新編高考數(shù)學一輪復習學案訓練課件： 第10章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第8節(jié) 二項分布與正態(tài)分布學案 理 北師大版

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1、 第八節(jié)　二項分布與正態(tài)分布 [考綱傳真]　(教師用書獨具)1.了解條件概率的概念，了解兩個事件相互獨立的概念.2.理解n次獨立重復試驗的模型及二項分布，并能解決一些簡單問題.3.借助直觀直方圖認識正態(tài)分布曲線的特點及曲線所表示的意義． (對應學生用書第185頁) [基礎知識填充] 1．條件概率 在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時A發(fā)生的條件概率，用符號P(A|B)來表示，其公式為P(A|B)＝(P(B)＞0)． 2．相互獨立事件 (1)一般地，對兩個事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A，B相互獨立． (2)如果A，B相互獨立

2、，則A與，與B，與也相互獨立． (3)如果A1，A2，…，An相互獨立，則有 P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 3．獨立重復試驗與二項分布 (1)獨立重復試驗 在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次試驗結果，則 P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)． (2)二項分布 進行n次試驗，如果滿足以下條件： ①每次試驗只有兩個相互對立的結果，可以分別稱為“成功”和“失敗”； ②每次試驗“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1－p； ③各次試驗是相互獨立的． 用X表示這n次

3、試驗中成功的次數(shù)，則 P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n) 若一個隨機變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，簡記為X～B(n，p)． 4．正態(tài)分布 (1)正態(tài)曲線的特點： ①曲線位于x軸上方，與x軸不相交； ②曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱； ③曲線在x＝μ處達到峰值； ④曲線與x軸之間的面積為1； ⑤當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移； ⑥當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散． (2)正態(tài)分布的三個常用數(shù)據(jù) ①

4、P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.3%； ②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.4%； ③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.7%. [基本能力自測] 1．(思考辨析)判斷下列結論的正誤．(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)相互獨立事件就是互斥事件．(　　) (2)若事件A，B相互獨立，則P(B|A)＝P(B)．(　　) (3)P(AB)表示事件A，B同時發(fā)生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．(　　) (4)在正態(tài)分布的分布密度上，函數(shù)：f(x)＝e中，σ是正態(tài)分布的標準差．(　　) (5)二項分布是一個用公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,

5、2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨立重復試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．(　　) [答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√ 2．已知P(B|A)＝，P(AB)＝，則P(A)等于(　　) A． B． C． D． C　[由P(AB)＝P(A)P(B|A)，得＝P(A)， 所以P(A)＝.] 3．(教材改編)小王通過英語聽力測試的概率是，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次獲得通過的概率是(　　) A．　　　　B．　　　　C．　　　　D． A　[所求概率P＝C··＝.] 4．(20xx·全國卷Ⅰ)投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試．已知某同學

6、每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(　　) A．0.648 B．0.432 C．0.36　　 D．0.312 A　[3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝C×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過測試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝C×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A．] 5．已知隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜4)＝________. 0.6　[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2. 又正態(tài)曲線關于x＝2對稱．

7、 則P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2， 所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.] (對應學生用書第186頁) 條件概率 　(1)(20xx·西寧檢測(一))盒中裝有10個乒乓球，其中6個新球，4個舊球，不放回地依次摸出2個球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的概率為(　　) A．　　　　　 B． C． D． (2)(20xx·東北三省三校二模)甲、乙兩人從1,2,3，…，10中各任取一數(shù)(不重復)，已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為________． (1)B　(2)　[(1)“第一次摸出新球”記為事件A，

8、則P(A)＝，“第二次摸出新球”記為事件B，則P(AB)＝＝， 所以P(B|A)＝＝＝，故選B． (2)由于已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，那么所有的取數(shù)的基本事件有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共18種，而滿足甲數(shù)大于乙數(shù)的基本事件有13種，故所求的概率為P＝.] [規(guī)律方法]　條件概率的兩種求法 (1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝求P(B|A). (2)基本事

9、件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝. (3)P(AB)的求法：AB即事件的交，即同時發(fā)生，法一、A與B相互獨立，用概率乘法公式.法二、A與B有公共基本事件時用古典概型. [跟蹤訓練]　(20xx·河北“五個一名校聯(lián)盟”二模)某個電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為(　　) 【導學號：79140372】 A． B． C． D． C　[設“開關第一次閉合后

10、出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P(A)＝，P(AB)＝，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝＝＝.故選C．] 相互獨立事件同時發(fā)生的概率 　(20xx·重慶調(diào)研(二))甲、乙、丙三人各自獨立地加工同一種零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率為，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率為，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率為，記A，B，C分別為甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件． (1)分別求出事件A，B，C的概率P(A)，P(B)，P(C)； (2

11、)從甲、乙、丙三人加工的零件中隨機各取1個進行檢驗，記這3個零件是一等品的個數(shù)為ξ，求隨機變量ξ的分布列． [解]　(1)由題設條件有 即 解得P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. (2)由(1)知P()＝，P()＝，P()＝，ξ的可能取值為0,1,2,3. ∴P(ξ＝0)＝P()＝××＝， P(ξ＝1)＝P(A)＋P(B)＋P(C) ＝××＋××＋××＝， P(ξ＝2)＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝××＋××＋××＝， P(ξ＝3)＝P(ABC)＝××＝. ∴ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P [規(guī)律方法]　求相互獨立事件同時發(fā)生的

12、概率的方法 (1)首先判斷幾個事件的發(fā)生是否相互獨立. (2)求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法主要有： ①利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解； ②正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算. (3)理解A＝12A3＋A123＋1A23的含義. [跟蹤訓練]　(20xx·南寧質(zhì)檢)某企業(yè)有甲、乙兩個研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設甲、乙兩組的研發(fā)相互獨立． (1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率； (2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預計企業(yè)可獲利潤100萬元．求該企業(yè)可獲利

13、潤的分布列． [解]　記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設知P(E)＝，P()＝，P(F)＝，P()＝，且事件E與F，E與，與F，與都相互獨立． (1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則＝，于是P()＝P()P()＝×＝. 故所求的概率為P(H)＝1－P()＝1－＝. (2)設企業(yè)可獲利潤為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.因為P(X＝0)＝P()＝×＝， P(X＝100)＝P(F)＝×＝， P(X＝120)＝P(E)＝×＝， P(X＝220)＝P(EF)＝×＝. 故所求X的分布列為 X 0 100 120 220

14、P 獨立重復試驗與二項分布 　一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得－200分)．設每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為；且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立． (1)設每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列； (2)玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？ [解]　(1)X的可能取值有－200,10,20,100. 根據(jù)題意，有P(X＝－200)＝C·＝， P(X＝10)＝C＝， P(

15、X＝20)＝C＝， P(X＝100)＝C＝. 所以X的分布列為 X －200 10 20 100 P (2)由(1)知：每盤游戲出現(xiàn)音樂的概率是 P＝＋＋＝. 則玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是 P1＝1－C＝. [規(guī)律方法]　1.獨立重復試驗的實質(zhì)及應用 獨立重復試驗的實質(zhì)是相互獨立事件的特例，應用獨立重復試驗公式可以簡化求概率的過程. 2.判斷某概率模型是否服從二項分布Pn(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k的三個條件 (1)在一次試驗中某事件A發(fā)生的概率是同一個常數(shù)p. (2)n次試驗不僅是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且每次試

16、驗的結果是相互獨立的. (3)該公式表示n次試驗中事件A恰好發(fā)生了k次的概率. [跟蹤訓練]　在一次數(shù)學考試中，第22題和第23題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設4名學生選做每一道題的概率均為. (1)求其中甲、乙兩名學生選做同一道題的概率； (2)設這4名學生中選做第23題的學生個數(shù)為ξ，求ξ的分布列． [解]　(1)設事件A表示“甲選做第22題”，事件B表示“乙選做第22題”，則甲、乙兩名學生選做同一道題的事件為“AB＋　”，且事件A、B相互獨立． 故P(AB＋　)＝P(A)P(B)＋P()P()＝×＋×＝. (2)隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，

17、且ξ～B，則P(ξ＝k)＝C 4－k＝C(k＝0,1,2,3,4)． 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 4 P 正態(tài)分布 　(1)(20xx·東北三省三校二模)已知隨機變量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)＝a，則P(X>2)的值為(　　) A． B． C．1－a D． (2)已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(　　) 【導學號：79140373】 (參考數(shù)據(jù)：若隨機變量ξ服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%

18、，P(μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%，P(μ－3σ＜ξ＜μ＋3σ)＝99.74%. A．4.56%　　　　　 B．13.59% C．27.18% D．31.74% (1)A　(2)B　[(1)根據(jù)正態(tài)分布可知P(|X|<2)＋2P(X>2)＝1，故P(X>2)＝，故選A． (2)由正態(tài)分布的概率公式知P(－3＜ξ＜3)＝0.682 6，P(－6＜ξ＜6)＝0.954 4，故P(3＜ξ＜6)＝＝＝0.135 9＝13.59%，故選B．] [規(guī)律方法]　解決有關正態(tài)分布的求概率問題的關鍵是充分利用正態(tài)曲線的對稱性及曲線與x軸之間的面積為1，把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉化

19、.解題時要充分結合圖形進行分析、求解，要注意數(shù)形結合思想及化歸思想的運用. (1)應熟記P(μ－σ100)＝＝0.2，所以該班學生數(shù)學成績在110分以上的人數(shù)為0.2×50＝10.]