《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布學(xué)案 理 北師大版》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新編高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案訓(xùn)練課件: 第10章 計(jì)數(shù)原理、概率、隨機(jī)變量及其分布 第8節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布學(xué)案 理 北師大版(9頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
第八節(jié) 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布
[考綱傳真] (教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解條件概率的概念,了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布,并能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義.
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第185頁(yè))
[基礎(chǔ)知識(shí)填充]
1.條件概率
在已知B發(fā)生的條件下,事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率,用符號(hào)P(A|B)來(lái)表示,其公式為P(A|B)=(P(B)>0).
2.相互獨(dú)立事件
(1)一般地,對(duì)兩個(gè)事件A,B,如果P(AB)=P(A)P(B),則稱A,B相互獨(dú)立.
(2)如果A,B相互獨(dú)立
2、,則A與,與B,與也相互獨(dú)立.
(3)如果A1,A2,…,An相互獨(dú)立,則有
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An).
3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)
在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果,則
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).
(2)二項(xiàng)分布
進(jìn)行n次試驗(yàn),如果滿足以下條件:
①每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果,可以分別稱為“成功”和“失敗”;
②每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p,“失敗”的概率均為1-p;
③各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.
用X表示這n次
3、試驗(yàn)中成功的次數(shù),則
P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n)
若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述,稱X服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布,簡(jiǎn)記為X~B(n,p).
4.正態(tài)分布
(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn):
①曲線位于x軸上方,與x軸不相交;
②曲線是單峰的,它關(guān)于直線x=μ對(duì)稱;
③曲線在x=μ處達(dá)到峰值;
④曲線與x軸之間的面積為1;
⑤當(dāng)σ一定時(shí),曲線的位置由μ確定,曲線隨著μ的變化而沿x軸平移;
⑥當(dāng)μ一定時(shí),曲線的形狀由σ確定,σ越小,曲線越“瘦高”,表示總體的分布越集中;σ越大,曲線越“矮胖”,表示總體的分布越分散.
(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)
①
4、P(μ-σ<X≤μ+σ)=68.3%;
②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=95.4%;
③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=99.7%.
[基本能力自測(cè)]
1.(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤.(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件.( )
(2)若事件A,B相互獨(dú)立,則P(B|A)=P(B).( )
(3)P(AB)表示事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率,一定有P(AB)=P(A)·P(B).( )
(4)在正態(tài)分布的分布密度上,函數(shù):f(x)=e中,σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差.( )
(5)二項(xiàng)分布是一個(gè)用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,
5、2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2.已知P(B|A)=,P(AB)=,則P(A)等于( )
A. B.
C. D.
C [由P(AB)=P(A)P(B|A),得=P(A),
所以P(A)=.]
3.(教材改編)小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是,他連續(xù)測(cè)試3次,那么其中恰有1次獲得通過(guò)的概率是( )
A. B. C. D.
A [所求概率P=C··=.]
4.(20xx·全國(guó)卷Ⅰ)投籃測(cè)試中,每人投3次,至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試.已知某同學(xué)
6、每次投籃投中的概率為0.6,且各次投籃是否投中相互獨(dú)立,則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為( )
A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
A [3次投籃投中2次的概率為P(k=2)=C×0.62×(1-0.6),投中3次的概率為P(k=3)=0.63,所以通過(guò)測(cè)試的概率為P(k=2)+P(k=3)=C×0.62×(1-0.6)+0.63=0.648.故選A.]
5.已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(ξ<4)=0.8,則P(0<ξ<4)=________.
0.6 [由P(ξ<4)=0.8,得P(ξ≥4)=0.2.
又正態(tài)曲線關(guān)于x=2對(duì)稱.
7、
則P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.2,
所以P(0<ξ<4)=1-P(ξ≤0)-P(ξ≥4)=0.6.]
(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第186頁(yè))
條件概率
(1)(20xx·西寧檢測(cè)(一))盒中裝有10個(gè)乒乓球,其中6個(gè)新球,4個(gè)舊球,不放回地依次摸出2個(gè)球使用,在第一次摸出新球的條件下,第二次也摸出新球的概率為( )
A. B.
C. D.
(2)(20xx·東北三省三校二模)甲、乙兩人從1,2,3,…,10中各任取一數(shù)(不重復(fù)),已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù),則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為_(kāi)_______.
(1)B (2) [(1)“第一次摸出新球”記為事件A,
8、則P(A)=,“第二次摸出新球”記為事件B,則P(AB)==,
所以P(B|A)===,故選B.
(2)由于已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù),那么所有的取數(shù)的基本事件有(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,6),(5,7),(5,8),(5,9),(5,10),(10,1),(10,2),(10,3),(10,4),(10,5),(10,6),(10,7),(10,8),(10,9),共18種,而滿足甲數(shù)大于乙數(shù)的基本事件有13種,故所求的概率為P=.]
[規(guī)律方法] 條件概率的兩種求法
(1)定義法:先求P(A)和P(AB),再由P(B|A)=求P(B|A).
(2)基本事
9、件法:借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A),再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB),得P(B|A)=.
(3)P(AB)的求法:AB即事件的交,即同時(shí)發(fā)生,法一、A與B相互獨(dú)立,用概率乘法公式.法二、A與B有公共基本事件時(shí)用古典概型.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”二模)某個(gè)電路開(kāi)關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍,已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為,兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為,則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140372】
A. B. C. D.
C [設(shè)“開(kāi)關(guān)第一次閉合后
10、出現(xiàn)紅燈”為事件A,“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B,則由題意可得P(A)=,P(AB)=,則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)===.故選C.]
相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率
(20xx·重慶調(diào)研(二))甲、乙、丙三人各自獨(dú)立地加工同一種零件,已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率為,乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率為,甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率為,記A,B,C分別為甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件.
(1)分別求出事件A,B,C的概率P(A),P(B),P(C);
(2
11、)從甲、乙、丙三人加工的零件中隨機(jī)各取1個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),記這3個(gè)零件是一等品的個(gè)數(shù)為ξ,求隨機(jī)變量ξ的分布列.
[解] (1)由題設(shè)條件有
即
解得P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(2)由(1)知P()=,P()=,P()=,ξ的可能取值為0,1,2,3.
∴P(ξ=0)=P()=××=,
P(ξ=1)=P(A)+P(B)+P(C)
=××+××+××=,
P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=,
P(ξ=3)=P(ABC)=××=.
∴ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
P
[規(guī)律方法] 求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的
12、概率的方法
(1)首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立.
(2)求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有:
①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解;
②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí),可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.
(3)理解A=12A3+A123+1A23的含義.
[跟蹤訓(xùn)練] (20xx·南寧質(zhì)檢)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和.現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立.
(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;
(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元.求該企業(yè)可獲利
13、潤(rùn)的分布列.
[解] 記E={甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功},F(xiàn)={乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}.由題設(shè)知P(E)=,P()=,P(F)=,P()=,且事件E與F,E與,與F,與都相互獨(dú)立.
(1)記H={至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功},則=,于是P()=P()P()=×=.
故所求的概率為P(H)=1-P()=1-=.
(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元,則X的可能取值為0,100,120,220.因?yàn)镻(X=0)=P()=×=,
P(X=100)=P(F)=×=,
P(X=120)=P(E)=×=,
P(X=220)=P(EF)=×=.
故所求X的分布列為
X
0
100
120
220
14、P
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布
一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下:每盤游戲都需要擊鼓三次,每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè),要么不出現(xiàn)音樂(lè);每盤游戲擊鼓三次后,出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分,出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分,出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分,沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得-200分).設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為;且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立.
(1)設(shè)每盤游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X,求X的分布列;
(2)玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少?
[解] (1)X的可能取值有-200,10,20,100.
根據(jù)題意,有P(X=-200)=C·=,
P(X=10)=C=,
P(
15、X=20)=C=,
P(X=100)=C=.
所以X的分布列為
X
-200
10
20
100
P
(2)由(1)知:每盤游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率是
P=++=.
則玩三盤游戲,至少有一盤出現(xiàn)音樂(lè)的概率是
P1=1-C=.
[規(guī)律方法] 1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用
獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例,應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程.
2.判斷某概率模型是否服從二項(xiàng)分布Pn(X=k)=Cpk(1-p)n-k的三個(gè)條件
(1)在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是同一個(gè)常數(shù)p.
(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn),而且每次試
16、驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的.
(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.
[跟蹤訓(xùn)練] 在一次數(shù)學(xué)考試中,第22題和第23題為選做題.規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題.設(shè)4名學(xué)生選做每一道題的概率均為.
(1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率;
(2)設(shè)這4名學(xué)生中選做第23題的學(xué)生個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列.
[解] (1)設(shè)事件A表示“甲選做第22題”,事件B表示“乙選做第22題”,則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB+ ”,且事件A、B相互獨(dú)立.
故P(AB+ )=P(A)P(B)+P()P()=×+×=.
(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4,
17、且ξ~B,則P(ξ=k)=C 4-k=C(k=0,1,2,3,4).
故ξ的分布列為
ξ
0
1
2
3
4
P
正態(tài)分布
(1)(20xx·東北三省三校二模)已知隨機(jī)變量X~N(0,σ2),若P(|X|<2)=a,則P(X>2)的值為( )
A. B.
C.1-a D.
(2)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為( )
【導(dǎo)學(xué)號(hào):79140373】
(參考數(shù)據(jù):若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-σ<ξ<μ+σ)=68.26%
18、,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.44%,P(μ-3σ<ξ<μ+3σ)=99.74%.
A.4.56% B.13.59%
C.27.18% D.31.74%
(1)A (2)B [(1)根據(jù)正態(tài)分布可知P(|X|<2)+2P(X>2)=1,故P(X>2)=,故選A.
(2)由正態(tài)分布的概率公式知P(-3<ξ<3)=0.682 6,P(-6<ξ<6)=0.954 4,故P(3<ξ<6)===0.135 9=13.59%,故選B.]
[規(guī)律方法] 解決有關(guān)正態(tài)分布的求概率問(wèn)題的關(guān)鍵是充分利用正態(tài)曲線的對(duì)稱性及曲線與x軸之間的面積為1,把待求區(qū)間內(nèi)的概率向已知區(qū)間內(nèi)的概率轉(zhuǎn)化
19、.解題時(shí)要充分結(jié)合圖形進(jìn)行分析、求解,要注意數(shù)形結(jié)合思想及化歸思想的運(yùn)用.
(1)應(yīng)熟記P(μ-σ100)==0.2,所以該班學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?10分以上的人數(shù)為0.2×50=10.]