《2013年高考數(shù)學(xué)（理科）真題分類匯編N單元選修4系列》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2013年高考數(shù)學(xué)（理科）真題分類匯編N單元選修4系列（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、N單元 選修4系列N1選修4-1 幾何證明選講圖1622N12013新課標全國卷 選修41：幾何證明選講如圖16所示，直線AB為圓的切線，切點為B，點C在圓上，ABC的角平分線BE交圓于點E，DB垂直BE交圓于點D.(1)證明：DBDC；(2)設(shè)圓的半徑為1，BC，延長CE交AB于點F，求BCF外接圓的半徑22解：(1)證明：聯(lián)結(jié)DE，交BC于點G.由弦切角定理得，ABEBCE.而ABECBE，故CBEBCE，BECE.又因為DBBE，所以DE為直徑，DCE90，由勾股定理可得DBDC.(2)由(1)知，CDEBDE，DBDC，故DG是BC的中垂線，所以BG.設(shè)DE的中點為O，聯(lián)結(jié)BO，則BO
2、G60.從而ABEBCECBE30，所以CFBF，故RtBCF外接圓的半徑等于.15N12013廣東卷 (幾何證明選講選做題)如圖13所示，AB是圓O的直徑，點C在圓O上，延長BC到D使BCCD，過C作圓O的切線交AD于E.若AB6，ED2，則BC_圖13152 解析 由題知ACB90，又BCCD，ADAB6，BACCAE，AEADED4.CE為切線，ACEABC.ACECAEABCBAC90.在ACD中，ACD90，CEAD，CD2EDDA12，解得CD2 ，故BC2 .圖1515N12013湖北卷 (選修41：幾何證明選講)如圖15所示，圓O上一點C在直徑AB上的射影為D，點D在半徑OC上
3、的射影為E.若AB3AD，則的值為_158解析 設(shè)AB6k，則AD2k，DOk，CO3k，設(shè)EOx，由射影定理：DO2EOCO，k2x3k，x，故8.圖1311N12013湖南卷 如圖12所示，在半徑為的O中，弦AB，CD相交于點P.PAPB2，PD1，則圓心O到弦CD的距離為_11.解析 由相交弦定理可知PAPBPCPD，得PC4，故弦CD5，又半徑r，記圓心O到直線CD的距離為d，則d27，即d2，故d.21N12013江蘇卷 A選修41：幾何證明選講如圖11所示，AB和BC分別與圓O相切于點D，C，AC經(jīng)過圓心O，且BC2OC.求證：AC2AD.圖11證明：聯(lián)結(jié)OD，因為AB和BC分別與
4、圓O相切于點D，C，所以ADOACB90.又因為AA，所以RtADORtACB，所以.又BC2OC2OD.故AC2AD.11N12013北京卷 如圖12，AB為圓O的直徑，PA為圓O的切線，PB與圓O相交于D，若PA3，PDDB916，則PD_，AB_圖1211.4解析 由于PDDB916，設(shè)PD9a，則DB16a，PB25a，根據(jù)切割線定理有PA2PDPB，a，PD，PB5.又PBA為直角三角形，AB2AP2PB2，AB4.22N12013遼寧卷 選修41：幾何證明選講如圖，AB為O的直徑，直線CD與O相切于E，AD垂直CD于D，BC垂直CD于C，EF垂直AB于F，聯(lián)結(jié)AE，BE.證明：(1
5、)FEBCEB；(2)EF2ADBC.圖1822證明：(1)由直線CD與O相切，得CEBEAB.由AB為O的直徑，得AEEB，從而EABEBF.又EFAB，得FEBEBF，從而FEBEAB.故FEBCEB.(2)由BCCE，EFAB，F(xiàn)EBCEB，BE是公共邊，得RtBCERtBFE，所以BCBF.類似可證，RtADERtAFE，得ADAF.又在RtAEB中，EFAB，故EF2AFBF，所以EF2ADBC.N12013陜西卷 B(幾何證明選做題)如圖14，弦AB與CD相交于O內(nèi)一點E，過E作BC的平行線與AD的延長線相交于點P，已知PD2DA2，則PE_.圖14解析 利用已知可得，BCEPED
6、BAP，可得PDEPEA，可得，而PD2DA2，則PA3，則PE2PAPD6，PE.15C8，E8，N12013四川卷 設(shè)P1，P2，Pn為平面內(nèi)的n個點，在平面內(nèi)的所有點中，若點P到P1，P2，Pn點的距離之和最小，則稱點P為P1，P2，Pn點的一個“中位點”例如，線段AB上的任意點都是端點A，B的中位點則有下列命題：若A，B，C三個點共線，C在線段AB上，則C是A，B，C的中位點；直角三角形斜邊的中點是該直角三角形三個頂點的中位點；若四個點A，B，C，D共線，則它們的中位點存在且唯一；梯形對角線的交點是該梯形四個頂點的唯一中位點其中的真命題是_(寫出所有真命題的序號)15解析 對于，如果中
7、位點不在直線AB上，由三角形兩邊之和大于第三邊可知與題意矛盾而當(dāng)中位點在直線AB上時，如果不與C重合，則|PA|PB|PC|PA|PB|也不符合題意，故C為唯一的中位點，正確；對于，我們?nèi)⌒边呴L為4的等腰直角三角形，此時，斜邊中點到三個頂點的距離均為2，和為6；而我們?nèi)⌒边吷现芯€的中點，該點到直角頂點的距離為1，到兩底角頂點的距離均為，顯然2 16，故該直角三角形的斜邊中點不是中位點，錯誤；對于，當(dāng)A，B，C，D四點共線時，不妨設(shè)他們的順序就是A，B，C，D，則當(dāng)點P在B，C之間運動時，點P到A，B，C，D四點的距離之和相等且最小，即這個時候的中位點有無窮多個，錯誤；對于，同樣根據(jù)三角形兩邊之
8、和大于第三邊的性質(zhì)，如果中位點不在對角線的交點上，則距離之和肯定不是最小的，正確13N12013天津卷 如圖12所示，ABC為圓的內(nèi)接三角形，BD為圓的弦，且BDAC.過點A作圓的切線與DB的延長線交于點E，AD與BC交于點F，若ABAC，AE6，BD5，則線段CF的長為_圖1213.解析 由切割線定理可得EA2EBED，有EB4，ED9.因為ABAC，所以ABCCADB，由弦切角定理可得EABADB，所以EABABC，故AEBC.又BDAC，所以四邊形AEBC是平行四邊形，可得BCAE6，又由平行線分線段成比例定理可得，因為AE6，所以BF，故CFBCBF.22N12013新課標全國卷 選修
9、41：幾何證明選講：如圖15，CD為ABC外接圓的切線，AB的延長線交直線CD于點D，E，F(xiàn)分別為弦AB與弦AC上的點，且BCAEDCAF，B，E，F(xiàn)，C四點共圓(1)證明：CA是ABC外接圓的直徑；(2)若DBBEEA，求過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值圖1522解：(1)證明：因為CD為ABC外接圓的切線，所以DCBA，由題設(shè)知，故CDBAEF，所以DBCEFA.因為B，E，F(xiàn)，C四點共圓，所以CFEDBC，故EFACFE90.所以CBA90，因此CA是ABC外接圓的直徑(2)聯(lián)結(jié)CE，因為CBE90，所以過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的直徑為CE，由DBBE，有CEDC，
10、又BC2DBBA2DB2，所以CA24DB2BC26DB2.而DC2DBDA3DB2，故過B，E，F(xiàn)，C四點的圓的面積與ABC外接圓面積的比值為.1614N12013重慶卷 如圖16所示，在ABC中，C90，A60，AB20，過C作ABC的外接圓的切線CD，BDCD，BD與外接圓交于點E，則DE的長為_145解析 聯(lián)結(jié)CE.由弦切角定理知BCDA60，所以在RtBCD中，CBD30.又在RtABC中，ABC30，ACAB10，所以CEAC10.在RtCDE中，DCE30，故DECE5.N2選修4-2 矩陣212013福建卷 N2()選修42：矩陣與變換已知直線l：axy1在矩陣A)對應(yīng)的變換作
11、用下變?yōu)橹本€l：xby1.(1)求實數(shù)a，b的值；(2)若點P(x0，y0)在直線l上，且A)，求點P的坐標()解：(1)設(shè)直線l：axy1上任意點M(x，y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M(x，y)由)，得又點M(x，y)在l上，所以xby1，即x(b2)y1.依題意得解得(2)由A)，得解得y00.又點P(x0，y0)在直線l上，所以x01.故點P的坐標為(1，0)N22013江蘇卷 B選修42：矩陣與變換已知矩陣A1,0)0,2)，B1,0)2,6)，求矩陣A1B.解：設(shè)矩陣A的逆矩陣為a,c)b,d)，則1,0)0,2)a,c)b,d)1,0)0,1)即a,2c)b,2d)1,0)0
12、,1)，故a1，b0，c0，d，從而A的逆矩陣為A10,)所以A1B0,)1,0)2,6)1,0)2,3)2N2，N32013浙江卷 已知aR“矩陣與變換和坐標系與參數(shù)方程”模塊(1)以極坐標系Ox的極點O為原點，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標系xOy，并在兩種坐標系中取相同的長度單位把極坐標方程cos 2sin 1化成直角坐標方程(2)在直角坐標系xOy中，曲線C：(為參數(shù))，過點P(2，1)的直線與曲線C交于A，B兩點若|PA|PB|，求|AB|的值2解：(1)極坐標方程兩邊同乘以得cos 3sin .又在直角坐標系下，cos x，sin y，2x2y2，故化成直角坐標方程為xy(x
13、2y2).又(0，0)滿足原極坐標方程故所求的直角坐標方程為xy(x2y2).(2)由題意，曲線C的直角坐標方程為x22y22.設(shè)過點P(2，1)，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))及點A，B對應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2.將直線的參數(shù)方程代入x22y22得(2tcos )22(1tsin )220.即(1sin2)t24(sin cos )t40.則16(2sin cos sin2 )0，且t1t2，t1t2，由|PA|PB|得|t1t2|.故sin2 .又由0得0tan 2.故t1t2，t1t2.所以|AB|t1t2|.N3選修4-4 參數(shù)與參數(shù)方程23N32013新課標全國卷 選修44：
14、坐標系與參數(shù)方程已知曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為2sin .(1)把C1的參數(shù)方程化為極坐標方程；(2)求C1與C2交點的極坐標(0，02)23解：(1)將消去參數(shù)t，化為普通方程(x4)2(y5)225，即C1：x2y28x10y160.將代入x2y28x10y160，得28cos 10sin 160.所以C1的極坐標方程為28cos 10sin 160.(2)C2的普通方程為x2y22y0，由解得或所以C1與C2交點的極坐標分別為，.7N32013安徽卷 在極坐標系中，圓2cos 的垂直于極軸的兩條切線方程分別為
15、()A0(R)和cos 2 B(R)和cos 2C(R)和cos 1 D0(R)和cos 17B解析 圓的直角坐標方程為x2y22x0，故垂直于極軸的兩條切線的直角坐標方程為x0，x2，其極坐標方程分別為(R)和cos 2.9N32013北京卷 在極坐標系中，點到直線sin 2的距離等于_91解析 極坐標系中點的對應(yīng)直角坐標系中的點的坐標為(，1)，極坐標系中直線sin 2對應(yīng)直角坐標系中直線方程為y2，所以距離為1.N3()選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知點A的極坐標為，直線l的極坐標方程為cosa，且點A在直線l上(1)
16、求a的值及直線l的直角坐標方程；(2)圓C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試判斷直線l與圓C的位置關(guān)系()解：(1)由點A，在直線cosa上，可得a.所以直線l的方程可化為cos sin 2，從而直線l的直角坐標方程為xy20.(2)由已知得圓C的直角坐標方程為(x1)2y21.所以圓C的圓心為(1，0)，半徑r1，因為圓心C到直線l的距離db0)在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，直線l與圓O的極坐標方程分別為sinm(m為非零常數(shù))與b.若直線l經(jīng)過橢圓C的焦點，且與圓O相切，則橢圓C的離心率為_16.解析 直線l的直角坐標方程為xym0，圓O
17、的直角坐標方程為x2y2b2，由直線與圓相切得：m22b2.又橢圓C的一般方程為1，直線過橢圓焦點，故mc，所以c22b2e.9N32013湖南卷 在平面直角坐標系xOy中，若直線l：(t為參數(shù))過橢圓C：(為參數(shù))的右頂點，則常數(shù)a的值為_93解析 將參數(shù)方程化為普通方程可得，直線l：即yxa，橢圓C：即1，可知其右頂點為(3，0)，代入直線方程可得a3.N32013江蘇卷 C選修44：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，試求直線l和曲線C的普通方程，并求出它們的公共點的坐標解：因為直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，由xt1得
18、tx1，代入y2t，得到直線l的普通方程為2xy20.同理得到曲線C的普通方程為y22x.聯(lián)立方程組解得公共點的坐標為(2，2)，1.152013江西卷 N3(1)(坐標系與參數(shù)方程選做題)設(shè)曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，若以直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，則曲線C的極坐標方程為_N42013江西卷 (2)(不等式選做題)在實數(shù)范圍內(nèi)，不等式|x2|1|1的解集為_15(1)cos2sin 0(2)解析 (1)曲線方程為yx2，將ysin ，xcos 代入得cos2sin 0.(2)1|x2|110|x2|22x22，得0x4.23N32013遼寧卷 選修44：坐標系
19、與參數(shù)方程在直角坐標系xOy中，以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系圓C1，直線C2的極坐標方程分別為4sin ，cos2 .(1)求C1與C2交點的極坐標；(2)設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點連線的中點已知直線PQ的參數(shù)方程為(tR為參數(shù))，求a，b的值23解：(1)圓C1的直角坐標方程為x2(y2)24，直線C2的直角坐標方程為xy40.解得所以C1與C2交點的極坐標為，.注：極坐標系下點的表示不唯一(2)由(1)可得，P點與Q點的直角坐標分別為(0，2)，(1，3)，故直線PQ的直角坐標方程為xy20.由參數(shù)方程可得yx1，所以解得a1，b2.CN32013陜西卷 (坐標系與參
20、數(shù)方程選做題)如圖15，以過原點的直線的傾斜角為參數(shù)，則圓x2y2x0的參數(shù)方程為_圖15(為參數(shù))解析 設(shè)P(x，y)，則隨著取值變化，P可以表示圓上任意一點，由所給的曲線方程x2y2x0x2y2，表示以，0為圓心，半徑為的圓，可得弦OP1cos，所以可得故已知圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))11N32013天津卷 已知圓的極坐標方程為4cos ，圓心為C，點P的極坐標為4，則|CP|_.112 解析 圓的極坐標方程為4cos ，圓心C的直角坐標為(2，0)P點極坐標，化為直角坐標為(2，2)，|CP|2 .23N32013新課標全國卷 選修44：坐標系與參數(shù)方程已知動點P，Q都在曲線C：(t為參數(shù)
21、)上，對應(yīng)參數(shù)分別為t與t2(02)，M為PQ的中點(1)求M的軌跡的參數(shù)方程；(2)將M到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷M的軌跡是否過坐標原點23解：(1)依題意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)(2)M點到坐標原點的距離d(00，且t1t2，t1t2，由|PA|PB|得|t1t2|.故sin2 .又由0得0tan 2.故t1t2，t1t2.所以|AB|t1t2|.15N32013重慶卷 在直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系若極坐標方程為c
22、os 4的直線與曲線(t為參數(shù))相交于A，B兩點，則|AB|_1516解析 直線的普通方程為x4，代入曲線的參數(shù)方程 得t2，當(dāng)t2時x4，y8；當(dāng)t2時x4，y8，即有A(4，8)，B(4，8)，于是|AB|8(8)16. N4()選修45：不等式選講24N42013新課標全國卷 選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)設(shè)a1，且當(dāng)x時，f(x)g(x)，求a的取值范圍24解：(1)當(dāng)a2時，不等式f(x)g(x)化為|2x1|2x2|x30.設(shè)函數(shù)y|2x1|2x2|x3，則y其圖像如圖所示，從圖像可知，當(dāng)
23、且僅當(dāng)x(0，2)時，y0，所以原不等式的解集是x|0x2(2)當(dāng)x時，f(x)1a.不等式f(x)g(x)化為1ax3.所以xa2對x都成立，故a2，即a，從而a的取值范圍是設(shè)不等式|x2|a(aN*)的解集為A，且A，A.(1)求a的值；(2)求函數(shù)f(x)|xa|x2|的最小值()解：(1)因為A，且A，所以a，且a.解得0，求證：2a3b32ab2a2b.證明：2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2ab)(ab)(ab)(2ab)因為ab0，所以ab0，ab0，2ab0.從而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.24.N42013
24、遼寧卷 選修45：不等式選講已知函數(shù)f(x)|xa|，其中a1.(1)當(dāng)a2時，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2xa)2f(x)|2的解集為，求a的值24解：(1)當(dāng)a2時，f(x)|x4|當(dāng)x2時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x1；當(dāng)2x4時，f(x)4|x4|無解；當(dāng)x4時，由f(x)4|x4|得2x64，解得x5；所以f(x)4|x4|的解集為x|x1或x5(2)記h(x)f(2xa)2f(x)，則h(x)由|h(x)|2，解得x.又已知|h(x)|2的解集為x|1x2，所以于是a3.15N42013陜西卷 (考生注意：請在下列三題中任選一題作答
25、，如果多做，則按所做的第一題評分)A(不等式選做題)已知a，b，m，n均為正數(shù)，且ab1，mn2，則(ambn)(bman)的最小值為_2解析 利用柯西不等式式可得：(ambn)(bman)()2mn(ab)22.14N42013天津卷 設(shè)ab2，b0，則當(dāng)a_時，取得最小值142解析 2 1，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立聯(lián)立ab2，b0，a0.可解得a2.24N42013新課標全國卷 選修45：不等式選講設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：(1)abbcca；(2)1.24證明：(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c
26、22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為 b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc，又abc1，所以1.1N42013浙江卷 (1)解不等式|x1|x4|5.(2)求函數(shù)y|x1|x4|x24x的最小值1解：(1)當(dāng)x4時，x1x45，得x5，此時x5.綜上所述，原不等式的解集是(，05，)(2)因為|x1|x4|(x1)(x4)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x4時取等號；x24x(x2)244，當(dāng)且僅當(dāng)x2時取等號故|x1|x4|x24x341，當(dāng)x2時取等號所以y|x1|x4|x24x的最小值為1.16N42013重慶卷 若關(guān)于實數(shù)x的不等式|x5|x3|a無解，則實數(shù)a的取值范圍是_16(，8解析 要使不等式無解，則a必須小于或等于|x5|x3|的最小值，而|x5|x3|(x5)(x3)|8，則a8，所以實數(shù)a的取值范圍是(，8N5 選修4-7 優(yōu)選法與試驗設(shè)計
2013年高考數(shù)學(xué)（理科）真題分類匯編N單元選修4系列
