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1、高考數(shù)學回歸課本教案第十一章 圓錐曲線一、基礎知識1橢圓的定義,第一定義:平面上到兩個定點的距離之和等于定長(大于兩個定點之間的距離)的點的軌跡,即|PF1|+|PF2|=2a (2a|F1F2|=2c).第二定義:平面上到一個定點的距離與到一條定直線的距離之比為同一個常數(shù)e(0e1)的點的軌跡(其中定點不在定直線上),即(0eb0),參數(shù)方程為(為參數(shù))。若焦點在y軸上,列標準方程為 (ab0)。3橢圓中的相關概念,對于中心在原點,焦點在x軸上的橢圓,a稱半長軸長,b稱半短軸長,c稱為半焦距,長軸端點、短軸端點、兩個焦點的坐標分別為(a, 0), (0, b), (c, 0);與左焦點對應的
2、準線(即第二定義中的定直線)為,與右焦點對應的準線為;定義中的比e稱為離心率,且,由c2+b2=a2知0eb0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點。若P(x, y)是橢圓上的任意一點,則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5幾個常用結(jié)論:1)過橢圓上一點P(x0, y0)的切線方程為;2)斜率為k的切線方程為;3)過焦點F2(c, 0)傾斜角為的弦的長為。6雙曲線的定義,第一定義:滿足|PF1|-|PF2|=2a(2a0)的點P的軌跡;第二定義:到定點的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(1)的點的軌跡。7雙曲線的方程:中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線方程為,參數(shù)方程
3、為(為參數(shù))。焦點在y軸上的雙曲線的標準方程為。8雙曲線的相關概念,中心在原點,焦點在x軸上的雙曲線(a, b0),a稱半實軸長,b稱為半虛軸長,c為半焦距,實軸的兩個端點為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點為F1(-c,0), F2(c, 0),對應的左、右準線方程分別為離心率,由a2+b2=c2知e1。兩條漸近線方程為,雙曲線與有相同的漸近線,它們的四個焦點在同一個圓上。若a=b,則稱為等軸雙曲線。9雙曲線的常用結(jié)論,1)焦半徑公式,對于雙曲線,F(xiàn)1(-c,0), F2(c, 0)是它的兩個焦點。設P(x,y)是雙曲線上的任一點,若P在右支上,則|PF1|=ex+a, |PF2|
4、=ex-a;若P(x,y)在左支上,則|PF1|=-ex-a,|PF2|=-ex+a.2) 過焦點的傾斜角為的弦長是。10拋物線:平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線,點F叫焦點,直線l叫做拋物線的準線。若取經(jīng)過焦點F且垂直于準線l的直線為x軸,x軸與l相交于K,以線段KF的垂直平分線為y軸,建立直角坐標系,設|KF|=p,則焦點F坐標為,準線方程為,標準方程為y2=2px(p0),離心率e=1.11拋物線常用結(jié)論:若P(x0, y0)為拋物線上任一點,1)焦半徑|PF|=;2)過點P的切線方程為y0y=p(x+x0);3)過焦點傾斜角為的弦長為。12極坐標系,在平面
5、內(nèi)取一個定點為極點記為O,從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸,這樣就建立了極坐標系,對于平面內(nèi)任意一點P,記|OP|=,xOP=,則由(,)唯一確定點P的位置,(,)稱為極坐標。13圓錐曲線的統(tǒng)一定義:到定點的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點P,若0e1,則點P的軌跡為雙曲線的一支;若e=1,則點P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標方程為。二、方法與例題1與定義有關的問題。例1 已知定點A(2,1),F(xiàn)是橢圓的左焦點,點P為橢圓上的動點,當3|PA|+5|PF|取最小值時,求點P的坐標。解 見圖11-1,由題設a=5, b=4, c=3,.橢圓左準線的方程為,又因為,所以點A在橢圓內(nèi)部
6、,又點F坐標為(-3,0),過P作PQ垂直于左準線,垂足為Q。由定義知,則|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左準線于M)。所以當且僅當P為AM與橢圓的交點時,3|PA|+5|PF|取最小值,把y=1代入橢圓方程得,又xb0).F坐標為(-c, 0).設另一焦點為。連結(jié),OP,則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以點P的軌跡是以F,O為兩焦點的橢圓(因為a|FO|=c),將此橢圓按向量m=(,0)平移,得到中心在原點的橢圓:。由平移公式知,所求橢圓的方程為解法二 相關點法。設點P(x,y), A(
7、x1, y1),則,即x1=2x+c, y1=2y. 又因為點A在橢圓上,所以代入得關于點P的方程為。它表示中心為,焦點分別為F和O的橢圓。例4 長為a, b的線段AB,CD分別在x軸,y軸上滑動,且A,B,C,D四點共圓,求此動圓圓心P的軌跡。解 設P(x, y)為軌跡上任意一點,A,B,C,D的坐標分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點,由圓冪定理知|OA|OB|=|OC|OD|,用坐標表示為,即當a=b時,軌跡為兩條直線y=x與y=-x;當ab時,軌跡為焦點在x軸上的兩條等軸雙曲線;當a0, b0)的右焦點F作B1B2軸,交雙曲線于B
8、1,B2兩點,B2與左焦點F1連線交雙曲線于B點,連結(jié)B1B交x軸于H點。求證:H的橫坐標為定值。證明 設點B,H,F(xiàn)的坐標分別為(asec,btan), (x0, 0), (c, 0),則F1,B1,B2的坐標分別為(-c, 0), (c, ), (c, ),因為F1,H分別是直線B2F,BB1與x軸的交點,所以 所以 。由得代入上式得即 (定值)。注:本例也可借助梅涅勞斯定理證明,讀者不妨一試。例7 設拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,經(jīng)過點F的直線交拋物線于A,B兩點,點C在準線上,且BC/x軸。證明:直線AC經(jīng)過定點。證明 設,則,焦點為,所以,。由于,所以y2-y1=0,即=0。
9、因為,所以。所以,即。所以,即直線AC經(jīng)過原點。例8 橢圓上有兩點A,B,滿足OAOB,O為原點,求證:為定值。證明 設|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=,則點A,B的坐標分別為A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由A,B在橢圓上有即 +得(定值)。4最值問題。例9 設A,B是橢圓x2+3y2=1上的兩個動點,且OAOB(O為原點),求|AB|的最大值與最小值。解 由題設a=1,b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,,參考例8可得=4。設m=|AB|2=,因為,且a2b2,所以,所以br1a,同理br2。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)
10、遞增,所以當t=1即|OA|=|OB|時,|AB|取最小值1;當或時,|AB|取最大值。例10 設一橢圓中心為原點,長軸在x軸上,離心率為,若圓C:1上點與這橢圓上點的最大距離為,試求這個橢圓的方程。解 設A,B分別為圓C和橢圓上動點。由題設圓心C坐標為,半徑|CA|=1,因為|AB|BC|+|CA|=|BC|+1,所以當且僅當A,B,C共線,且|BC|取最大值時,|AB|取最大值,所以|BC|最大值為因為;所以可設橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,t,橢圓方程為,并設點B坐標為B(2tcos,tsin),則|BC|2=(2tcos)2+=3t2sin2-3tsin+4t2=-3(tsi
11、n+)2+3+4t2.若,則當sin=-1時,|BC|2取最大值t2+3t+,與題設不符。若t,則當sin=時,|BC|2取最大值3+4t2,由3+4t2=7得t=1.所以橢圓方程為。5直線與二次曲線。例11 若拋物線y=ax2-1上存在關于直線x+y=0成軸對稱的兩點,試求a的取值范圍。解 拋物線y=ax2-1的頂點為(0,-1),對稱軸為y軸,存在關于直線x+y=0對稱兩點的條件是存在一對點P(x1,y1),(-y1,-x1),滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1,相減得x1+y1=a(),因為P不在直線x+y=0上,所以x1+y10,所以1=a(x1-y1),即x1=y1+所以此方程
12、有不等實根,所以,求得,即為所求。例12 若直線y=2x+b與橢圓相交,(1)求b的范圍;(2)當截得弦長最大時,求b的值。解 二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b20,得b0),則動點的軌跡是_.3橢圓上有一點P,它到左準線的距離是10,它到右焦點的距離是_.4雙曲線方程,則k的取值范圍是_.5橢圓,焦點為F1,F(xiàn)2,橢圓上的點P滿足F1PF2=600,則F1PF2的面積是_.6直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點A(3,-1)平分,則l的方程為_.7ABC的三個頂點都在拋物線y2=32x上,點A(2,8),且ABC的重心與這條拋物線的焦點重合,則直線BC的斜率為_.8已知雙曲線的兩條漸近線
13、方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0,一條準線方程為5y+4=0,則雙曲線方程為_.9已知曲線y2=ax,與其關于點(1,1)對稱的曲線有兩個不同的交點,如果過這兩個交點的直線的傾斜角為450,那么a=_.2-y2=a2上一點,的取值范圍是_.11已知橢圓與雙曲線有公共的焦點F1,F(xiàn)2,設P是它們的一個焦點,求F1PF2和PF1F2的面積。12已知(i)半圓的直徑AB長為2r;(ii)半圓外的直線l與BA的延長線垂直,垂足為T,設|AT|=2a(2a1)的一個頂點C(0,1)為直角頂點作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC,這樣的三角形最多可作_個.11求橢圓上任一點的兩條焦半徑夾角的正弦的最大值。12設F,O分別為橢圓的左焦點和中心,對于過點F的橢圓的任意弦AB,點O都在以AB為直徑的圓內(nèi),求橢圓離心率e的取值范圍。13已知雙曲線C1:(a0),拋物線C2的頂點在原點O,C2的焦點是C1的左焦點F1。(1)求證:C1,C2總有兩個不同的交點。(2)問:是否存在過C2的焦點F1的弦AB,使AOB的面積有最大值或最小值?若存在,求直線AB的方程與SAOB的最值,若不存在,說明理由。