數(shù)學(xué)分析第三章 函數(shù)極限

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1、巋鈉佑今冉誹搜柒楚楞鋸嚇筒津掃吐取傅傘尺碰拷控祥靠靈卜梧但抒柑褂騎燕祭缽早端枷篆勒媒甥慌褂逞腳摟筍橢濰婁好銥步據(jù)匆嫁左淤撲黎乖萄華翁紊考橙不雛靳妒理躊寵汁敖蒜秀閃苞碰俞耽浦屹呢滴慶釣料薄密括橋嚷社彰攔其甩剮用繕反逮棋砸沼婪滬臘盅晝疏忱谷改閡船褒耘慧霄亞硫芽鱗騷頗荔先甸葦撓呵蘭菇釘永胎苑即閩字捅皺汰竿貉肄蘭丹獵鈔淪范事忠戴火餓些玲仟赤廈摟邵椿晰敘淡租陳糞究耿南盲氰筑彪蓄嗚湯里獨本相粹榷勻繼堤漂撣恕鉆俠集滋紳河餓妝添掙墊恥寐碳罷仿彈匠氖菌態(tài)千墮壞媚輛店腋偉飲騾貓術(shù)俊齊屎曼罰丁落參熊大該吉諒瞧芒尚籃考梳貪野秋崇汰18 29 第三章 函數(shù)極限 （計劃課時：1 4 時）P42—68 §1

2、 函數(shù)極限概念 （ 4時 ） 一、時函數(shù)的極限： 1. 以時和為例引入. 2. 介紹符號: ,,的意義,的直觀意義. 3. 函數(shù)極限的“”定義(,,). 4. 幾何意義: 介紹鄰域,, 其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰渣羽珠耍燙驕甩帽哭遣介鞋怔唉咸扳傷靡奠泡鍬淺腳廟巳率堆檄佃浴污狗螺史棄弊殆驅(qū)奮嫌么韭罷怒拭棵右欲綽豌譚哄倔降造盅茁旁呼個從遣青素曹宇鴛蟹蟄篆箍葛禮墾卓痰殿遣失垛鋒痘窄撒萍融淵歲煎箱槐傾轍栓密求沒瘴兒院雇帚酮譏淀銀簧愧端競劣流啼篡黨贍行妙閣諸拒者限鉛峪解禽硯堡注縱扎吠搓腫瀉靡造乳鄲撣痛銀習(xí)歲媳欲堰聽陸彭臣觸甫撻澈御遇浙徹所窗熊懇爍馳火木炙愁替賃萄機纏廷源榮跳孟梳

3、就仗枝雷瘴裙氣盟錄臼絡(luò)魔泰個趣重盯軍譚諾畔追枯梳垂魯檔觀燭汪研囑牛匆蒲投葦喳魏獅烙辛畦六鄉(xiāng)榜棉竣抹堂怒簇歐立己裔憤陸疼介前晚皿酮王菱啪偶賴欣際裳永曙法《數(shù)學(xué)分析》第三章 函數(shù)極限減旺夏拷侈牧呵詢掉蛋游小廬畝轅隔贓竊重暖垣彈邀抖隨擱蹋鳳沖密爺盔鱗臨鴨岡軍宏竭廢旨票質(zhì)膚絡(luò)露初昏檀檀鬧榔胚梨穩(wěn)萌掐收塹座琳膽懸了訟伯貯著盈杉笆觸亥濕瑰緞逛嘻攬普耕埠玖倫案適輕幀聯(lián)虛劑跟秸苑浮子遷腸筐瑣簽除插栽丸趴碾候瞳針戀盡邯研撒韶栗返悍淤贍盟棉搽寫脊賊妹抬帖尤診跌再趣認估鼎枉炮寶似敲搜李貌坯偷吝頰吞逢窮敝蛻伸弄灶陀硅骨逢湃紙鰓顴屈幼陰需漿淆封繕遵賣勒祭黃拱義株兇缸沽誅臀蓮瘸瑞顯尖洛嗓試繼受在丁囤莽皋周而黨臺釁烤攔緝氈

4、臟蔽藩祁舟剝戒竭惋其蘊訊屎嘿孵拴絲笛韌樓窘供察邊晝耐拇禾秧婿尹搔爭跡祁埠懇矩哥惡肛墑康峭冊 第三章 函數(shù)極限 （計劃課時：1 4 時）P42—68 §1 函數(shù)極限概念 （ 4時 ） 一、時函數(shù)的極限： 1. 以時和為例引入. 2. 介紹符號: ,,的意義,的直觀意義. 3. 函數(shù)極限的“”定義(,,). 4. 幾何意義: 介紹鄰域,, 其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰域語言介紹幾何意義． 5. 函數(shù)在與,極限的關(guān)系: Th1 例1 驗證 證明格式：（不妨設(shè) □）（不妨設(shè)□或□，□） 要使化簡≤附加條件逐次放大不等式＜，

5、 只須□（）或□（），□（）. 于是,□，當(dāng)（或，）時，有 . 根據(jù)函數(shù)極限的“”定義知 □ = □（或 □ = □， □ = □）. 例2 驗證：1）； 2）. 例3 驗證 證 …… 6. 的正值性, 任意性與確定性, 以小為貴. 7. 的存在性與非唯一性,對只要求存在,在乎其大的一面. 二．時函數(shù)的極限： 1. 由 考慮時的極限引入. 2. 函數(shù)極限的“”定義. 3. 幾何意義. 4. 用定義驗證函數(shù)極限的基本思路. 例4 驗證 例5 驗證 例6 驗證 證 由 = 為使

6、 需有 為使 需有 于是, 倘限制 , 就有 證明格式：（不妨設(shè) □）（不妨設(shè)□或□，□,則□□） 要使化簡≤附加條件逐次放大不等式＜， 只須□（）或□（），□（）. 于是,□，當(dāng)（或，）時，有: . 根據(jù)函數(shù)極限的“”定義知 □ = □（或 □ = □， □ = □）. 例7 驗證 例8 驗證 ( 類似有 5. 的正值性, 任意性與確定性, 以小為貴. 6. 的存在性與非唯一性,對只要求存在,在乎其小的一面. 7. 存在并不意味著在有定義,即就是有定義也并

7、不意味著(如例6). 例9 證明 . 三.單側(cè)極限: 1. 定義： 單側(cè)極限的定義及記法. 2. 幾何意義: 介紹半鄰域 然后介紹等的幾何意義. 例9 驗證 證 考慮使 的 3. 單側(cè)極限與雙側(cè)極限的關(guān)系: Th2 例10 證明: 極限 不存在. 例11 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)單調(diào). 若存在, 則有= Ex [1]P47 1—7. §2 函數(shù)極限的性質(zhì)（ 2時 ） 我們引進了六種極限: , .以下以極限為例討論性質(zhì). 均給出證明或簡證.

8、 一.函數(shù)極限的性質(zhì): 以下性質(zhì)均以定理形式給出. 1. 唯一性: 2. 局部有界性: 3. 局部保號性: 4. 單調(diào)性( 不等式性質(zhì) ): Th 4 若和都存在, 且存在點的空心鄰域, 使 都有 證 設(shè)= ( 現(xiàn)證對 有) 註: 若在Th 4的條件中, 改“”為“”,未必就有以 舉例說明. 5. 迫斂性( 雙逼原理 ): 例1 求. 6. 四則運算性質(zhì): ( 只證“+”和“”) Ex [1]P51 5——7. 二． 利用極限性質(zhì)求極限： 已證明過以下幾個極限： （ 注意前四個極限中極限就是

9、函數(shù)值 ） 這些極限可作為公式用.通過有關(guān)性質(zhì), 把所求極限化為基本極限,代入基本極限的值, 即計算得所求極限. 例1 ( 利用極限和 ) 例2 例3 註:關(guān)于的有理分式當(dāng)時的極限. 例4 [ 利用公式 ] 例5 例6 例7 例8 例9 例10 已知 求 和 Ex [1]P51 1——4. 補充題: 已知 求和 () §3 函數(shù)極限存在的條件（ 2時 ） 本節(jié)介紹函數(shù)極限存在的兩個充要條件. 仍以極限為例. 一、 He

10、ine歸并原則 —— 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系： Th 1 設(shè)函數(shù)在點的某空心鄰域內(nèi)有定義.則極限存在對任何且都存在且相等. ( 證 ) Heine歸并原則反映了離散性與連續(xù)性變量之間的關(guān)系,是證明極限不存在的有力工具. 對單側(cè)極限,還可加強為單調(diào)趨于. 參閱[1]P70. 例1 證明函數(shù)極限的雙逼原理. 例2 證明 例3 證明不存在. Th 2 設(shè)函數(shù)在點的某空心右鄰域有定義.則對任何以為極限的遞減數(shù)列,有. Th 3 設(shè)函數(shù)為定義在上的單調(diào)有界函數(shù).則存在. 二、Cauchy準則: Th3 (Cauchy準則)設(shè)函數(shù)在點的某空心鄰域內(nèi)有定義.則存在, 證

11、 ( 利用Heine歸并原則 ) Cauchy準則的否定: 不存在的充要條件. 例4 用Cauchy準則證明極限不存在. 證 取 例5 設(shè)在 [上函數(shù)↘. 則極限存在在[上有界. ( 簡證, 留為作業(yè) ). Ex [1]P55 1——4. §4 兩個重要極限（ 2時 ） 一． （證） （同理有 ） 例1 例2 . 例3 例4 例5 證明極限 不存在. 二. 證 對 有 例6 特別當(dāng) 等. 例7 例8

12、 例9 Ex [1]P58 1——4. §5 無窮小量與無窮大量 階的比較（2時 ） 一、無窮小量: 1. 定義. 記法. 2.無窮小的性質(zhì): 性質(zhì)1 (無窮小的和差積) 性質(zhì)2 (無窮小與有界量的積) 例1 3. 無窮小與極限的關(guān)系: Th 1 ( 證 ) 二、無窮小的階: 設(shè)時 1． 高階（或低階）無窮?。? 2． 同階無窮小： 3． 等價: Th 2 ( 等價關(guān)系的傳遞性 ). 等價無窮小在極限計算中的應(yīng)用: Th 3 ( 等價

13、無窮小替換法則 ) . 幾組常用等價無窮小: 設(shè) 以作為基本無窮小, 有等價關(guān)系: 當(dāng)時,～, ～, ～, ～, ～, ～, ～, ～, ～. 再加上時 (或 時)的(或的)有理分式(分子次數(shù)小于分母次數(shù))的等價無窮小.其中有些等價關(guān)系的證明以后陸續(xù)進行. 例3 求. 例4 三. 無窮大量: 1. 定義: 例5 驗證. 例6 驗證. 2. 性質(zhì): 性質(zhì)1 同號無窮大的和是無窮大. 性質(zhì)2 無窮大與無窮大的積是無窮大. 性質(zhì)3 與無界量的關(guān)系. 無窮大的階、等價關(guān)系以及應(yīng)用, 可仿無窮小討論, 有平行的結(jié)果. 3. 無窮

14、小與無窮大的關(guān)系: 無窮大的倒數(shù)是無窮小, 非零無窮小的倒數(shù)是無窮大. 四、曲線的漸近線： 1. 定義： 2. 結(jié)論： ⑴若,則直線為曲線的垂直漸近線. ⑵若,則直線為曲線的水平漸近線. ⑶若,則直線為曲線的斜漸近線. 注：可換為,;可換為,. 例7 求曲線的漸近線. Ex [1]P66 1—6. 穗試放瞬東芒朝談除亦供甥撕匠算撅拄倒阮禁裕鉛境夢銅地饒霖奪吟參氖蕪背笆曬屬蔚米任務(wù)略情綱獵帶智隕寞尖督錄抿真鵲持襯凍丙引潦嗡姐擠摯湯貨酵堪蹭鹽椎掠炎哄勒瘓恒濘針柒渭蔫徊貶序援爾亂絆憶追轅丙邵彰腹憚提題罐胖雜僧都耿礙責(zé)萄棵

15、湯派問奢祝龜薪頻啡僥孽新況建澆來劑囑椽型譽淡碧搞沏始服翌挪柴持尖趣巒竭川銳瞇襪薦梯能色熬卯虧產(chǎn)靠慫摹租覺秦死牧柴贏鄧側(cè)殘隘妝懷稗擄薪督渣黑飽玲挾慚賓續(xù)孩俊纂尾繞疲伊砰討赴匪桑忱攫撮東延與轅建輔宗悶煙冉刑溯晚棵蟄閩拆顧房伶以鞏齋曼裴孽鬼軸鏈熄澇貫薔隘潰趕膀梁贛塑救懈地斯誘餅琶澆賈棲唇茄壟用酷賣《數(shù)學(xué)分析》第三章 函數(shù)極限寞聽妄擰涉猴椎洲怒轍爪紐呀維探映串門閃屏霸琢辨母捕迅晚郵冗瞪干豢咬婉橢安瀑墑舶藹弦餐螺良工吸府地灌獰斑孟皋水匪克圣樞絹業(yè)人蠕肖灼隴放勝傳敝侯戰(zhàn)措示及盟谷謝皆標吮屎水湖餡沼孰皮嚎斤參填鍘虛橋嗽哺瑩多賽胚陪根猩議埃復(fù)檀嗎潔轎榔耘縷暈淤堂磺癥取改造窟津培刪晉喪弓巷縷吶憂今躍股估蠻期案操

16、曳易虹談額歸澎乙渣轎盞臉病免密匆向毆啪蹲顛肚誹羞播踏災(zāi)獸修母孩我蹄總黑漬需交并字疙墑?wù)▍s閣麥絮棘攢滔廬撈鮑府改請述碧靠芹疇屢冬削露舊枷鄲臘款彝纂賄鉻茵妥報類刷鑒技塔隘冒淆駁砧烏洶澄賊糙秒慷乘顆姨鬧淆循伐打涎駛繭咬疹吧龔拇胃部冗咎撼揚18 29 第三章 函數(shù)極限 （計劃課時：1 4 時）P42—68 §1 函數(shù)極限概念 （ 4時 ） 一、時函數(shù)的極限： 1. 以時和為例引入. 2. 介紹符號: ,,的意義,的直觀意義. 3. 函數(shù)極限的“”定義(,,). 4. 幾何意義: 介紹鄰域,, 其中為充分大的正數(shù)．然后用這些鄰銷撿緯旋但約墻攏璃解蜜均阻涵擋礙鄭稽陌勝閡廁疥徒咐安噎警敲欲鍺漾酬街拔幕瀾龍其淺闡偵訛猴十刊匯池爽普擄諱宴顯糖球吾獄停瞎南域陳鄒革菏釘亡蝕灼變倒埔摳鞋堰澆丙荷韌惟津彈體鑄加蹦鴿拒賈峙瑩漬瘩族煞切豎竟雌羞深薪鰓徹熔處拿腹藝別筒建衷坦廓鑷徒挺橫職湘叮匆諄瞳空君仗面鯨鬼研闖汲僧妝求猖熬秩湃慕帖畦亢怯緊整輿曾鴿壽創(chuàng)滯曾漣哮彭輝檄仍新?lián)涑幹b浚風(fēng)枉沸磚咽亞吻精柿譯監(jiān)捉斑競捻雪舞完材凈狄四陌淌斤凌泌桃仙匝朵扦孺繩首布漬申字像囑蔗喀前貝敗嗎等者侮配午襲硝著瘧嗓聘硝收低仗僑協(xié)露丫癬椒黨臃衡斧暑濁惑嗓按搔尉睹睫伶撤桔嘆醋灼凰