湖北七市(州)聯考)雙曲線-=1(a,b0)的離心率為,左、右焦點分別為F1、F2,P為雙曲線右支上一點,F1PF2的平分線為l,點F1關于l的對稱點為Q,|F2Q|=2,則雙曲線的方程為()A.-y2=1B.x2-=1C.x2-=1D.-y2=122xa22yb322x22y23y23x答案答案BF1PF2的平分線為l,點F1關于l的對稱點為Q,|PF1|=|PQ|,而|PF1|-|PF2|=2a,|PQ|-|PF2|=2a,即|F2Q|=2=2a,解得a=1.又e=c=b2=c2-a2=2,雙曲線的方程為x2-=1.故選B.ca3322y考點二 圓錐曲線的幾何性質(高頻考點)命題點命題點

6、1.求橢圓、雙曲線的離心率或離心率的范圍.2.由圓錐曲線的性質求圓錐曲線的標準方程.3.求雙曲線的漸近線方程.1.橢圓、雙曲線中,a,b,c之間的關系(1)在橢圓中:a2=b2+c2,離心率為e=;(2)在雙曲線中:c2=a2+b2,離心率為e=.ca21baca21ba2.雙曲線-=1(a0,b0)的漸近線方程為y=x.注意離心率e與漸近線的斜率的關系.22xa22ybba典型例題典型例題(1)(2017課標全國,10,5分)已知橢圓C:+=1(ab0)的左、右頂點分別為A1,A2,且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx-ay+2ab=0相切,則C的離心率為()A.B.C.D.(2)(2017

7、山東,14,5分)在平面直角坐標系xOy中,雙曲線-=1(a0,b0)的右支與焦點為F的拋物線x2=2py(p0)交于A,B兩點.若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為.答案答案(1)A(2)y=x22xa22yb6333231322xa22yb22解析解析(1)以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,該圓與直線bx-ay+2ab=0相切,=a,即2b=,a2=3b2,a2=b2+c2,=,e=.(2)設A(x1,y1),B(x2,y2).因為4|OF|=|AF|+|BF|,所以4=y1+y2+,即y1+y2=p.由消去x,得a2y2-2pb2y+a2b2=0,所

8、以y1+y2=.22|002|()baabba 22ab22ca23ca632p2p2p222222,1xpyxyab222pba由可得=,故雙曲線的漸近線方程為y=x.ba2222方法歸納方法歸納圓錐曲線的幾何性質的應用確定橢圓和雙曲線的離心率的值或范圍,其關鍵就是建立一個關于a,b,c的方程(組)或不等式(組),再根據a,b,c的關系消掉b得到關于a,c的關系式.建立關于a,b,c的方程(組)或不等式(組)時,要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質、點的坐標等.跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017成都第一次診斷性檢測)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左、右焦點分別為F1、F2,雙曲線上一點P滿足PF2

9、x軸.若|F1F2|=12,|PF2|=5,則該雙曲線的離心率為()A.B.C.D.322xa22yb131212532答案答案C由雙曲線的定義,知|PF1|-|PF2|=2a,所以|PF1|=2a+|PF2|=2a+5.在RtPF2F1中,|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即(2a+5)2=52+122,解得a=4.因為|F1F2|=12,所以c=6,所以雙曲線的離心率e=,故選C.ca64322.(2017蘭州高考實戰(zhàn)模擬)以F(p0)為焦點的拋物線C的準線與雙曲線x2-y2=2相交于M,N兩點,若MNF為正三角形,則拋物線C的方程為()A.y2=2xB.y2=4xC.x2=2y

10、D.x2=4y0,2p6666答案答案D以F(p0)為焦點的拋物線C的準線方程為y=-,M,N在直線y=-上,又MNF是正三角形,點F到MN的距離為-=p,設點M在雙曲線x2-y2=2的左支上,點N在右支上,M,N,-=2,解得p=2,拋物線C的方程為x2=2py=4y,故選D.0,2p2p2p2p2p3,32pp3,32pp233p22p66考點三 直線與圓錐曲線的位置關系判斷直線與圓錐曲線公共點的個數或求交點問題的兩種常用方法判斷直線與圓錐曲線公共點的個數或求交點問題的兩種常用方法:(1)代數法:即聯立直線與圓錐曲線方程可得到一個關于x,y的方程組,消去y(或x)得一元方程,此方程根的個數

11、即為交點個數,由方程組的解得交點坐標;(2)幾何法:即畫出直線與圓錐曲線,根據圖形判斷公共點的個數.典型例題典型例題(2016課標全國,20,12分)在直角坐標系xOy中,直線l:y=t(t0)交y軸于點M,交拋物線C:y2=2px(p0)于點P,M關于點P的對稱點為N,連接ON并延長交C于點H.(1)求;(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點?說明理由.解析解析(1)由已知得M(0,t),P.又N為M關于點P的對稱點,所以N,所以ON的方程為y=x,將其代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=.|OHON2,2ttp2,ttppt22tp因此H.所以N為OH的中

12、點,即=2.(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點.理由如下:直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).將其代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個公共點,所以除H以外直線MH與C沒有其他公共點.22,2ttp|OHON2pt2tp方法歸納方法歸納解決直線與圓錐曲線的位置關系問題的步驟(1)設方程及點的坐標;(2)聯立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項系數是否為零);(3)應用根與系數的關系及判別式;(4)結合已知條件、中點坐標公式、斜率公式及弦長公式求解.跟蹤集訓跟蹤集訓(2017貴州適應性考試)設F1,F2分別是橢圓E:

13、+=1(ab0)的左,右焦點,E的離心率為,點(0,1)是E上一點.(1)求橢圓E的方程;(2)過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,且=2,求直線BF2的方程.解析解析(1)由題意知,b=1,且e2=,解得a2=2,所以橢圓E的方程為+y2=1.22xa22yb221BF1F A22ca222aba1222x(2)由題意知,直線AB的斜率存在且不為0,故可設直線AB的方程為x=my-1,設A(x1,y1),B(x2,y2).由得(m2+2)y2-2my-1=0,則y1+y2=,y1y2=-,因為F1(-1,0),所以=(-1-x2,-y2),=(x1+1,y1),由=2可得-y2=2y1,由可

14、得B.221,21xyxmy222mm 212m 1BF1F A1BF1F A114,24則=或-,所以直線BF2的方程為y=x-或y=-x+.2BFk1461461461461461461.(2016課標全國,5,5分)設F為拋物線C:y2=4x的焦點,曲線y=(k0)與C交于點P,PFx軸,則k=()A.B.1C.D.2kx1232隨堂檢測隨堂檢測答案答案 D由題意得點P的坐標為(1,2).把點P的坐標代入y=(k0)得k=12=2,故選D.kx2.(2017天津,5,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的左焦點為F,離心率為.若經過F和P(0,4)兩點的直線平行于雙曲線的一條漸近線,則雙

15、曲線的方程為()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=122xa22yb224x24y28x28y24x28y28x24y答案答案B由離心率為可知a=b,c=a,所以F(-a,0),由題意可知kPF=1,所以a=4,解得a=2,所以雙曲線的方程為-=1,故選B.222400(2 )a 42a2228x28y3.已知拋物線y2=2px的焦點F與橢圓16x2+25y2=400的左焦點重合,拋物線的準線與x軸的交點為K,點A在拋物線上且|AK|=|AF|,則點A的橫坐標為()A.2B.-2C.3D.-32答案答案 D16x2+25y2=400可化為+=1,則橢圓的左焦點為F(-3,0),又拋物線y2

16、=2px的焦點為,準線為x=-,所以=-3,即p=-6,則y2=-12x,K的坐標為(3,0).設A(x,y),則由|AK|=|AF|得(x-3)2+y2=2(x+3)2+y2,即x2+18x+9+y2=0,又y2=-12x,所以x2+6x+9=0,解得x=-3.225x216y,02p2p2p24.(2016北京,12,5分)已知雙曲線-=1(a0,b0)的一條漸近線為2x+y=0,一個焦點為(,0),則a=;b=.22xa22yb5答案答案1;2解析解析由題意可知雙曲線的焦點在x軸上,故漸近線方程為y=x,一條漸近線為2x+y=0,即y=-2x,=2,即b=2a.又該雙曲線的一個焦點為(,

17、0),c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.baba555.(2017鄭州第二次質量預測)已知雙曲線C2與橢圓C1:+=1具有相同的焦點,則兩條曲線相交的四個交點形成的四邊形面積最大時雙曲線C2的離心率為.24x23y答案答案2解析解析設雙曲線的方程為-=1(a0,b0),由題意知a2+b2=4-3=1,由解得交點的坐標滿足由橢圓和雙曲線關于坐標軸對稱知,以它們的交點為頂點的四邊形是長方形,其面積S=4|xy|=4=88=4,當且僅當a2=1-a2,即a2=時,取等號,此時雙曲線的方程為-=1,離心率e=.22xa22yb2222221,431xyxyab22224,3,xayb24a23b32a21a32212aa 312212x212y2