高考數(shù)學(xué)回歸課本 圓錐曲線一教案 舊人教版

高考數(shù)學(xué)回歸課本教案第十一章 圓錐曲線一、基礎(chǔ)知識(shí)1橢圓的定義，第一定義：平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于定長（大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離）的點(diǎn)的軌跡，即|PF1|+|PF2|=2a (2a>|F1F2|=2c).第二定義：平面上到一個(gè)定點(diǎn)的距離與到一條定直線的距離之比為同一個(gè)常數(shù)e(0<e<1)的點(diǎn)的軌跡（其中定點(diǎn)不在定直線上），即(0<e<1).第三定義：在直角坐標(biāo)平面內(nèi)給定兩圓c1: x2+y2=a2, c2: x2+y2=b2, a, bR+且ab。從原點(diǎn)出發(fā)的射線交圓c1于P，交圓c2于Q，過P引y軸的平行線，過Q引x軸的平行線，兩條線的交點(diǎn)的軌跡即為橢圓。2橢圓的方程，如果以橢圓的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在的直線為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，由定義可求得它的標(biāo)準(zhǔn)方程，若焦點(diǎn)在x軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。若焦點(diǎn)在y軸上，列標(biāo)準(zhǔn)方程為 (a>b>0)。3橢圓中的相關(guān)概念，對(duì)于中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，a稱半長軸長，b稱半短軸長，c稱為半焦距，長軸端點(diǎn)、短軸端點(diǎn)、兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；與左焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線（即第二定義中的定直線）為，與右焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線為；定義中的比e稱為離心率，且，由c2+b2=a2知0<e<1.橢圓有兩條對(duì)稱軸，分別是長軸、短軸。4橢圓的焦半徑公式：對(duì)于橢圓1(a>b>0), F1(-c, 0), F2(c, 0)是它的兩焦點(diǎn)。若P(x, y)是橢圓上的任意一點(diǎn)，則|PF1|=a+ex, |PF2|=a-ex.5幾個(gè)常用結(jié)論：1）過橢圓上一點(diǎn)P(x0, y0)的切線方程為；2）斜率為k的切線方程為；3）過焦點(diǎn)F2(c, 0)傾斜角為的弦的長為。6雙曲線的定義，第一定義：滿足|PF1|-|PF2|=2a(2a<2c=|F1F2|, a>0)的點(diǎn)P的軌跡；第二定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線距離之比為常數(shù)e(>1)的點(diǎn)的軌跡。7雙曲線的方程：中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程為，參數(shù)方程為（為參數(shù)）。焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為。8雙曲線的相關(guān)概念，中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(a, b>0),a稱半實(shí)軸長，b稱為半虛軸長，c為半焦距，實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)為(-a, 0), (a, 0). 左、右焦點(diǎn)為F1(-c,0), F2(c, 0)，對(duì)應(yīng)的左、右準(zhǔn)線方程分別為離心率，由a2+b2=c2知e>1。兩條漸近線方程為，雙曲線與有相同的漸近線，它們的四個(gè)焦點(diǎn)在同一個(gè)圓上。若a=b，則稱為等軸雙曲線。9雙曲線的常用結(jié)論，1）焦半徑公式，對(duì)于雙曲線，F(xiàn)1（-c,0）, F2(c, 0)是它的兩個(gè)焦點(diǎn)。設(shè)P(x,y)是雙曲線上的任一點(diǎn)，若P在右支上，則|PF1|=ex+a, |PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，則|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.2) 過焦點(diǎn)的傾斜角為的弦長是。10拋物線：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線，點(diǎn)F叫焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。若取經(jīng)過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸，x軸與l相交于K，以線段KF的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)|KF|=p，則焦點(diǎn)F坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px(p>0)，離心率e=1.11拋物線常用結(jié)論：若P(x0, y0)為拋物線上任一點(diǎn)，1）焦半徑|PF|=；2）過點(diǎn)P的切線方程為y0y=p(x+x0)；3）過焦點(diǎn)傾斜角為的弦長為。12極坐標(biāo)系，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)為極點(diǎn)記為O，從O出發(fā)的射線為極軸記為Ox軸，這樣就建立了極坐標(biāo)系，對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P，記|OP|=,xOP=，則由（，）唯一確定點(diǎn)P的位置，（，）稱為極坐標(biāo)。13圓錐曲線的統(tǒng)一定義：到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)P，若0<e<1，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓；若e>1，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線的一支；若e=1，則點(diǎn)P的軌跡為拋物線。這三種圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為。二、方法與例題1與定義有關(guān)的問題。例1 已知定點(diǎn)A（2，1），F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)3|PA|+5|PF|取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。解 見圖11-1，由題設(shè)a=5, b=4, c=3,.橢圓左準(zhǔn)線的方程為，又因?yàn)椋渣c(diǎn)A在橢圓內(nèi)部，又點(diǎn)F坐標(biāo)為（-3，0），過P作PQ垂直于左準(zhǔn)線，垂足為Q。由定義知，則|PF|=|PQ|。所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)3|AM|(AM左準(zhǔn)線于M)。所以當(dāng)且僅當(dāng)P為AM與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入橢圓方程得，又x<0，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為例2 已知P，為雙曲線C：右支上兩點(diǎn)，延長線交右準(zhǔn)線于K，PF1延長線交雙曲線于Q，（F1為右焦點(diǎn)）。求證：F1K=KF1Q. 證明 記右準(zhǔn)線為l，作PDl于D，于E，因?yàn)?PD，則，又由定義，所以，由三角形外角平分線定理知，F(xiàn)1K為PF1P的外角平分線，所以=KF1Q。2求軌跡問題。例3 已知一橢圓及焦點(diǎn)F，點(diǎn)A為橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，求線段FA中點(diǎn)P的軌跡方程。解法一 利用定義，以橢圓的中心為原點(diǎn)O，焦點(diǎn)所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橢圓方程：=1（a>b>0）.F坐標(biāo)為(-c, 0).設(shè)另一焦點(diǎn)為。連結(jié)，OP，則。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.所以點(diǎn)P的軌跡是以F，O為兩焦點(diǎn)的橢圓（因?yàn)閍>|FO|=c），將此橢圓按向量m=(,0)平移，得到中心在原點(diǎn)的橢圓：。由平移公式知，所求橢圓的方程為解法二 相關(guān)點(diǎn)法。設(shè)點(diǎn)P(x,y), A(x1, y1)，則，即x1=2x+c, y1=2y. 又因?yàn)辄c(diǎn)A在橢圓上，所以代入得關(guān)于點(diǎn)P的方程為。它表示中心為，焦點(diǎn)分別為F和O的橢圓。例4 長為a, b的線段AB，CD分別在x軸，y軸上滑動(dòng)，且A，B，C，D四點(diǎn)共圓，求此動(dòng)圓圓心P的軌跡。解 設(shè)P(x, y)為軌跡上任意一點(diǎn)，A，B，C，D的坐標(biāo)分別為A(x-,0), B(x+,0), C(0, y-), D(0, y+), 記O為原點(diǎn)，由圓冪定理知|OA|OB|=|OC|OD|，用坐標(biāo)表示為，即當(dāng)a=b時(shí)，軌跡為兩條直線y=x與y=-x；當(dāng)a>b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在x軸上的兩條等軸雙曲線；當(dāng)a<b時(shí)，軌跡為焦點(diǎn)在y軸上的兩條等軸雙曲線。例5 在坐標(biāo)平面內(nèi)，AOB=，AB邊在直線l: x=3上移動(dòng)，求三角形AOB的外心的軌跡方程。解 設(shè)xOB=,并且B在A的上方，則點(diǎn)A，B坐標(biāo)分別為B(3, 3tan),A(3,3tan(-),設(shè)外心為P(x,y)，由中點(diǎn)公式知OB中點(diǎn)為M。由外心性質(zhì)知 再由得×tan=-1。結(jié)合上式有tan= 又 tan+= 又 所以tan-=兩邊平方，再將，代入得。即為所求。3定值問題。例6 過雙曲線(a>0, b>0)的右焦點(diǎn)F作B1B2軸，交雙曲線于B1，B2兩點(diǎn)，B2與左焦點(diǎn)F1連線交雙曲線于B點(diǎn)，連結(jié)B1B交x軸于H點(diǎn)。求證：H的橫坐標(biāo)為定值。證明 設(shè)點(diǎn)B，H，F(xiàn)的坐標(biāo)分別為(asec,btan), (x0, 0), (c, 0)，則F1，B1，B2的坐標(biāo)分別為(-c, 0), (c, ), (c, )，因?yàn)镕1，H分別是直線B2F，BB1與x軸的交點(diǎn)，所以 所以 。由得代入上式得即 （定值）。注：本例也可借助梅涅勞斯定理證明，讀者不妨一試。例7 設(shè)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在準(zhǔn)線上，且BC/x軸。證明：直線AC經(jīng)過定點(diǎn)。證明 設(shè)，則，焦點(diǎn)為，所以，。由于，所以y2-y1=0，即=0。因?yàn)椋?。所以，即。所以，即直線AC經(jīng)過原點(diǎn)。例8 橢圓上有兩點(diǎn)A，B，滿足OAOB，O為原點(diǎn)，求證：為定值。證明 設(shè)|OA|=r1,|OB|=r2,且xOA=,xOB=，則點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A(r1cos, r1sin),B(-r2sin,r2cos)。由A，B在橢圓上有即 +得（定值）。4最值問題。例9 設(shè)A，B是橢圓x2+3y2=1上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且OAOB（O為原點(diǎn)），求|AB|的最大值與最小值。解 由題設(shè)a=1，b=,記|OA|=r1,|OB|=r2,，參考例8可得=4。設(shè)m=|AB|2=,因?yàn)?，且a2>b2，所以，所以br1a，同理br2。又函數(shù)f(x)=x+在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)t=1即|OA|=|OB|時(shí)，|AB|取最小值1；當(dāng)或時(shí)，|AB|取最大值。例10 設(shè)一橢圓中心為原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心率為，若圓C：1上點(diǎn)與這橢圓上點(diǎn)的最大距離為，試求這個(gè)橢圓的方程。解 設(shè)A，B分別為圓C和橢圓上動(dòng)點(diǎn)。由題設(shè)圓心C坐標(biāo)為，半徑|CA|=1，因?yàn)閨AB|BC|+|CA|=|BC|+1，所以當(dāng)且僅當(dāng)A，B，C共線，且|BC|取最大值時(shí)，|AB|取最大值，所以|BC|最大值為因?yàn)?；所以可設(shè)橢圓半長軸、半焦距、半短軸長分別為2t,t，橢圓方程為，并設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為B(2tcos,tsin)，則|BC|2=(2tcos)2+=3t2sin2-3tsin+4t2=-3(tsin+)2+3+4t2.若，則當(dāng)sin=-1時(shí)，|BC|2取最大值t2+3t+，與題設(shè)不符。若t>,則當(dāng)sin=時(shí)，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.所以橢圓方程為。5直線與二次曲線。例11 若拋物線y=ax2-1上存在關(guān)于直線x+y=0成軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，試求a的取值范圍。解 拋物線y=ax2-1的頂點(diǎn)為(0,-1)，對(duì)稱軸為y軸，存在關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱兩點(diǎn)的條件是存在一對(duì)點(diǎn)P(x1,y1)，(-y1,-x1)，滿足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相減得x1+y1=a(),因?yàn)镻不在直線x+y=0上，所以x1+y10,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+所以此方程有不等實(shí)根，所以，求得，即為所求。例12 若直線y=2x+b與橢圓相交，（1）求b的范圍；（2）當(dāng)截得弦長最大時(shí)，求b的值。解 二方程聯(lián)立得17x2+16bx+4(b2>0，得<b<；設(shè)兩交點(diǎn)為P(x1,y1),Q(x2,y2)，由韋達(dá)定理得|PQ|=。所以當(dāng)b=0時(shí)，|PQ|最大。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題1A為半徑是R的定圓O上一定點(diǎn)，B為O上任一點(diǎn)，點(diǎn)P是A關(guān)于B的對(duì)稱點(diǎn)，則點(diǎn)P的軌跡是_.2一動(dòng)點(diǎn)到兩相交直線的距離的平方和為定值m2(>0)，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是_.3橢圓上有一點(diǎn)P，它到左準(zhǔn)線的距離是10，它到右焦點(diǎn)的距離是_.4雙曲線方程，則k的取值范圍是_.5橢圓，焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，橢圓上的點(diǎn)P滿足F1PF2=600，則F1PF2的面積是_.6直線l被雙曲線所截的線段MN恰被點(diǎn)A（3，-1）平分，則l的方程為_.7ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y2=32x上，點(diǎn)A（2，8），且ABC的重心與這條拋物線的焦點(diǎn)重合，則直線BC的斜率為_.8已知雙曲線的兩條漸近線方程為3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一條準(zhǔn)線方程為5y+4=0，則雙曲線方程為_.9已知曲線y2=ax，與其關(guān)于點(diǎn)（1，1）對(duì)稱的曲線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如果過這兩個(gè)交點(diǎn)的直線的傾斜角為450，那么a=_.2-y2=a2上一點(diǎn)，的取值范圍是_.11已知橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，設(shè)P是它們的一個(gè)焦點(diǎn)，求F1PF2和PF1F2的面積。12已知（i）半圓的直徑AB長為2r；（ii）半圓外的直線l與BA的延長線垂直，垂足為T，設(shè)|AT|=2a(2a<)；（iii）半圓上有相異兩點(diǎn)M，N，它們與直線l的距離|MP|，|NQ|滿足求證：|AM|+|AN|=|AB|。13給定雙曲線過點(diǎn)A（2，1）的直線l與所給的雙曲線交于點(diǎn)P1和P2，求線段P1P2的中點(diǎn)的軌跡方程。四、高考水平測(cè)試題1雙曲線與橢圓x2+4y2=64共焦點(diǎn)，它的一條漸近線方程是=0，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是_.2過拋物線焦點(diǎn)F的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若A，B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別是A1，B1，則A1FB1=_.3雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為F1，頂點(diǎn)為A1，A2，P是雙曲線上任一點(diǎn)，以|PF1|為直徑的圓與以|A1A2|為直徑的圓的位置關(guān)系為_.4橢圓的中心在原點(diǎn)，離心率，一條準(zhǔn)線方程為x=11，橢圓上有一點(diǎn)M橫坐標(biāo)為-1，M到此準(zhǔn)線異側(cè)的焦點(diǎn)F1的距離為_.54a2+b2=1是直線y=2x+1與橢圓恰有一個(gè)公共點(diǎn)的_條件.6若參數(shù)方程（t為參數(shù)）表示的拋物線焦點(diǎn)總在一條定直線上，這條直線的方程是_.7如果直線y=kx+1與焦點(diǎn)在x軸上的橢圓總有公共點(diǎn)，則m的范圍是_.8過雙曲線的左焦點(diǎn)，且被雙曲線截得線段長為6的直線有_條.9過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線l與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓恰好通過橢圓的右焦點(diǎn)F，則直線l的傾斜角為_.10以橢圓x2+a2y2=a2(a>1)的一個(gè)頂點(diǎn)C（0，1）為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的三角形最多可作_個(gè).11求橢圓上任一點(diǎn)的兩條焦半徑夾角的正弦的最大值。12設(shè)F，O分別為橢圓的左焦點(diǎn)和中心，對(duì)于過點(diǎn)F的橢圓的任意弦AB，點(diǎn)O都在以AB為直徑的圓內(nèi)，求橢圓離心率e的取值范圍。13已知雙曲線C1：(a>0)，拋物線C2的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，C2的焦點(diǎn)是C1的左焦點(diǎn)F1。（1）求證：C1，C2總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。（2）問：是否存在過C2的焦點(diǎn)F1的弦AB，使AOB的面積有最大值或最小值？若存在，求直線AB的方程與SAOB的最值，若不存在，說明理由。