高考數(shù)學回歸課本 圓錐曲線一教案 舊人教版

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1、高考數(shù)學回歸課本教案第十一章 圓錐曲線一、基礎知識1橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個定點的距離之和等于定長（大于兩個定點之間的距離）的點的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定義：平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0e1)的點的軌跡（其中定點不在定直線上），即(0eb0)，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。若焦點在y軸上，列標準方程為 (ab0)。3橢圓中的相關概念，對于中心在原點，焦點在x軸上的橢圓，a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標分別為(a, 0), (0, b), (c, 0)；與左焦點對應的

2、準線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點對應的準線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點。若P(x, y)是橢圓上的任意一點，則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5幾個常用結(jié)論：1）過橢圓上一點P(x0, y0)的切線方程為；2）斜率為k的切線方程為；3）過焦點F2(c, 0)傾斜角為的弦的長為。6雙曲線的定義，第一定義：滿足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的點P的軌跡；第二定義：到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點的軌跡。7雙曲線的方程：中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線方程為，參數(shù)方程

3、為（為參數(shù)）。焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為。8雙曲線的相關概念，中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線(a, b0),a稱半實軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實軸的兩個端點為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點為F1(-c,0), F2(c, 0)，對應的左、右準線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個焦點在同一個圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。9雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）, F2(c, 0)是它的兩個焦點。設P(x,y)是雙曲線上的任一點，若P在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|

4、=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 過焦點的傾斜角為的弦長是。10拋物線：平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫焦點，直線l叫做拋物線的準線。若取經(jīng)過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，設|KF|=p，則焦點F坐標為，準線方程為，標準方程為y2=2px(p0)，離心率e=1.11拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點，1）焦半徑|PF|=；2）過點P的切線方程為y0y=p(x+x0)；3）過焦點傾斜角為的弦長為。12極坐標系，在平面

5、內(nèi)取一個定點為極點記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標系，對于平面內(nèi)任意一點P，記|OP|=,xOP=，則由（，）唯一確定點P的位置，（，）稱為極坐標。13圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點P，若0e1，則點P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為。二、方法與例題1與定義有關的問題。例1 已知定點A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點，點P為橢圓上的動點，當3|PA|+5|PF|取最小值時，求點P的坐標。解 見圖11-1，由題設a=5, b=4, c=3,.橢圓左準線的方程為，又因為，所以點A在橢圓內(nèi)部

6、，又點F坐標為（-3，0），過P作PQ垂直于左準線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左準線于M)。所以當且僅當P為AM與橢圓的交點時，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又xb0）.F坐標為(-c, 0).設另一焦點為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以點P的軌跡是以F，O為兩焦點的橢圓（因為a|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為解法二 相關點法。設點P(x,y), A(

7、x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因為點A在橢圓上，所以代入得關于點P的方程為。它表示中心為，焦點分別為F和O的橢圓。例4 長為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動，且A，B，C，D四點共圓，求此動圓圓心P的軌跡。解 設P(x, y)為軌跡上任意一點，A，B，C，D的坐標分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點，由圓冪定理知|OA|OB|=|OC|OD|，用坐標表示為，即當a=b時，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；當ab時，軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線；當a0, b0)的右焦點F作B1B2軸，交雙曲線于B

8、1，B2兩點，B2與左焦點F1連線交雙曲線于B點，連結(jié)B1B交x軸于H點。求證：H的橫坐標為定值。證明 設點B，H，F(xiàn)的坐標分別為(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標分別為(-c, 0), (c, ), (c, )，因為F1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點，所以 所以 。由得代入上式得即 （定值）。注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。例7 設拋物線y2=2px(p0)的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A，B兩點，點C在準線上，且BC/x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點。證明 設，則，焦點為，所以，。由于，所以y2-y1=0，即=0。

9、因為，所以。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點。例8 橢圓上有兩點A，B，滿足OAOB，O為原點，求證：為定值。證明 設|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=，則點A，B的坐標分別為A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由A，B在橢圓上有即 +得（定值）。4最值問題。例9 設A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點，且OAOB（O為原點），求|AB|的最大值與最小值。解 由題設a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設m=|AB|2=,因為，且a2b2，所以，所以br1a，同理br2。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)

10、遞增，所以當t=1即|OA|=|OB|時，|AB|取最小值1；當或時，|AB|取最大值。例10 設一橢圓中心為原點，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點與這橢圓上點的最大距離為，試求這個橢圓的方程。解 設A，B分別為圓C和橢圓上動點。由題設圓心C坐標為，半徑|CA|=1，因為|AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當且僅當A，B，C共線，且|BC|取最大值時，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為因為；所以可設橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,t，橢圓方程為，并設點B坐標為B(2tcos,tsin)，則|BC|2=(2tcos)2+=3t2sin2-3tsin+4t2=-3(tsi

11、n+)2+3+4t2.若，則當sin=-1時，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設不符。若t,則當sin=時，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以橢圓方程為。5直線與二次曲線。例11 若拋物線y=ax2-1上存在關于直線x+y=0成軸對稱的兩點，試求a的取值范圍。解 拋物線y=ax2-1的頂點為(0,-1)，對稱軸為y軸，存在關于直線x+y=0對稱兩點的條件是存在一對點P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因為P不在直線x+y=0上，所以x1+y10,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+所以此方程

12、有不等實根，所以，求得，即為所求。例12 若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當截得弦長最大時，求b的值。解 二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b20，得b0)，則動點的軌跡是_.3橢圓上有一點P，它到左準線的距離是10，它到右焦點的距離是_.4雙曲線方程，則k的取值范圍是_.5橢圓，焦點為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點P滿足F1PF2=600，則F1PF2的面積是_.6直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點A（3，-1）平分，則l的方程為_.7ABC的三個頂點都在拋物線y2=32x上，點A（2，8），且ABC的重心與這條拋物線的焦點重合，則直線BC的斜率為_.8已知雙曲線的兩條漸近線

13、方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為_.9已知曲線y2=ax，與其關于點（1，1）對稱的曲線有兩個不同的交點，如果過這兩個交點的直線的傾斜角為450，那么a=_.2-y2=a2上一點，的取值范圍是_.11已知橢圓與雙曲線有公共的焦點F1，F(xiàn)2，設P是它們的一個焦點，求F1PF2和PF1F2的面積。12已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，設|AT|=2a(2a1)的一個頂點C（0，1）為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_個.11求橢圓上任一點的兩條焦半徑夾角的正弦的最大值。12設F，O分別為橢圓的左焦點和中心，對于過點F的橢圓的任意弦AB，點O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。13已知雙曲線C1：(a0)，拋物線C2的頂點在原點O，C2的焦點是C1的左焦點F1。（1）求證：C1，C2總有兩個不同的交點。（2）問：是否存在過C2的焦點F1的弦AB，使AOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SAOB的最值，若不存在，說明理由。