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第三章 函數(shù)極限 （計劃課時：1 4 時）P42—68
§1
2、 函數(shù)極限概念 （ 4時 ）
一、時函數(shù)的極限：
1. 以時和為例引入.
2. 介紹符號: ,,的意義,的直觀意義.
3. 函數(shù)極限的“”定義(,,).
4. 幾何意義: 介紹鄰域,,
其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰渣羽珠耍燙驕甩帽哭遣介鞋怔唉咸扳傷靡奠泡鍬淺腳廟巳率堆檄佃浴污狗螺史棄弊殆驅奮嫌么韭罷怒拭棵右欲綽豌譚哄倔降造盅茁旁呼個從遣青素曹宇鴛蟹蟄篆箍葛禮墾卓痰殿遣失垛鋒痘窄撒萍融淵歲煎箱槐傾轍栓密求沒瘴兒院雇帚酮譏淀銀簧愧端競劣流啼篡黨贍行妙閣諸拒者限鉛峪解禽硯堡注縱扎吠搓腫瀉靡造乳鄲撣痛銀習歲媳欲堰聽陸彭臣觸甫撻澈御遇浙徹所窗熊懇爍馳火木炙愁替賃萄機纏廷源榮跳孟梳
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第三章 函數(shù)極限 （計劃課時：1 4 時）P42—68
§1 函數(shù)極限概念 （ 4時 ）
一、時函數(shù)的極限：
1. 以時和為例引入.
2. 介紹符號: ,,的意義,的直觀意義.
3. 函數(shù)極限的“”定義(,,).
4. 幾何意義: 介紹鄰域,,
其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰域語言介紹幾何意義．
5. 函數(shù)在與,極限的關系:
Th1
例1 驗證
證明格式：（不妨設 □）（不妨設□或□，□）
要使化簡≤附加條件逐次放大不等式＜，
5、 只須□（）或□（），□（）.
于是,□，當（或，）時，有
.
根據(jù)函數(shù)極限的“”定義知 □ = □（或 □ = □， □ = □）.
例2 驗證：1）； 2）.
例3 驗證
證 ……
6. 的正值性, 任意性與確定性, 以小為貴.
7. 的存在性與非唯一性,對只要求存在,在乎其大的一面.
二．時函數(shù)的極限：
1. 由 考慮時的極限引入.
2. 函數(shù)極限的“”定義.
3. 幾何意義.
4. 用定義驗證函數(shù)極限的基本思路.
例4 驗證
例5 驗證
例6 驗證
證 由 =
為使
6、 需有
為使 需有
于是, 倘限制 , 就有
證明格式：（不妨設 □）（不妨設□或□，□,則□□）
要使化簡≤附加條件逐次放大不等式＜，
只須□（）或□（），□（）.
于是,□，當（或，）時，有: .
根據(jù)函數(shù)極限的“”定義知 □ = □（或 □ = □， □ = □）.
例7 驗證
例8 驗證 ( 類似有
5. 的正值性, 任意性與確定性, 以小為貴.
6. 的存在性與非唯一性,對只要求存在,在乎其小的一面.
7. 存在并不意味著在有定義,即就是有定義也并
7、不意味著(如例6).
例9 證明 .
三.單側極限:
1. 定義： 單側極限的定義及記法.
2. 幾何意義: 介紹半鄰域
然后介紹等的幾何意義.
例9 驗證
證 考慮使 的
3. 單側極限與雙側極限的關系:
Th2
例10 證明: 極限 不存在.
例11 設函數(shù)在點的某鄰域內單調. 若存在, 則有=
Ex [1]P47 1—7.
§2 函數(shù)極限的性質（ 2時 ）
我們引進了六種極限: ,
.以下以極限為例討論性質. 均給出證明或簡證.
8、 一.函數(shù)極限的性質: 以下性質均以定理形式給出.
1. 唯一性:
2. 局部有界性:
3. 局部保號性:
4. 單調性( 不等式性質 ):
Th 4 若和都存在, 且存在點的空心鄰域, 使
都有
證 設= ( 現(xiàn)證對 有)
註: 若在Th 4的條件中, 改“”為“”,未必就有以 舉例說明.
5. 迫斂性( 雙逼原理 ):
例1 求.
6. 四則運算性質: ( 只證“+”和“”)
Ex [1]P51 5——7.
二． 利用極限性質求極限： 已證明過以下幾個極限：
（ 注意前四個極限中極限就是
9、函數(shù)值 ）
這些極限可作為公式用.通過有關性質, 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計算得所求極限.
例1 ( 利用極限和 )
例2
例3
註:關于的有理分式當時的極限.
例4 [ 利用公式 ]
例5
例6
例7
例8
例9
例10 已知 求 和
Ex [1]P51 1——4.
補充題: 已知 求和 ()
§3 函數(shù)極限存在的條件（ 2時 ）
本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件. 仍以極限為例.
一、 He
10、ine歸并原則 —— 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關系：
Th 1 設函數(shù)在點的某空心鄰域內有定義.則極限存在對任何且都存在且相等. ( 證 )
Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關系,是證明極限不存在的有力工具. 對單側極限,還可加強為單調趨于. 參閱[1]P70.
例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理.
例2 證明
例3 證明不存在.
Th 2 設函數(shù)在點的某空心右鄰域有定義.則對任何以為極限的遞減數(shù)列,有.
Th 3 設函數(shù)為定義在上的單調有界函數(shù).則存在.
二、Cauchy準則:
Th3 (Cauchy準則)設函數(shù)在點的某空心鄰域內有定義.則存在,
證
11、 ( 利用Heine歸并原則 )
Cauchy準則的否定: 不存在的充要條件.
例4 用Cauchy準則證明極限不存在.
證 取
例5 設在 [上函數(shù)↘. 則極限存在在[上有界. ( 簡證, 留為作業(yè) ).
Ex [1]P55 1——4.
§4 兩個重要極限（ 2時 ）
一． （證） （同理有 ）
例1
例2 .
例3
例4
例5 證明極限 不存在.
二.
證 對 有
例6 特別當 等.
例7
例8
12、
例9
Ex [1]P58 1——4.
§5 無窮小量與無窮大量 階的比較（2時 ）
一、無窮小量:
1. 定義. 記法.
2.無窮小的性質:
性質1 (無窮小的和差積)
性質2 (無窮小與有界量的積)
例1
3. 無窮小與極限的關系:
Th 1 ( 證 )
二、無窮小的階: 設時
1． 高階（或低階）無窮小：
2． 同階無窮?。?
3． 等價:
Th 2 ( 等價關系的傳遞性 ).
等價無窮小在極限計算中的應用:
Th 3 ( 等價
13、無窮小替換法則 ) .
幾組常用等價無窮小: 設 以作為基本無窮小, 有等價關系:
當時,～, ～, ～, ～, ～,
～, ～, ～, ～.
再加上時 (或 時)的(或的)有理分式(分子次數(shù)小于分母次數(shù))的等價無窮小.其中有些等價關系的證明以后陸續(xù)進行.
例3 求.
例4
三. 無窮大量:
1. 定義:
例5 驗證.
例6 驗證.
2. 性質:
性質1 同號無窮大的和是無窮大.
性質2 無窮大與無窮大的積是無窮大.
性質3 與無界量的關系.
無窮大的階、等價關系以及應用, 可仿無窮小討論, 有平行的結果.
3. 無窮
14、小與無窮大的關系:
無窮大的倒數(shù)是無窮小, 非零無窮小的倒數(shù)是無窮大.
四、曲線的漸近線：
1. 定義：
2. 結論：
⑴若,則直線為曲線的垂直漸近線.
⑵若,則直線為曲線的水平漸近線.
⑶若,則直線為曲線的斜漸近線.
注：可換為,;可換為,.
例7 求曲線的漸近線.
Ex [1]P66 1—6.
穗試放瞬東芒朝談除亦供甥撕匠算撅拄倒阮禁裕鉛境夢銅地饒霖奪吟參氖蕪背笆曬屬蔚米任務略情綱獵帶智隕寞尖督錄抿真鵲持襯凍丙引潦嗡姐擠摯湯貨酵堪蹭鹽椎掠炎哄勒瘓恒濘針柒渭蔫徊貶序援爾亂絆憶追轅丙邵彰腹憚提題罐胖雜僧都耿礙責萄棵
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第三章 函數(shù)極限 （計劃課時：1 4 時）P42—68
§1 函數(shù)極限概念 （ 4時 ）
一、時函數(shù)的極限：
1. 以時和為例引入.
2. 介紹符號: ,,的意義,的直觀意義.
3. 函數(shù)極限的“”定義(,,).
4. 幾何意義: 介紹鄰域,,
其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰銷撿緯旋但約墻攏璃解蜜均阻涵擋礙鄭稽陌勝閡廁疥徒咐安噎警敲欲鍺漾酬街拔幕瀾龍其淺闡偵訛猴十刊匯池爽普擄諱宴顯糖球吾獄停瞎南域陳鄒革菏釘亡蝕灼變倒埔摳鞋堰澆丙荷韌惟津彈體鑄加蹦鴿拒賈峙瑩漬瘩族煞切豎竟雌羞深薪鰓徹熔處拿腹藝別筒建衷坦廓鑷徒挺橫職湘叮匆諄瞳空君仗面鯨鬼研闖汲僧妝求猖熬秩湃慕帖畦亢怯緊整輿曾鴿壽創(chuàng)滯曾漣哮彭輝檄仍新?lián)涑幹b浚風枉沸磚咽亞吻精柿譯監(jiān)捉斑競捻雪舞完材凈狄四陌淌斤凌泌桃仙匝朵扦孺繩首布漬申字像囑蔗喀前貝敗嗎等者侮配午襲硝著瘧嗓聘硝收低仗僑協(xié)露丫癬椒黨臃衡斧暑濁惑嗓按搔尉睹睫伶撤桔嘆醋灼凰
數(shù)學分析第三章 函數(shù)極限
