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1、第九章 解析幾何
第1講 直線方程和兩直線的位置關系
一、選擇題
1.已知直線l的傾斜角α滿足條件sinα+cosα=,則l的斜率為( )
A. B. C.- D.-
解析 α必為鈍角,且sinα的絕對值大,故選C.
答案 C
2.經(jīng)過兩點A(4,2y+1),B(2,-3)的直線的傾斜角為,則y=( ).
A.-1 B.-3 C.0 D.2
解析 由==y(tǒng)+2,
得:y+2=tan =-1.∴y=-3.
答案 B
3.
2、若直線l:y=kx-與直線2x+3y-6=0的交點位于第一象限,則直線l的傾斜角的取值范圍是 ( ).
A. B.
C. D.
解析 如圖,直線l:y=kx-,過定點P(0,-),又A(3,0),∴kPA=,則直線PA的傾斜角為,滿足條件的直線l的傾斜角的范圍是.
答案 B
4.過點A(2,3)且垂直于直線2x+y-5=0的直線方程為( ).
A.x-2y+4=0 B.2x+y-7=0
C.x-2y+3=0 D.x-2y+5=0
解析 由題意可設所求直線方程為:x-2y+m=0,將A(2,3)
3、代入上式得2-2×3+m=0,即m=4,所以所求直線方程為x-2y+4=0.
答案 A
5.設直線l的方程為x+ycos θ+3=0(θ∈R),則直線l的傾斜角α的范圍是( ).
A.[0,π) B.
C. D.∪
解析 (直接法或篩選法)當cos θ=0時,方程變?yōu)閤+3=0,其傾斜角為;
當cos θ≠0時,由直線方程可得斜率k=-.
∵cos θ∈[-1,1]且cos θ≠0,
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞).
∴tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又α∈[0,π),∴α∈∪.
綜上知,傾斜角的范圍是.
答案 C
6.將一張坐標紙折疊一
4、次,使得點(0,2)與點(4,0)重合,點(7,3)與點(m,n)重合,則m+n= ( ).
A.4 B.6 C. D.
解析 由題可知紙的折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線,即直線y=2x-3,它也是點(7,3)與點(m,n)連線的中垂線,于是
解得故m+n=.
答案 C
二、填空題
7.若A(-2,3),B(3,-2),C(,m)三點共線,則m的值為________.
解析 由kAB=kBC,即=,得m=.
答案
8.直線過點(2,-3),且在兩個坐標軸上的截距互為相反數(shù),則這樣的直線方程是_
5、_______.
解析 設直線方程為為-=1或y=kx的形式后,代入點的坐標求得a=5和k=-.
答案 y=-x或-=1
9.已知直線l1:ax+3y-1=0與直線l2:2x+(a-1)y+1=0垂直,則實數(shù)a=________.
解析 由兩直線垂直的條件得2a+3(a-1)=0,解得a=.
答案
10.若兩平行直線3x-2y-1=0,6x+ay+c=0之間的距離為,則的值為________.
解析 由題意得,=≠,∴a=-4且c≠-2,
則6x+ay+c=0可化為3x-2y+=0,
由兩平行線間的距離,得=,
解得c=2或c=-6,所以=±1.
答案 ±1
三、
6、解答題
11.已知直線l過點M(2,1),且分別與x軸、y軸的正半軸交于A、B兩點,O為原點,是否存在使△ABO面積最小的直線l?若存在,求出;若不存在,請說明理由.
解 存在.理由如下.
設直線l的方程為y-1=k(x-2)(k<0),則A,B(0,1-2k),
△ AOB的面積S=(1-2k)=≥(4+4)=4.
當且僅當-4k=-,即k=-時,等號成立,
故直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.
12.已知直線l經(jīng)過直線2x+y-5=0與x-2y=0的交點.
(1)點A(5,0)到l的距離為3,求l的方程;
(2)求點A(5,0)到l的
7、距離的最大值.
解 (1)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
∴=3.解得λ=2或λ=.
∴l(xiāng)的方程為x=2或4x-3y-5=0.
(2)由解得交點P(2,1),
如圖,過P作任一直線l,設d為點A到l的距離,
則d≤|PA|(當l⊥PA時等號成立).
∴dmax=|PA|=.
13.已知直線l過點P(2,3),且被兩條平行直線l1:3x+4y-7=0,l2:3x+4y+8=0截得的線段長為d.
(1)求d的最小值;
(2)當直線l與x軸平行,試求d的值.
解 (1)因為3×2+4×3-7>0
8、,3×2+4×3+8>0,所以點P在兩條平行直線l1,l2外.
過P點作直線l,使l⊥l1,則l⊥l2,設垂足分別為G,H,則|GH|就是所求的d的最小值.由兩平行線間的距離公式,得d的最小值為|GH|==3.
(2)當直線l與x軸平行時,l的方程為y=3,設直線l與直線l1,l2分別交于點A(x1,3),B(x2,3),則3x1+12-7=0,3x2+12+8=0,所以3(x1-x2)=15,即x1-x2=5,所以d=|AB|=|x1-x2|=5.
14.已知直線l1:x-y+3=0,直線l:x-y-1=0.若直線l1關于直線l的對稱直線為l2,求直線l2的方程.
解 法一 因為l1∥l,所以l2∥l,
設直線l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1).
直線l1,l2關于直線l對稱,
所以l1與l,l2與l間的距離相等.
由兩平行直線間的距離公式得=,
解得m=-5或m=3(舍去).
所以直線l2的方程為x-y-5=0.
法二 由題意知l1∥l2,設直線l2:x-y+m=0(m≠3,m≠-1).
在直線l1上取點M(0,3),
設點M關于直線l的對稱點為M′(a,b),
于是有解得即M′(4,-1).
把點M′(4,-1)代入l2的方程,得m=-5,
所以直線l2的方程為x-y-5=0.