數(shù)學(xué)第八章 立體幾何 第三節(jié) 直線、平面平行的判定與性質(zhì) 理

第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質(zhì)總綱目錄教材研讀1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理考點(diǎn)突破2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)三考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問題平行關(guān)系的綜合問題教材研讀教材研讀1.直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理2.平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理1.如果直線a平面,那么直線a與平面內(nèi)的( )A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交D答案答案 D因?yàn)橹本€a平面,所以直線a與平面無公共點(diǎn),因此直線a和平面內(nèi)的任意一條直線都不相交,故選D.2.下列命題中,正確的是( )A.若ab,b,則aB.若a,b,則abC.若a,b,則abD.若ab,b,a ,則aD答案答案 D A中還有可能a,B中還有可能a與b異面,C中還有可能a與b相交或異面,只有選項(xiàng)D正確.3.(2015北京,4,5分)設(shè),是兩個(gè)不同的平面,m是直線且m.“m”是“”的( )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件B答案答案 B由兩平面平行的判定定理可知,當(dāng)其中一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線均平行于另一平面時(shí),兩平面才平行,所以“m”不能推出“”;若兩平面平行,則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線平行于另一個(gè)平面,所以“”可以推出“m”.因此“m”是“”的必要而不充分條件.故選B.4.已知平面,直線a,有下列命題:a與內(nèi)的所有直線平行;a與內(nèi)無數(shù)條直線平行;a與內(nèi)的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號(hào)是 .答案答案解析解析設(shè)過a且與相交的平面與的交線為b,由面面平行的性質(zhì)定理知,ba,故內(nèi)的直線b及與b平行的直線才與a平行,故錯(cuò)誤,正確.平面內(nèi)的直線與直線a平行或異面,其中包括異面垂直,故錯(cuò)誤.5.三棱柱ABC-A1B1C1中,過棱A1C1,B1C1,BC,AC的中點(diǎn)E,F,G,H的平面與平面 A1B1BA 平行.答案答案 A1B1BA解析解析如圖所示,連接各中點(diǎn)后,易知平面EFGH與平面A1B1BA平行. 6.如圖所示,棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱A1B1,B1C1的中點(diǎn),P是棱AD上的一點(diǎn),AP=,過P、M、N的平面交上底面于PQ,點(diǎn)Q在CD上,則PQ= a . 3a2 23答案答案 a2 23解析解析連接AC,由平面ABCD平面A1B1C1D1,得MN平面ABCD,所以MNPQ,又因?yàn)镸NAC,所以PQAC,所以=,所以PQ=AC=a.PDADDQCDPQAC23232 23考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)一直線與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)突破考點(diǎn)突破典例典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)D,D1分別為AC,A1C1的中點(diǎn).(1)證明:AD1平面BDC1;(2)證明:BD平面AB1D1.證明證明(1)D1,D分別為A1C1,AC的中點(diǎn),四邊形ACC1A1為平行四邊形,C1D1DA,四邊形ADC1D1為平行四邊形,AD1C1D,又AD1 平面BDC1,C1D平面BDC1,AD1平面BDC1.(2)連接D1D,BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面BB1D1D=D1D,BB1D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點(diǎn),BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,BDB1D1,又BD 平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,BD平面AB1D1.方法技巧方法技巧證明線面平行的常用方法:(1)利用線面平行的定義(無公共點(diǎn));(2)利用線面平行的判定定理(a ,b,aba);(3)利用“面面平行線面平行”(,aa);(4)利用平行的傳遞性(,a ,aa;ab,b,a a).1-1如圖,四棱錐P-ABCD中,ADBC,AB=BC=AD,E,F,H分別為AD,PC,CD的中點(diǎn),AC與BE交于O點(diǎn),G是OF上一點(diǎn).(1)求證:AP平面BEF;(2)求證:GH平面PAD. 12證明證明(1)連接EC,ADBC,AE=AD,BC=AD,BC AE.四邊形ABCE是平行四邊形,O為AC的中點(diǎn).又F是PC的中點(diǎn),FOAP,1212又FO平面BEF,AP 平面BEF,AP平面BEF.(2)連接FH,OH,F,H分別是PC,CD的中點(diǎn),FHPD,又PD平面PAD,FH 平面PAD,FH平面PAD.又O是AC的中點(diǎn),H是CD的中點(diǎn),OHAD,又AD平面PAD,OH 平面PAD,OH平面PAD.又FHOH=H,平面OHF平面PAD.又GH平面OHF,GH平面PAD.考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)考點(diǎn)二平面與平面平行的判定與性質(zhì)典例典例2如圖,ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點(diǎn).(1)求證:BE平面DMF;(2)求證:平面BDE平面MNG. 證明證明(1)如圖,連接AE,則AE必過DF與GN的交點(diǎn)O,連接MO,則MO為ABE的中位線,所以BEMO,又BE 平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因?yàn)镹,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點(diǎn),所以DEGN,又DE 平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又因?yàn)镸為AB的中點(diǎn),所以MN為ABD的中位線,所以BDMN,又BD 平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG,又DE與BD為平面BDE內(nèi)的兩條相交直線,所以平面BDE平面MNG.方法技巧方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的定義;(2)利用面面平行的判定定理:如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行;(3)利用“垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行”;(4)利用“如果兩個(gè)平面同時(shí)平行于第三個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行”;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉(zhuǎn)化.2-1如圖,PAB所在的平面與、分別交于CD、AB.若PC=2,CA=3,CD=1,則AB= . 52答案答案 52解析解析,PAB所在的平面與、分別交于CD、AB,CDAB,=.AB=.PCPACDABPA CDPC5 1252典例典例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點(diǎn).求證:(1)BFHD1;(2)EG平面BB1D1D;(3)平面BDF平面B1D1H. 考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問題考點(diǎn)三平行關(guān)系的綜合問題證明證明(1)如圖所示,取BB1的中點(diǎn)M,連接HM、MC1,易證四邊形HMC1D1是平行四邊形,HD1MC1.又易知MC1BF,BFHD1.(2)取BD的中點(diǎn)O,連接EO,D1O,則OEDC且OE=DC,又D1GDC且D1G=DC,OE D1G,1212四邊形OEGD1是平行四邊形,GED1O.又D1O平面BB1D1D,GE 平面BB1D1D,EG平面BB1D1D.(3)由(1)知,D1HBF,又BDB1D1,B1D1、HD1平面HB1D1,BF、BD平面BDF,且B1D1HD1=D1,DBBF=B,平面BDF平面B1D1H.方法技巧方法技巧1.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關(guān)系,它們之間可以相互轉(zhuǎn)化,其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下: 2.在解決線面、面面平行的判定時(shí),一般遵循從“低維”到“高維”的轉(zhuǎn)化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應(yīng)用性質(zhì)定理時(shí),其順序正好相反,但也要注意,轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”.3-1如圖,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點(diǎn),過A、C、E三點(diǎn)作平面與正方體的面相交.(1)畫出平面與正方體ABCD-A1B1C1D1各面的交線;(2)求證:BD1平面. 解析解析(1)如圖,交線即為EC、AC、AE,平面即為平面AEC.(2)證明:連接BD與AC交于O,連接EO,四邊形ABCD為正方形,O是BD的中點(diǎn),又E為DD1的中點(diǎn),OEBD1,又OE平面,BD1 平面,BD1平面.